Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất.... Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong[r]

QUY HOẠCH

TUYẾN TÍNH

HAI BIẾN + …

5B

VÍ DỤ 1

Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm và bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho một bánh mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất

VÍ DỤ 1

Gọi x1,x2,x3 lần lượt là số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất.

Điều kiện: xj ≥ 0 = 1,2,3

Tiền lãi thu được (ngàn đồng)

Lượng đường sử dụng và điều kiện:

Lượng đậu sử dụng và điều kiện:

   1, 2, 3  3 1 2 2 2,5 3

f x  f x x x  x  x  x

0,04 x  0, 06 x  0, 05 x  500

0,07 x  0,02 x  300

VÍ DỤ 1

Vậy ta có mô hình bài toán:

Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính 3 biến, tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu

0,04 0, 06 0, 05 500

0,07 0,02 300

0 1, 2,3

j









VÍ DỤ 2

Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng

đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức

ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày

VÍ DỤ 3

Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là

bàn, ghế và tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và

tổng doanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất

là 40 triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6.

VÍ DỤ 4

Một trại cưa các khúc gỗ thành các tấm ván Có hai loại ván: ván thành phẩm và ván sử dụng trong xây dựng Giả

sử, đối với:

Ván thành phẩm cần 2 giờ để cưa và 5 giờ để bào 10m ván

Ván xây dựng cần 3 giờ để cưa và 3 giờ để bào 10m ván

Máy cưa làm việc tối đa 8 giờ trong ngày và máy bào làm việc tối đa 15 giờ trong ngày Nếu lợi nhuận của 10m ván thành phẩm là 120 (ngàn đồng) và lợi nhuận của 10m ván xây dựng là 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải

cưa bao nhiêu ván mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất

BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT

(1) Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu

(2) là hệ ràng buộc chính

(3) là hệ ràng buộc dấu

(2) Và (3) gọi chung là hệ ràng buộc của bài toán

   

 

1 1 2 2

1 1 2 2

0

min (max)

n n

j

tuy y



 

 

 

  

 



DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT

Xét bài toán QHTT dạng:

  1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

0

min (max)

n n

n n

n n

j

x















DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT

Đặt:

Ta có dạng ma trận của bài toán QHTT:

1 2

n n

m m mn

min max

0

T

x











BÀI TOÁN DẠNG CHÍNH TẮC:

 

n

j j

j 1 n

ij j

j 1

j

f x c x min (max)

a x b (i 1,m)

x 0 (j 1,n)

i







 





  







Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối

ưu của bài toán kia

• Các ràng buộc

chính đều là phương trình

• Các ẩn đều

không âm

BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN TẮC

m

 

n

j j

j 1 n

ij j

j 1

j

a x b (i 1,m)

x 0 (j 1,n)

i

















• Các hệ số tự do bi

không âm (bi ≥ 0)

• Trong ma trận hệ số

có đủ m vecto cột

đơn vị: e1, e2,…,em

VÍ DỤ 5

Bài toán sau có dạng chính tắc:

1 2

1 2 3

6

x x

x x x















VÍ DỤ 6

Xét bài toán QHTT sau:

Bài toán trên có dạng chính tắc hay chuẩn tắc

 

1 4 5

1 3 6

1 2 3 4

12

6

0 1, 2, , 6

j













VÍ DỤ 6

Ma trận hệ số tự do:

12 3 6

b

 

 

  

 

 

• Ma trận hệ số A:

A

1

e e2

3

e

• Ẩn cơ bản thứ nhất là x5.

• Ẩn cơ bản thứ 2 là x6.

• Ẩn cơ bản thứ 3 là x2.

CÁC LOẠI PHƯƠNG ÁN

Định nghĩa Vec tơ ∈ thỏa tất cả các ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là phương án

chấp nhận được

Định nghĩa Phương án chấp nhận được làm cho hàm

mục tiêu có giá trị lớn nhất (nếu là bài toán max) hay nhỏ nhất (nếu là bài toán min) thì được gọi là phương án tối

ưu (PATU)

VÍ DỤ 7

Cho bài toán QHTT:

Trong các phương án sau phương án nào là phương án chấp nhận được

  1 2

1 2

1 2









u      u      u      u     

PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN

Trong bài toán chính tắc Xét phương án

Hệ vectơ liên kết với phương án

Trong đó Aj là vec tơ cột thứ j trong ma trận hệ số Amn

Định nghĩa Phương án cơ bản nếu hệ vecto liên kết với

phương án độc lập tuyến tính

Ẩn xj gọi là cơ bản nếu > 0

 1, 2, , n 

x  x x x

 j | j 0 

A  A x 

PACB TRONG BÀI TOÁN CHUẨN TẮC

Cho ẩn cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k, còn các ẩn không

cơ bản bằng 0, nghĩa là:

Ta được một phương án cơ bản x = (0,6,0,0,12,3)

Phương án này không suy biến vì có đủ 3 thành phần dương Đây là phương án cơ bản ban đầu của bài toán

Tổng quát, trong bài toán QHTT dạng chuẩn bất kì, khi cho ẩn

cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k ( k = 1,2,…,m ), còn các ẩn không cơ bản bằng 0, ta được phương án cơ bản ban đầu của bài toán Nếu sắp xếp lại ta có dạng sau

1 0; 2 6; 3 0; 4 0; 5 12; 6 3

0

1, , ,2 m, 0,0, , 0

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bước 1 Kiểm tra ràng buộc chính

• Ràng buộc dạng nhỏ hơn :

•

• Ta cộng thêm ẩn phụ:

• Ràng buộc dạng lớn hơn :

• Ta trừ đi ẩn phụ: