Một số hệ phương trình khác: Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý, nhóm hạng tử chung và đặt ẩn phụ để giải.. Phương trình – hệ phương trình..[r]
Trang 1Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I Phương trình – Bất phương trình:
0 0
0 2
2 0
0
2 0
0
B B
B B
3 A3 B 3C A B 33 A B 3 A 3 B C 3 A3 B 3C
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Đặt t f x( ), t f x( ) g x( ) (với điều kiện tối thiểu là t 0)
Đối với các phương trình có chứa tham số thì lập BBT để tìm điều kiện chính xác cho ẩn phụ t,
Đối với phương trình có nhiều căn thức, đặt mỗi căn thức một ẩn
Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
VD: Giảix2 3 x22x 1 2 x22
Phương pháp hàm số:
Nếu y f t là hàm đơn điệu thì f x f t x t
Bài tập: Giải các phương trình:
1) 3 x343 x 3 1 2) 3 x x2 2 x x2 1
3) x2 x 12 x 1 36 4) 3x2 2x2 5x 3 16 2x 3 x1
5) x 3 3 x 1 6) x 3 7 x 2x8
7) x 3 5 x x28x18 8)x3 x2 4 x29
9) Tìm m để pt, Bất phương trình sau có nghiệm:
a) 2x2(m2)x 8 2 x b) x 1 3 x x2 4x 3 m
c)mx x 3 m 1 A09: 2 33 x 2 3 6 5 x 8
B10: 3x 1 6 x 3x214x 8 0 A10:
x x
D10: 42x x2 2x3 4x x2 2x34 4x B11: Giải pt: 3 2 x 6 2 x 4 4x2 10 3 x
D11: 2 CĐ09:
2
log 8 x log 1 x 1 x 2 0 x 1 2 x 2 5x1
CĐ11:
a) Giải bất phương trình: 4 3.2x x x2 2 3x 41 x2 2 3x 0
b) Tìm các giá trị thực của m để pt sau có nghiệm:
6 x 2 (4 x x)(2 2) m 4( 4 x 2x 2)
CĐ 12:
Trang 2a) 4x3 x x( 1) 2 1 0x
b) Giải bất phương trình: log (2 ).log (3 ) 12 x 3 x
B12: x 1 x2 4 1 3x x
II Hệ phương trình:
1 Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi-ét đảo tìm x, y.
Vi-ét đảo: Nếu 2 số x1, x2 có 1 2 thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 SX + P = 0
1 2
Bài tập: Giải hệ phương trình
35
x y xy
2
xy x y
4
4
4
5 Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :
3
6 Giải phương trình: 3 3 3
1
2
7 Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
2 Hệ phương trình đối xứng loại 2:
Cách giải: Trừ từng vế 2 phương trình ta được: (xy)g(x,y)=0 Khi đó xy=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ
phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm
Bài tập: Giải hệ phương trình
3
3
4 4
1 1
1 1
2
2
3 2
3 2
x
y x
y
3 Hệ phương trình đẳng cấp:
Cách giải: Chia từng vế của 2 phương trình, đưa về một phương trình đẳng cấp mới có vế phải bằng 0
Bài tập: Giải hệ phương trình
4 Một số hệ phương trình khác:
Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý, nhóm hạng tử chung và đặt ẩn phụ để giải
2
2 2
3
1
y x
Trang 3HD: (1) x y 1 1 0, ĐS:
xy
2
2 2
2
2 3
2 3
y
y
x
x
x
y
1;1
4
1
25
y x
y
3 4
y
2 3
A06: 3 HD: Đặt , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3.
2 2 2
xy x y x y
2
2
xy
17 4
5 4 5
1 2
4
2 2
5 4 5
4
2
v xy
1 7
1 13
5
x x y
x y
x
x y x y
x xy y
2 2
1 2
2 0
xy x
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1) PT cơ bản:
2) Pt lượng giác thường gặp:
a) PT bậc nhất đối với sinx, cosx: Dạng asinx + b cosx = c
PP: Chia hai vế cho a2b2 Phương trình trở thành
2 2
a b
Chú ý: phương trình có nghiệm khi: a2b2 c2
b) Phương trình đẳng cấp: a.sin2 x b sin cosx x c cos2x0
PP: Nếu a = 0 hay c = 0 đưa về pt tích
Trang 4Cosx = 0, PT trở thành sin x = 0 : vô lý Nên cosx , chia hai vế cho cos0 2x và đưa ptrình về bậc hai đối với tan x
c) Phương trình đối xứng: Dạng: a(sinxcos )x b sin cosx x c 0
PP: Đặt t = sinx + cosx = 2 sin( )
4
x ,
2 1 sin cos
2
t
x x ñieàu kieän : 2 t 2,
3) Công thức cần nhớ:
1
2 3
4
Công thức cộng:
Công thức biến đổi:
Nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác:
Biến đổi: Đưa về 1 cung, 1 hàm
Đặt t
Phân tích thành tích
BÀI TẬP: Giải các phương trình:
1 2sin3x – cos2x + cosx = 0 2 cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0
3 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) 4 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx)
5 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) 6 sinx4sin3x+cosx =0
7 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 8 sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx
9 2sinx+cotx=2sin2x+1.HD: ta có: 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0 Đặt t=sinx, ĐK t 1 =(4cosx–1)2
Phương trình lượng giác trong các đề thi ĐH
sin 2
x
x
3)5sinx 2 3(1 sin ) tan x 2 x (B 2004) 4)(2cosx1)(2sinxcosx)sin2xsinx (D04) 5)cos23x.cos2xcos2 x0( A 05) 6)1sinxcosxsin2xcos2x0( B05)
2(cos sin ) sin cos 0
2 2sin
x
3 ) 4 3 sin(
) 4 cos(
sin
x x
x x
2
x
11)(1 sin )cos 2 x x (1 cos )sin2x x 1 sin 2x(A07)
Trang 512) 2sin 22 xsin 7x 1 sinx (B 07) 13) (D 07)
2
3
2
x
15)sin3x 3 cos3 xsin cosx 2x 3 sin cos2 x x (B08)
16)2sin (1 cos2 ) sin 2x x x 1 2 cosx (D08) 17) (1 2sin ) cos 3 (A2009)
(1 2sin )(1 sin )
18)sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin ) ( 09)3x B
19) 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 ( 09)D 20)
(1 sin cos 2 )sin
1
4 cos (A10)
x x
21) (sin 2xcos 2 ) cosx x2cos 2xsinx0 ( 10)B
22) sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 (D2010) 23) 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2 ( 11)
1 cot
x
24) sin 2 2cos sin 1 0 ( 11) 25)
D x
sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcos ( 11)x B
26)CĐ11: cos 4x12sin2x 1 0 27) CĐ10: 4cos5 cos3 2 8sin 1 cos 5
1 2sin x cosx 1 sinxcosx 3 s in2xcos 2x2cosx1
30) B12: 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1
31) D12: s in3xcos 3xsin cos x 2 cos 2x 32) CĐ 12: 2cos2x ++ sinx = sin3x
Bài tập tham khảo:
Gải các phương trình sau:
1) 2cos (2 ) cos sin 22 sin sin 2 1 HD: biến đổi:
s in2 (1 2cosx xsinxsin ) 0x 2) sin (1 cot ) cos (cos3x x 2x xsin ) cosx xsinx
3) 2cos2 6 cos( ) 2 s in2
4
4) 2cos2 x 3 s in2x 1 3( ins x 3 cos )x
5) 3(2cos2 xcosx 2) (3 2cos )sinx x0
6
7) 2 sin(2 ) 2 3cos sin
4
x x x
8) 1 2 sin 2 cos cos 3
4
9) 6sinxcos3x5sin 2 cosx x
10) 3 s in2 (2cosx x 1) 2 cos 3xcos 2x3cosx
11) 3 cos 2x2cos (sinx x 1) 0
12)9sinx6cosx6sin cosx x2cos2x 9 0
13)sin 4x4sin5 2x4(sinxcos )x