Bài giảng Cơ sở tự động: Chương 8 - TS. Huỳnh Thái Hoàng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

 Đá Ñanh nh gia giaù tính on oån ñònh cua cuûa heä rôi rời rạ racc dự döaa vao vào độ dự dö trö trữ bien bieân và độ dự trữ pha như hệ liên tục 9 September 2011... Chấát lượng của hệ rờ[r]

Môn học

CƠ SỞ TỰ ĐỘNG

Biên so ạn: TS Huỳnh Thái Hồng

B ộ mơn điều khiển tự động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TPHCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Gi ảng viên: HTHồng, NVHảo, NĐHồng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí

 Điều kiện ổn định của hệ rời rạc

Nội dung chương 8

 Điều kiện ổn định của hệ rời rạc

 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng

 Tiêu chuẩn Jury

à å

Điều kiện ổn định của hệ rời rạc

Điều kiện ổn định của hệ rời rạc

Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc

 Hệ thống điều khiển rời rac mô tả bởi sơ đồ khối:

(

)()

()

1(

k k

y

k r k

k

d

d d

x C

B x

A x

 Phương trình đặc trưng: det(z I  A d )  0

Phương pháp đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc

 Tiêu chuẩn ổn định đai số

 Tieu chuan on định đại so

 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

 Tiêu chuẩn Juryy

 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

 Phương pháp đặc tính tần số

åå Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn Routh Hurwitz mở rộng Hurwitz mở rộng

Tiêu chuẩn Routh

Tiêu chuẩn Routh –– Hurwitz mở rộng Hurwitz mở rộng

 PTĐT của hệ rời rac: n  n1    0

1

1 1

0 n  n   n  n 

a z

a z

a z





11

Miền ổn định: trong vòngg g Miền ổn định: nữa trái

tròn đơn vị của mặt phẳng Z mặt phẳng W

 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng : đổi biến z  w, sau đó áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho phương trình đặc trưng theo biến w.

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh –– Hurwitz mở rộng Hurwitz mở rộng

 Đánh giá tính ổn định của hệ thống:

 Đanh gia tính on định cua hệ thong:

(

1  GH z 

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh –– Hurwitz mở rộng Hurwitz mở rộng

G z

z

)1

()(

3 )

G

s

)(

3(

3)

1

s s

s

e

) 1 (

1 )

))(

)(

1(

)

()

1(

e z

z

B Az

z z

z

06730

)1

(3)

1

(  e30.5   e0.5

A

) )(

)(

1 (

) (

) )(

(

1

e z e

z z

B Az

z b

s a s

)1

()

1(3

0673

0)

31(3

)(

)(

5 0 3 5

0 5

0 5

0

e

e B

A

) 1

( )

1 (

) (

) 1

( )

1 (

e be

e ae

a b ab

e a

e b

A

aT bT

bT aT

bT aT

31(3

)(

)(

) 1

( )

1 (

a b ab

e be

e ae

0 )(

223

0 (

z z

GH

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh –– Hurwitz mở rộng Hurwitz mở rộng

 Phương trình đặc trưng:

0 )

(

1  GH z 

0 )

607

0 )(

223

0 (

104

0 202





11

2 3

0 202

.

0 )

z GH

0104

01

1202

01

1135

01

183

01

w w

w w

w



) 607

0 )(

223

0 (

G

0611

052

.1354

.6648

.5867



Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh –– Hurwitz mở rộng Hurwitz mở rộng

 Bảng Routh

 Kết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các hệ số ở cột 1 của

bảng Routh đều dương

0611

052

.1354

.6648

.5867

åå Tieâu chuaån Jury

Tiêu chuẩn Jury

 Xét tính ổn định của hệ rời rac có PTĐT:

 Xet tính on định cua hệ rơi rạc co PTĐT:

0

1

1 1

0 n  n   n  n 

a z

a z

a z

 Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng

 Bang Jury: gom co (2n+1) hang

 Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần

 Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viếttheo thứ tự ngược lại

 Hàng lẽ thứ i = 2k+1 (k1) gồm có (nk+1) phần tử, phần tử

ở hàng i cột j xác định bởi công thức:

ơ hang i cột j xac định bơi cong thưc:

3 ,

2 1

, 2

ij

c c

c

c c

 Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn định

3 ,

1 1

, 1 1

,

2     

 i i n j k i

j

c c

c

là tất cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương

Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Jury

01

32

 X ùt tí h å đị h û h ä ời ù PTĐT l ø 5z3  2z2  3z 1  0

 Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT là:

 Bảng Jury

 Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống

 Do cac hệ so ơ hang le cột 1 bang Jury đeu dương nen hệ thongổn định

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

 Quỹ đao nghiệm số là tập hơp tất cả các nghiệm của phương

 Quy đạo nghiệm so la tập hợp tat ca cac nghiệm cua phươngtrình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệthay đổi từ 0  

 Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:

z D K

)

()

G

Đ

)(

)

()

(

0

z D

K z

Đặt:

Goi n và m là số cưc và số zero của G0(z)

 Các qui tắc vẽ QĐNS hệ liên tục có thể áp dụng để vẽ QĐNScủa hệ rời rac chỉ khác qui tắc 8

cua hệ rơi rạc, chỉ khac qui tac 8

áá Quỹ đạo nghiệm số hệ rời rạc

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS

 Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phươngtrình đặc tính = số cực của G0(z) = n

 Qui tắc 3: Quỹ đao nghiệm số đối xứng qua truc thưc

 Qui tac 3: Quy đạo nghiệm so đoi xưng qua trục thực

 Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số

nếu tổng số cực và zero của G0(z) bên phải nó là một số lẻ

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

 Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệmsố với trục thực xác định bởi :

 Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với truc thưc là điểm An m

m n



 (p i và z i là các cưc

Q i é 7 Đi å ù h h ä ( á ù) û õ đ hi ä á è

m n

z p

m n

i i

và các zero của G0(z) )

 Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằmtrên trục thực và là nghiệm của phương trình:

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Qui tắc vẽ QĐNS (tt)

 Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với vòng tròn đơn

vị có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitzị ị g p ï gmở rộng hoặc thay z=a+jb (a2+b2 =1) vào phương trình đặc trưng

Q i t é 9 G ù á h ù û õ đ hi ä á i h ù

 Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p j

được xác định bởi:

) (

i j

i

i j

1 1

0

) arg(

) arg(

180



Dang hình hoc của công thức trên là:

j = 1800 + (góc từ các zero đến cực p j )

 (góc từ các cưc còn lai đến cưc p(goc tư cac cực con lại đen cực p j j ))

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

 Cho hệ thống rời rac có sơ đồ khối:

 Cho hệ thong rơi rạc co sơ đo khoi:



T  0.1

T

)5(

5)

(





s s

K s

(

1  G ( z ) 0

1  G z 

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

z

)1

()(

5 )

(





s s

K s

5)

1

s s

()

15.0

[(

)1

(

5 0 5

0 5

0

)1(

5

)]

5.01

()

15.0

[(

)1

e z

z

e e

z e

z z

K

 ( ) 0.021z  0.018

K G



)607

0)(

1(

)(







z z

K z

0)(

1(

018

0021

z K

1 

p p2  0 607

) (

) 1 (

)

e z z

a a

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

 Tiệm cận:

 Tiệm cận:

12

)12

()

12

12

)857

0(]607

01

464

m n

(PTĐT) 

018

0021

.0018

.0021



z z

K

 dK   0.021z2  0.036z  02.042

2

)018

0021

.0

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

 Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:

 Giao điem cua QĐNS vơi vong tron đơn vị:

(PTĐT)  (z 1)(z  0.607)  K(0.021z  0.018)  0

(*)

0)

6070

0180

()

6071

0210

607

0018

.0()

607

1021

.0

607

0018

.0

(1

1)

607

1021

.0

(1

w K

.0786

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

Th i ù t ị K 21 83 ø hươ t ì h (*) t đươ

Thay giá trị K gh = 21.83 vào phương trình (*), ta được:

01

1485

1

8187

05742

Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là:

Cách 2: Thay z = a + jb vào phương trình (*) :

0)

6070

0180

())(

6071

0210

()

6070

0180



0)

607

0018

.0

6071

0210

(2

0)

607

0018

.0()

607

1021

.0(

2 2

b K

j b

j

K a

K b

a



0)

607

0018

.0()

607

1021

.0(

z

 j2ab  j(0.021K 1.607)b  0

Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

 Kết hơp với điều kiện a2 + b2 =1 ta đươc hệ phương trình:

 Ket hợp vơi đieu kiện a2 + b2 =1, ta được hệ phương trình:

6071

0210

(2

0)

607

0018

.0()

607

1021

.0(

2 2

b K

j ab

j

K a

K b

607

1021

.0(2

2 2

b a

b K

j ab

05742

83 21



gh

K



Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc

à á

Đặc tính tần số của hệ rời rạc

Đặc tính tần số hệ rời rạc

 Đặc tính tần số chính xác: thay jT vào hàm truyền G( )

 Đặc tính tan so chính xac: thay z  e jT vao ham truyen G (z)

) ( e j T

10 )

(





z z

z G

 Vẽ biểu đồ Bode chính xác của hệ rời rac:

 Đặc tính tần số:

) 6 0 (

) (



 j T j T

T j

e e

Thí d

Thí dụụ đđặc tính tần số hệ rời rạc ặc tính tần số hệ rời rạc

 Cho hệ thống rời rac có sơ đồ khối:

 Cho hệ thong rơi rạc co sơ đo khoi:



T

)3(

12)

(





s s

s

G

1.0

)1

()

z G

G( ) (1 )Z

741

0741

.1

z G





 Đặc tính tan so:

741

0741

.1)

e

Thí d

Thí dụụ đđặc tính tần số hệ rời rạc ặc tính tần số hệ rời rạc

Biểu đồ Bode vẽ chính xác dùng Matlab

Phép biến đổi song tuyến

 Phép biến đổi song tuyến (bilinear transformation):

 Phep bien đoi song tuyen (bilinear transformation):

2 / 1

2 / 1

Tw

Tw z

z

z T w

2

/

1

w1

 Đặc tính tần số của hệ rời rạc qua phép biến đổi song tuyến



j

z

Quan hệ giữa tần số trong mặt phẳng W và tần số của hệ liên tục

 Trên truc ảo của mặt phẳng W:

 Tren trục ao cua mặt phang W:

21

12

e T z

z

T j

T j









 Tren vong tron đơn vị cua mặt phang Z:

 Do phép biến đổi song tuyến:

z

z T w

Vẽ biểu đòâ Bode gần đúng của hệ rời rạc

 Bước 1: Thưc hiện phép biến đổi song tuyến

 Bươc 1: Thực hiện phep bien đoi song tuyen

2/1

2/1

Tw

Tw z







2/

1 Tw

 Bước 2: Thay , sau đó áp dụng các qui tắc vẽ biểu đồ

Bode bằng đường tiệm cận đã trình bày ở hệ liên tuc

T

j

 Độ dự trữ biên, độ dự trữ pha xác định như hệ liên tục

 Đánh giá tính ổn định của hệ rời rac dưa vào độ dư trữ biên

 Đanh gia tính on định cua hệ rơi rạc dựa vao độ dự trư bienvà độ dự trữ pha như hệ liên tục

áá Chất lượng của hệ rời rạc

Đáp ứng của hệ rời rạc

 Đáp ứng của hệ rời rac có thể tính bằng một trong hai cách sau:

 Đap ưng cua hệ rơi rạc co the tính bang một trong hai cach sau:

 Cách 1 C : nếu hệ rời rac mô tả bởi hàm truyền thì trước tiên tậ ï ytính Y (z) , sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm y (k)

 Cách 2 : nếu hệ rời rạc mô tả bởi PTTT thì trước tiên ta tínhnghiệm x (k) của PTTT, sau đó suy ra y (k)

 Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng trònđơn vị nhất

Chất lượng quá độ

Cách

Cách 11: Đánh giá chất lương quá độ dưa vào đáp ứng thời gian

Cach

Cach 11: Đanh gia chat lượng qua độ dựa vao đap ưng thơi gian

y (k) của hệ rời rạc

y y

trong đo ymax va yxl la gia trị cực đại va gia trị xac lập cua y (k)

 Thời gian quá độ: tqđ  kqđT

trong đó kqđ thỏa mãn điều kiện:

đ

xl

y k

qđ

xl k k y

k

100

)(

qđ xl

Chất lượng quá độ

)(ln

Sai số xác lập

(1

)

()

(

z GH z

G

z E

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

Y( )

R( )

10)



T

)3)(

2(

)(







s s

s G

1 Tính hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên

2 Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị

3 Đánh giá chất lương của hệ thống: độ vot lố, thời gian quá độ,g ï g ä g ä ï , g q ä,sai số xác lập

 Gi ûi

 Giải:

1 Hàm truyền kín của hệ thống:

) ( 1

)

( )

(

z G

z

G z

Gk





) (

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

z

) 3 )(

2 (

10 )

s G

2(

10)

1

s s

s

))(

)(

1(

)

()

1(

e z

z

B Az

z z

) )(

)(

1 (

) (

) )(

(

1

e z e

z z

B Az

z b

s a s

) 1

( )

1 (

) (

) 1

( )

1 (

e be

e ae

a b ab

e a

e b

A

aT bT

bT aT

bT aT

0)(

819

0(

)(







z z

z G

) (

) 1

( )

1 (

a b ab

e be

e ae

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

) (

) ( 1

)

( )

(

z G

z

G z

z z

G

0360

0420

)741

0)(

819

0(

036

0042

0)(

819

0(

036

0042

01

z



643

0518

.1

036

0042

0)

z z

G k

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

2 Đ ù ứ û h ä th á khi tí hi ä ø l ø h ø á đơ ị

036

0042

0)

z G

)()()

(z G z R z

Y  k

2 Đap ưng cua hệ thong khi tín hiệu vao la ham nac đơn vị:

643

0518

.1

z

G k

)

(643

0518

.1

036

0042

0

z z

0518

11

036

0042

0

2 1

2 1

z

R z

0518

.1

 (1 1.518 1 0.643 2) ( ) (0.042 1 0.036 2) ( )

z R z

z z

Y z



 y(k) 1.518y(k 1) 0.643y(k 2)  0.042r(k 1) 0.036r(k  2)

)2(

0360

)1(

0420

)2(

6430

)1(

5181

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

01

)

Tí hi ä ø l ø h ø á đơ ị r(k) 1,k  0

Tín hiệu vao la ham nac đơn vị:

Điều kiện đầu: y(1)  y(2)  0

Thay vào biểu thức đệ qui tính y (k):





;

;

;

;

;

;

k y

68980

69850

69750

68170

64590

58600

;0)

(

;

;

;

; 6760 0 6606 0 6461 0 6341 0 6251 0 61910

)2(

0360

)1(

0420

)2(

6430

)1(

5181

)

c(k) 1.518c(k 1)  0.643c(k  2)  0.042r(k 1)  0.036r(k  2)

c

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

Step Response

0.6 0.7

0.2

0 0.1

0

(

643

0518

.1

036

0042

0)

z z

G k

3 Chat lượng cua hệ thong:

)()1

)()1

1(

.0518

.1

036

0042

0)

1(

lim

z z

z

z z

z

624

0 624.0



xl

y



Giá trị cực đại của đáp ứng: ymax  0.6985

624

0

624

06985

0

%100

%94.11



POT

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

 Thơi gian qua độ theo tieu chuan 5%:

Trước tiên ta cần xác định kqđ thỏa:

1   (k)  1  k  k

05.0

%5

624

k

 ( ) 0.655,593

.0



Theo kết quả tính đáp ứng ở câu 2 ta thấy: kqđ  14

1 0

sec 4

1

qđ

;

;

;

;

;

k c

68980

69850

69750

68170

64590

58600

 Sai số xác lập:

Do hệ thống hồi tiếp âm đơn vị nên ta có thể tính

6240

1; ; ; ; 0 376; ; 

.6760 0 6606 0 6461 0 6341 0 6251 0 61910

xl  rxl  yxl 10.624

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 1

 Chú ý:y Ta có thể tính POT và t qđ qđ dưa vào cặp cưc phứcï ëp ï p

Cặp cực phức của hệ thống kín là nghiệm của phương trình

0643

.0518

.1

z

3285

08019

02587

07590

0

* 2 ,

z



55790

8019

0lnln

0)

8019

0(ln)

32850

)80190

(ln

1)

% 100

14 3 5579

0 exp

% 100

POT

3958

03285

.0)

8019

0

(ln1

.0

% 100

5579

0 1

exp

% 100

1

3

3

3958

0 5579

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

2 s 

Với T = 0.1

1 Thành lập hệ phương trình trang thái mô tả hệ thống trên

)3)(

2(

)5(

2)

s s

G

1 Thanh lập hệ phương trình trạng thai mo ta hệ thong tren

2 Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị(điều kiện đầu bằng 0) dưa vào phương trình trang thái vừa tìmđược

3 Tí h đ ä t l á thời i ù đ ä i á ù l ä

3 Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

 Gi ûi

1 Thành lập phương trình trạng thái:

65

102

)3)(

2(

)5(

2)

(

)

()

s s

s

s s

E

s

Y s

G

R

0)

(1

0)

0)

(

)(5

6

10

)(

)(

2

1 2

1

t

e t

x

t x t

)

(2

10)

t x

t

x t

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

 Ma trận quá độ:

 Ma trận qua độ:

5 6

1 5

6

1 0

1 0

0

1 )

2 (

1 )

3 )(

2 (

5 6

1 5 6

) 5 (

1

s

s s

s s

s s

2 (

) 3 )(

2 (

6 6

6 ) 5 (

s s

s s

s

s s

6 6

3

1 2

1 3

2 2

3 )]

( [ )

(

1 1

1 1

s t

L L

L

L L

2 ( ) 6

6 (

)

(

3 2

3

e e

e e

t

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

(

) ( )

( ]

) 1 [(

kT kT

y

kT e

kT T

k

d

R d d

x C

B x

A x

0 4675

0

0779

0 9746

0 )

3 2

( ) 6

6 (

) (

) 2

3 ( )

(

1 0

3 2

3 2

3 2

3 2

T

T T

T T

T T

T T

d

e e

e e

e e

e e

e e

e e

e

e d

0

3 2

3 2

3 2

3 2

0 ) 3

2 ( ) 6

6 (

) (

) 2

3 ( )

B



 e  e e  e   0

) (

1 0 3

2

3 2

T

10 2

C C

3 2

) 3

2

(

0

3 2

0

3 2

e e

10 2



 C

C d

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

 PTTT rời rac mô tả hệ kín

 PTTT rơi rạc mo ta hệ kín

)(

)(

)(

])1[(

kT kT

y

kT r

kT T

x C

B x

C B A

x

y(kT)  C d x(kT)với

0 2465

1

0695

0 9326

.

0 2

10 0779

0

0042

0 5850

0 4675

0

0779

0 9746

0

d d

A

 Vậy phương trình trang thái của hệ rời rac cần tìm là:

 Vậy phương trình trạng thai cua hệ rơi rạc can tìm la:

)

( 0779 0

0042

0 )

(

) ( 4292

0 2465 1

0695

0 9326

0 )

1 (

) 1

1

kT

r k

k x k

)

(

210

y

0779

0 )

( 4292

0 2465

1 )

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

2 Đáp ứng của hệ thống:



x1(k 1 )  0 9326x1(k)  0 0695x2(k)  0 0042r(k)Từ PTTT ta suy ra:

Với điều kiện đầu x1(1)=x2( 1)=0, tín hiệu vào là hàm nấc đơn



) ( 0779

0 ) ( 4292

0 ) ( 2465

1 )

)

2

-

-

(

y

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

Step Response Step espo se

0.6 0.7

0.2 0.3

0 0.1

0

Chất lượng của hệ rời rạc Thí dụ 2

3 Chất lương của hệ thống:

 Độ vọt lố:

63

0 635.0

max 

y

625

%100



 Thời gian quá độ theo chuẩn 5%:

10.05yxl  y(k)  1 0.05yxl,k  kqđ

6,

656

0)

(594