Nếu hàm sản xuất Q = Q ( L ), trong đó L là lượng lao động thì hàm sản phẩm hiện vật biên là Q’(L). Sản phẩm hiện vật biên là xấp xỉ của lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi tăng thêm m[r]
Trang 1LOG O
Chương 3:
Đạo hàm và vi phân hàm một biến
GV Phan Trung Hiếu
§1 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến
§2 Đạo hàm và vi phân cấp cao
§3 Ứng dụng trong toán học
§4 Ứng dụng trong kinh tế
2
§1 Đạo hàm và vi phân của
hàm một biến
3
I Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0 Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) tại x0, ký hiệu , được
tính bởi
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
x x
f x
y x f x
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) được
gọi là khả vi tại x0.
0
( )
f x
4
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2 ln(1 )
khi 0 ( )
x
x
x
tạix 0 0
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
Định lý 1.5:
f x L f x f x L
Ví dụ 1.2: Xét sự khả vi của hàm số
( )
f x
x x x
tạix01
Định lý 1.6:
f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0.
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2
( ) khi 0 ( )
khi 0
x
f x
có đạo hàm tại x 0 0
Trang 2Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn):
Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b].
-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có
đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b).
-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có
đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm x thuộc (a,b).
II Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1 Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2
2
( )
( )
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
2.3 Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)] Khi đó
( ) ( ) ( )
y x u x y u x
2.2 Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có uu x( ),vv x( )
9
Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) yarctan x
b)y(arcsin )x 2
c)ye xarctane xln 1e2x
d)y(x21)x3
Ví dụ 1.5: Nếu , trong đó F x( )f g x ( ) f( 2) 8,
( 2) 4,
f f(5)3,g(5) 2, g(5)6
Tìm F(5)
III Vi phân cấp một:
10
Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là
( ) ( )
dy y dx
hay
Ví dụ 1.6 Tìm vi phân của hàm số y ex2.
Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì
1) (d u v )du dv
2) ( )d k u k du
3) ( )d u v vdu udv
2
4)d u vdu udv
Ví dụ 1.7 Tính
3
) ( x)
a d x e
3
) ( x)
b d x e
3
) x x
c d
e
cấp cao
Trang 3I Đạo hàm cấp cao:
13
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)
là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là
y
y f x f x
y f x f x
Ví dụ 2.1 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y ekx, k const
14
Định lý 2.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n Khi đó
0
( )
n
n k
Ví dụ 2.3 Tính của hàm số
2 2
.
x
y x e
(20)
y
Ví dụ 2.2 Cho hàm số Chứng
minh
sin
II Vi phân cấp cao:
15
Định nghĩa 2.3. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là
1 ( )
d y d d y y dx
Ví dụ 2.4 Cho Tính 3
(2 3)
16
§3 Ứng dụng trong toán học
I Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định:
Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong
lân cận nào đó của x0(hoặc có thể trừ x0) Nếu
thì
lim ( ) lim ( ) 0
x x f x x x g x
lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
0
( ) lim
( )
x x
f x
g x
x x x x
Chú ý 3.2.
Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.
0
0 hoặc .
Trang 4Ví dụ 3.1 Tính các giới hạn sau
2
2
5 6 ) lim
2
x
a
2 2 0
2 4 )lim
9 3
x
x b
x
3 0
sin ) lim
x
c
x
2
) lim
3
x x
d e
2 3
ln
) lim
x
x e
0
) lim sin ln
x
0
)lim
t an2 sin
x
g
cot 0
) lim (1 s in4 )
x
II Xấp xỉ tuyến tính và vi phân:
20
( ) ( ) ( )( )
f x f a f a x a
Phép xấp xỉ (*)
được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến
của f tại a.
Hàm tuyến tính L x( ) f a( )f a x( )( a)
được gọi là tuyến tính hóa của f tại a.
3,98
Ví dụ 3.2: Tính gần đúng giá trị của
21
Đặt Từ (*), ta có x x a
( ) ( ) ( )
f a x f a f a x
( ) ( ) ( )
f a x f a f a x
( )
y f a x
y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm
một lượng là x
22
Ví dụ 3.3: Để chuẩn bị cho việc lát gạch nền nhà hình
vuông, thầy Hiếu đo chiều dài một cạnh được kết quả
là 100m Giả sử, phép đo của thầy có độ chính xác
trong phạm vi mm (sai số cho phép).
a) Ước tính sai số diện tích nền nhà theo sai số cho phép nói trên So sánh kết quả đó với sai số thực sự
b) Nếu mỗi viên gạch có diện tích 1m2 và một hộp gồm 12 viên gạch có giá là 24$ thì thầy Hiếu nên
dự trù chi phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo lót
đủ gạch cho nền nhà?
6
§4 Ứng dụng trong kinh tế
I Trung bình của hàm:
Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với nhau y = f(x) Tỉ số
được gọi là trung bình của y.
( )
f x
Ay x
Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R = P.Q
Khi đó là doanh thu trung bình.ARP Q. P
Q
Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q).
Khi đó là chi phí trung bình.ACC Q( )
Q
Trang 5II Tốc độ biến thiên:
25
Xét hai đại lượng kinh tế x và y có quan hệ hàm với
nhau y = f(x)
Nếu x biến thiên từ x1 đến x2 thì độ thay đổi của xlà
và độ thay đổi tương ứng của ylà
Tỉ số
được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương
ứng với x.
x x x
( ) ( )
y f x f x
( ) ( )
f x f x y
26
Tốc độ thay đổi (tức thời) của y tương ứng với x tại
x = x1 là
2 1
1 0
( ) ( )
f x f x y
f x
Ví dụ 4.3: Cho D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời
điểm t Bảng dưới đây biểu thị các giá trị xấp xỉ của
hàm này bằng cách cung cấp các con số ước tính vào cuối năm, đơn vị tính là tỷ USD, từ năm 1980 đến năm 2005
27
a) Tìm mức tăng trưởng trung
bình của nợ quốc gia
(i) từ năm 1985 đến 1990.
(ii) từ năm 1990 đến 1995.
b) Ước tính mức tăng trưởng
tức thời của nợ quốc gia vào năm 1990 bằng cách lấy trung bình của hai tốc độ biến thiên trung bình Đơn vị tính của nó
là gì? Giải thích ý nghĩa của kết quả đó
II Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:
28
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến
số kinh tế (x là biến đầu vào, y là biến đầu ra) Gọi x0D.
Gọi là lượng thay đổi của y tại mức x = x0khi biến x
tăng thêm 1 đơn vị từ x0lên x0+ 1 Khi đó, được gọi
làgiá trị cận biên (Marginal value) haybiên tế của
biến y tại mức x0
y
Trong kinh tế, ta thường quan tâm đến sự biến thiên của
y như thế nào tại một mức khi x tăng lên 1 đơn vị
0
0
y
4.1 Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value):
y f x f x
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
Từ định nghĩa
ta đặt và , ta có x xx0 y f x( )f x( 0)
0 0
( ) lim
x
y
f x
x
0
( )
y f x x
Khi thì Nghĩa là, là xấp xỉ
của giá trị cận biên của y tại mức x0.
1
x y f x( )0 f x( )0
0
Hàm số được gọi làhàm biên tế (hàm cận biên) của biến y.
( )
Myf x
Giá trị được gọi làbiên tế (giá trị cận biên) của hàm số f(x) tại điểm x0
( ) ( )
My x f x
Như vậy, cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là
các biến số kinh tế, gọi
Trang 64.2 Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng
thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1
đơn vị, từ x0 lên x0+ 1 Cụ thể, ta có
0 ( )
My x
0
( ) 0
My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị, từ x0 lên
0 ( )
My x đơn vị
0
( ) 0
My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị, từ x0 lên
0 ( )
My x
đơn vị
khoảng khoảng
x0 + 1 thì y sẽ tăng
x0 + 1 thì y sẽ giảm
32
Khi xét từng hàm kinh tế cụ thể, biên tế sẽ có tên gọi tương ứng:
Nếu hàm tổng chi phí C = C(Q), trong đó Q là mức
sản lượng thì hàmchi phí biênlàC’(Q) Chi phí biên
là chi phí xấp xỉ của một đơn vị sản phẩm được tăng thêm
Nếu hàm tổng doanh thu R = R(Q), trong đó Q là
mức sản lượng thì hàm doanh thu biên là R’(Q).
Doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng khi bán thêm một đơn vị sản phẩm
Nếu hàm tổng doanh thu R = R(L), trong đó L là
lượng lao động thì hàmsản phẩm doanh thu biênlà
R’(L).Sản phẩm doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng khi thuê thêm một đơn vị lao động
33
Nếu hàm sản xuất Q = Q(L), trong đó L là lượng lao
động thì hàmsản phẩm hiện vật biên là Q’(L).Sản
phẩm hiện vật biên là xấp xỉ của lượng sản phẩm hiện
vật gia tăng khi tăng thêm một đơn vị lao động
Nếu hàm tiêu dùng C = C(Y), trong đó Y là mức thu
nhập thì hàmxu hướng tiêu dùng biên làC’(Y).Xu
hướng tiêu dùng biên là xấp xỉ của lượng tiêu dùng khi
thu nhập tăng thêm một đơn vị Hơn nữa, hàm xu
hướng tiết kiệm biên làS’(Y) = 1 - C’(Y).Xu hướng
tiết kiệm biên là xấp xỉ của lượng tiết kiệm khi thu
nhập tăng thêm một đơn vị
34
Ví dụ 4.4: Giả sử chi phí trung bình AC để sản suất
một đơn vị sản phẩm là
0, 0001 0, 02 5 500 , ( 0)
a) Tìm hàm chi phí biên
b) Tìm chi phí biên tại mức sản lượng Q = 50 đơn vị
và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được
c) Hãy ước tính chi phí để sản xuất sản phẩm thứ 51.
So sánh ước tính đó với chi phí thực sự của nó
d) Nếu sản lượng tăng thêm 1/3 đơn vị sản phẩm từ
Q = 50 thì chi phí sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị tiền?
Ví dụ 4.5: Cho hàm tiêu dùng theo thu nhập Y như
dưới đây
Hãy xác định xu hướng tiêu dùng biên và xu hướng tiết
kiệm biên khi Y = 100.
3
10
Y C Y
Ví dụ 4.6: Giả sử hàm sản xuất Q (khối lượng sản
phẩm) của một doanh nghiệp cho bởi
trong đó L > 0 là số công nhân.
Hãy ước tính sản phẩm hiện vật biên khi thêm 1 công
nhân nếu doanh nghiệp đang có 100 công nhân
( ) 5 ,
Q Q L L
Ví dụ 4.7: Nhu cầu tiêu thụ D của một loại sản phẩm
phụ thuộc vào giá P của sản phẩm đó Giả sử rằng, giá
P phụ thuộc vào thời gian t Cho biết nhu cầu tiêu thụ
sản phẩm này giảm 5000 pounds khi giá tăng 1$ mỗi
pound, và giá mỗi pound sản phẩm này tăng 0,05$ mỗi
tuần Hỏi lượng cầu giảm bao nhiêu pounds mỗi tuần?
Ví dụ 4.8: Gọi C là hàm chi phí, Q là mức sản lượng
và P là giá bán Biết rằng P.Q = 100 và chi phí biên khi
Q = 200 là 0,01 (đơn vị tiền).
Tính dC khi Q = 200.
dP
Trang 74.3 Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm số y = f(x) Khi biến số tăng từ x0đến x thì ta có
-Độ thay đổi (tăng, giảm) tuyệt đối của biến x tại x0là
0
x xx
Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị
chọn để đo biến x.
-Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0là
0
100%
x x
Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào
đơn vị chọn để đo biến x.
38
Ví dụ 4.9: Một căn hộ có giá cũ là 200 triệu
đồng Nếu tăng giá lên 201 triệu đồng thì độ tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ tăng tương đối
là bao nhiêu?
Ví dụ 4.10: Một chiếc điện thoại Samsung có
giá cũ là 4 triệu đồng Nếu tăng giá lên 5 triệu đồng thì độ tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ tăng tương đối là bao nhiêu?
39
4.4 Độ co dãn:
-Để đo mức độ phản ứng của biến y khi biến x thay đổi,
người ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn
-Độ co dãn của đại lượng y theo đại lượng x là tỉ số giữa
độ thay đổi tương đối của y và độ thay đổi tương đối của
x, ký hiệu là yx
Ta có
%
%
yx
y
y y y x x
x x y x
Từ đó, vớixkhá bé, ta có
0
yx x
y x x
y x
x y y
40
Ví dụ 4.11: Một nhà kinh tế học đã ước lượng
rằng khi giá thuốc tăng 10% thì sẽ gây ra sự sụt giảm về nhu cầu thuốc lá của những người trung niên là 12%.
a) Tìm độ co dãn của nhu cầu thuốc lá theo giá
thuốc lá.
b) Nếu chính phủ muốn giảm nhu cầu thuốc lá
đến 20% thì chính phủ cần tăng giá thuốc lá lên bao nhiêu phần trăm?
Hệ số co dãn của biến y theo biến x tại x0là
0
0
( ) ( )
( )
yx x y x x
y x
4.6 Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ
độ thay đổi tương đối của biến y tại x = x0 khi biến x
tăng tương đối lên 1% (từ x0 lên x0+1%x0=1,01x0)
Cụ thể, ta có
0
( )
yx x
0
( ) 0
yx x có nghĩa làcó nghĩa là tại x = x0, khi x
tăng 1% thì y sẽ tăng yx( )%.x0
có nghĩa làcó nghĩa là tại x = x0, khi x
tăng 1% thì y sẽ giảm yx( )%.x0
0
( ) 0
yx x
4.5 Hệ số co dãn: Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:
Nếu thì hàm f được gọi là co dãn tại x0(hàm
số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số) Khi
đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm co dãn.
Nếu thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0
Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn (điểm co dãn đơn vị).
Nếu thì hàm f được gọi là không co dãn tại
x0(hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến số) Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi là điểm không co dãn.
0 ( ) 1
yx x
0 ( ) 1
yx x
0 ( ) 1
yx x