Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày.. Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch.[r]
Trang 1TÍCH PHÂN &
ỨNG DỤNG
CH ƯƠNG
4
Trang 2ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:
Ví dụ 1.
F ¢ x = f x " x Ỵ a b
là mộ t nguyê n hà m củ a trê n
là mộ t nguyê n hà m củ a a trê n R.
2
2
ln
p
·
Trang 3TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:
Được xác định như sau:
F(x) là một nguyên hàm của f(x)
C: hằng số tùy ý
( )
f x dx
ò
f x dx = F x + C
ò
Trang 4TÍNH CHẤT
( ) ( )
)
)
i f x dx f x
ii k f x dx k f x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
¢
=
ò
Trang 5CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
x x
a
b
a
Trang 6VÍ DỤ 2.
Tính các tích phân sau
2
1
.
x x
x
x x
x
+
+
-+
ò
Trang 7VÍ DỤ 3.
Tính các tích phân sau
+
ò
Trang 8VÍ DỤ 4.
Tính các tích phân sau
2
2
1
x
x
-+
Trang 9VÍ DỤ 5.
Tính các tích phân sau
+
Trang 10TÍCH PHÂN HÀM MŨ
Công thức:
Ví dụ 6 Tính các tích phân sau:
( ) ( ) ( )
1
ax b ax b
a iii e du e C
ò ò ò
4
0 2
0
I
Trang 11VÍ DỤ 7.
Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó đi qua điểm (1;0) và:
Đáp án:
3
x
dy
e dx
+
=
( 3 2)
Trang 12VÍ DỤ 8.
1 Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi qua điểm (2;5)
và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọi điểm
2 Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm
cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x Biết chi phí cố định là 2000$ Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi phí để sản xuất ra
20 sản phẩm
Trang 13VÍ DỤ 9.
Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng
ngày
Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày
Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch
Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phát thanh
muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến
41.000 người
Trang 14VÍ DỤ 10.
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi:
Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là
4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp
Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$
Đáp số:
1, 5 x 3, 44
p x = e - +
Trang 15PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Tăng trưởng giới hạn
Tăng trưởng không giới hạn
Trang 16PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Nghiệm của PTVP là hàm số???
2
x
dy
dx
Trang 17
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài toán lãi kép liên tục
Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu
A là số tiền có được sau thời gian t
Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời gian đó.
Ta có mô hình:
R: hằng số phù hợp
( )
dA
Trang 18PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Ta có mô hình:
Mặt khác:
Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r và
t là thời gian đầu tư.
( )
.
1
A
ò
Trang 19LUẬT TĂNG TRƯỞNG THEO HÀM MŨ
Định lý Nếu = và (0) = 0 thì = 0
Trong đó:
Q0: khối lượng tại t=0
r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối
t: thời gian
Q: khối lượng tại thời điểm t
Chú ý Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ
Trang 20PHÂN RÃ PHÓNG XẠ
Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải Nobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức không đổi trong mô của nó
Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽ giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng hiện có Tốc độ phân rã là 0,0001238
Ví dụ 11 Một mảnh xương người được tìm thấy tại một
địa điểm khảo cổ ở Châu Phi Nếu 10% lượng chất phóng
xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của
xương (làm tròn đến 100 năm) Đ/S: 18.600 năm