Ôn tập Giải tích 12 - Kì 2

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một[r]

( ) ( )

f x dx F x   C



Chương III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bài 1 : NGUYÊN HÀM

I/ Tĩm tắt lí thuyết :

1/ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)

trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K

Định nghĩa 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm

của f(x) trên K Kí hiệu  f x dx( )

ta cĩ:

2/ Tính chất:

Tính chất 1: /

( ) ( )

f x dx f x C

 Tính chất 2: kf x dx k f x dx k( )   ( ) ( 0)

Tính chất 3:[ ( )f x g x dx( )]  f x dx( ) g x dx( )

Tính chất 4:Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì f ax b dx( ) F ax b( ) C( a≠0)

a





3/ Bảng nguyên hàm thường dùng.

1  

1

1

x









( 1)

ax b

a















 2

1 dx 1 C

x

x







dx

x C x







e dx e C

(ax+b) e

e dx  ( 0)

a

ln

x

a

.ln

bx c

bx c a

b a



 sinx.dx cos x C

sin(ax+b).dx ax b C

a

 cosx.dx= sinx + C

cos(ax+b).dx= + C

a



2 tan

os

dx

x C

tan( )

( 0)

os ( )





sin

dx

x C

x   

cot( ) sin ( )

C







4/ Các phương pháp tính nguyên hàm:

a/ Phương pháp đổi biến:

Định lý: Nếu  f u du F u( )  ( )C và u = u(x) là hàm số cĩ đạo hàm liên tục thì:

'

( ( )) ( ) ( ( ))

f u x u x dx F u x C



b/ Phương pháp từng phần:

Định lý: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) cĩ đạo hàm liên tục trên K thì: u dv u v v du

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết quả

Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx

x

2 3x

Giải a/

4



ln 2 ln3



c/

6



d/

5

5

x



Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho

B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm  nguyên hàm cần tìm

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= 0.

6



Giải

Ta có F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = 0 1 - cos + C = 0 C = -

6

6



Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x -1



Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm f[ (x)] '(x)dx   (1) bằng phương pháp đổi biến

b1: Đặt t = (x)   dt = '( ) dxx

b2: Thay vào (1) ta được  f t dt( ) , dựa vào bảng nguyên hàm thường dùng tính  f t dt( )

b3: Thay t= (x) vào nguyên hàm vừa tìm được suy ra kết quả

Ví dụ :

a) Xét nguyên hàm I (x1)10dx

Đặt u = x-1  du = (x-1)’dx = dx Ta có:  10 10 u11 x 111

x 1 dx u du



b) Xét ln x dx; đặt t=lnx dt =

x

x

x

5 ) 1 ( Giải Đặt u = x + 1 x = u – 1; du = dx A =   













du u u

du u

u

5 4 5

1 1 1

   

u



4

1 3

1

x  x C









) 1 ( 4

1 1

3 1

Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp Từng phần:

Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu nguyên hàm bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển nguyên hàm đã cho theo công thức từng phần  u dv uv    v du

B3: Tính v du suy ra kết quả

Ví dụ :

a/ Tìm xsinxdx

dv sinxdx v - cosx



Ta cĩ : xsinxdx = - x.cosx +cosxdx = - xcosx + sinx + C

b/Tìm I= x e x dx

 2

Đặt

2

x x

du 2xdx

u x

v e

dv e dx









Khi đĩ:

=x2.ex - 2

dx

e

x x

 Tính x e dx x

dv e dx v e



x

x e dx

 I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C

c/ Tìm lnx dx

1

dv dx

v x

x



B/ Bài tập tự giải:

Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.

1 f(x) = x2 – 3x + 2 f(x) =

x

1

2

4 3 2

x

x 

3 f(x) = 21 4 f(x) =

x

x

2

2

2 1) (

x

x 

5 f(x) = x3 x4 x 6 f(x) =

3

2 1

x

x 

7 f(x) = 8 f(x) =

x

x 1)2

( 

3

1

x

x

9 f(x) = 10 f(x) = tan2x

2 sin

2 2 x

11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2

15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x

17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + )

cos2 x

ex

19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1

Bài 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3

3 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 4 f’(x) = x - 12 2 và f(1) = 2

x

5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)0, f(1)4, f(1)2

x b

7 f’(x)=sin2x.cosx, bieát f( )= 8 f’(x) = e1-2x , bieát f(

3

 3

2

2

2 1





1 1) 3

 f x( ) 3 5cos ; ( ) 2   x F  

x

2

3 5

x

2



Bài 3 Dùng phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm các hàm số sau:

1 (5x  dx1) 2 (32x)5 3 4

dx

dx x

5 (2x2 1)7xdx 6 (x3 5)4x2dx 7 x2 1.xdx 8

x

x

5

2

9   dx 10 11 12

x

x

3

2

2

5

3

 x(1 x)2

dx

dx x

x

13 sin4 x cos xdx 14 15 16

x

x

5

cos

sin

cotgxdx costgxdx2 x

17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20  dx 21

x

e x

x

e

dx e

x

e tgx

2

cos  1x 2 dx

 4 x 2

dx

x2 1x2.dx

1 x 2

dx

27   2 28 30 31 32

2

1 x

dx

x

cos3xsin2 xdx x x1.dx e x 1

dx

dx x

Bài 4 Dùng phương pháp từng phần tìm nguyên hàm các hàm số sau.

1 x sin xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5)sinxdx 4

(x2 2x3)cosxdx

5 xsin2xdx 6 xcos2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx 9 x ln xdx

10 ln2 x dx 11 lnxdx x 2 e x dx 13  dx 14

x

x

2

cos xtg2xdx

15 sin x dx 16 e x.cosxdx 18 x3e x2dx 19

xln(1x2)dx

20 2x xdx 21 x lg xdx 22 2xln(1 dx x) 23   dx 24

x

x

2

) 1 ln(

x2cos2xdx

Bài 1 : TÍCH PHÂN

I/TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1/ Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên

đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b])

của hàm số f(x), ký hiệu: ( ) Người ta cịn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a) Như vậy

b

a

f x dx

a

nếu F là một nguyên hàm của f trên k thì :

2/ Tính chất của tích phân

a

dx

x

a

dx x

b

dx x

a

dx x

b

dx x

a

dx x

f( )

4)  f x g x dx  + 5) =

b

a

) (

)

a

dx x

a

dx x

a

dx x

a

dx x f

II/ BÀI TẬP:

A/Bài tập mẫu:

Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên

hàm thường dùng kết quả.

Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:

1

(x 1)dx





4

2

4









2

1







Giải

a/ 3 3 =

1

(x 1)dx







3

3

x





4









=(4tg 43cos ) [4 (4 tg 4) 3cos( 4)]=8

2

1





2

1





1

1

2

(1 x dx)





1

(x1)dx

 

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tính các tích phân sau:

0

(x  x 1)dx

2 1

e

1

2

1

1

x dx



3

(2sinx 3cosx x dx)





0

(e xx dx)

0

(x x x dx)

1

( x1)(x x1)dx



3

1 (3sinx 2cosx )dx

x





0

(e xx 1)dx

1

(x x x x dx)

1

( x1)(x x1)dx



3

3

1







2 x.dx 2 -1 x

2

e 7x 2 x 5

dx x

1



x 2



2 x 2

= F(x)| =F(b) -F(a)

b

a

dx x

a

16 2 x 1 dx 17 18 19

2







ln

3

2 x dx

6







cos sin

4 tgx dx 2



cos

0





x

1 e dx

0 e e



2

1 4x 8x



3 dx



0





 sin







1

1

2

0

3

2 2





2 2

) 3 (x dx





4 3

2 4)

28 dx 29 30 31

x

x









2

1

3

2

1

1

2 

1 3

2 2

dx x

x x

e

e

x dx

1

1

.dx

x

x

x x

e

2

1

7 5

2

dx x x











8

1 4





2

0

(3 cos2 ).x dx 1 

0

(e x 2)dx

Bài 2 : Tính các tích phân sau:





3

3

2 1dx

0

2 4x 3dx

0

dx m x

 2 2

sin



 dx x









dx x

sin

6

2





dx x g x

3 4

2 sin





dx

0

cos









5

2

) 2 2

0

4

2x dx







3 2

3

cos cos cos





dx x x x

2 0

1 sin xdx







5

3

( x 2 x 2 )dx





2 1

2

1

x



0

2 4dx



0

1 cos2xdx







Bài 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :

I/ Tĩm tắt lí thuyết :

1 Phương pháp đổi biến số.

Cơ sở của phương pháp đổi biến là cơng thứcb u(b) (1)

a f[u(x)].u'(x)dx u(a)f(u).du Trong đĩ hàm số u = u(x) cĩ đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f(u(x)) được xác định trên K; a và b là 2 số thuộc K

2 Phương pháp từng phần.

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:

Hay

a

a u(x).v '(x)dx  u(x).v(x)  a v(x).u'(x)dx

a

a u(x)dv  u(x).v(x)  a v(x)du

II/ BÀI TẬP:

A/Bài tập mẫu:

Dạng 1: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dxb bằng phương pháp đổi biến.

a





Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x) dt =   '( ) dxx

b2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b)   

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

Ví dụ : Tính tích phân sau :

a/ b/

1

2

0

1

x







0

3

Giải:

a/ Đặt t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx

Đổi cận: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vậy I=  

3 3



b/ Đặt t= x 2 3 t 2= x2+ 3 tdt = x dx

Đổi cận: x = 0 t = 3 ; x = 1 t = 2 Vậy J = 

2

2

1 (8 3 3)

t

t dt 



Dạng 2 Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:

Công thức từng phần : b b b

a

u dv u v v du



Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v.

B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.

B3: Tích phân b suy ra kết quả

a

vdu



Chú ý:

a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho b dễ tính hơn nếu khó hơn phải tìm cách

a

vdu

a

udv

đặt khác

b/Khi gặp tích phân dạng : b ( ) ( )

a

P x Q x dx



- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên

- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a/ I=2 b/J=

0

.cos





1 ln

e

x x dx



Giải



 



vậy I=x cosx 2 - 2 = cosx = -1

sin x dx



b/ ẹaởt :

2

1 ln

2





 



Vaọy J= lnx 2 -

2

x

1e

2 1

e

x







B/Bài tập tự giải:

Tớnh caực tớch phaõn sau bằng phương phỏp đổi biến.

Bài 1 :



2 sin

0

.cos

x

0

1 x x   dx



3 8 2 8

4 sin 2

dx x



0

cos x sin xdx







1

x

x

e





 2 0

0

e

x



0

sin 2 cosx x xd

1

1 ln

e

x dx

0

Bài 2 :







24

0





3 5

2 3

5

d

9 25

x x

3tan 5





2

0

5

x





e) (đặt ) g) h)











4

2

4

1 tan

d cos

x x

0  x x  dx

k) l) ;

2





1 1

0  x  xdx







24 0

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần :

Bài 1 :

4

1

ln d

e







2 2 6

d sin

x x

x    

0

sin d







0 1

2x 3 e xdx

e) g) h) i) .









0

(x 1)sin dx x 2

1

ln d

e

0

ln(1 x x)d

0

(x 2x 1)e xdx

2

2

1

ln(1 )

d

x x x



0

x

x e dx



4 2

0 cosx dx

1

ln

e

2

2 ln(x x 1).dx



2

0

.cos

x

e x dx

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:

a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:

Phương pháp giải:

Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

2 1

b/

1

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/I=2 3 22 2/J=

1

x





4 2

3

1

x

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:

Phương pháp giải:

Tách thành tổng các tích phân rồi tính

Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ: Tính các tích phân : 2 ( )

2 1

6

-ị

Giải

2

6

x

x x

A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 vậy ta có:

=

2

2

1

6

1 1

-ị

Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:

Ví dụ: Tính các tích phân :

1 2 0

- +

ị

Giải CI:

2

x





1

0 5 ln4 2



Ax -2A+B= 0











x-2  5 ln4

2

Trường hợp mẫu số vô nghiệm:

Ví dụ: Tính các tích phân :I=

0 2 1

-+ -+

ị

Giải:

2

0

+ +

1

4 ln/x +2x+4/ ln 4 ln3 ln

3

 

Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

3

1 2

dx x x

x

a

dx b x a

(

1

1  

0

3

1

1

dx x

x x

2

2

3 2

1

dx x x x

0

3

2

) 1 3

x

0

2

2( 3) )

2 (

1

dx x

1

2008

2008

) 1

(

1

dx x

x

x









0 1 2

2 3

2 3

9 9 6 2

dx x

x

x x x

2

2 2

4

) 1

x

1  

0 2

3 2

) 1

x

n

n

1

2 4

2

) 2 3 (

3

dx x

x x

2





x

dx

13.3   14 15 16

2

3

2

2 3

3 3 3

dx x

x

x x

3 

2

dx x

x

dx x

x













1 0

3 1

2 2



















0 1

1 2 1 2

2

dx x x

x

x

x













2

0

1 2

1 3

dx x

x x

1  

0

2

3

3 2

dx x x

x x























0 1

2

1 2 1

1

dx x x

x x





















1 0

2

1 1

2 2



1 2

0

1

5 6dx





5 2 4

1 2

6 x dx9

4 2 2







Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:

Dạng1:b ( ,n  ) Đặt t=

a

Dạng 2:  Đặt t=



b ( ,n )

a

ax b

ax b

cx d





Ví dụ: Tính tích phân I = 1 3

0

1 xdx



Giải

Đặt t =31 x  t3= 1-x  x= 1-t3 dx= -3t 2dt

Đổi cận:

x=0 t=1; x=1 t=0 Vậy I=  

1

3

t



Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

1/1 3  2/

0

1

1 

2 2

x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp

Dạng: sin cos ax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx



Phương pháp giải:

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải

Dạng: sin n xdx; cosn xdx





Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến

Ví dụ :

1 cos2

2

n

x



















Dạng:  R(sin ).cosx xdx Đặc biệt:









Phương pháp giải: Đặt t =sinx

Dạng:  R(cos ).sinx xdx Đặc biệt:











Phương pháp giải: Đặt t =cosx

Các trường hợp còn lại đặt x=tgt

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

0

sin3 cos x x dx



0

sin xdx



0

cos xdx



0

cos sinx xdx





Giải

0

sin3 cos x x dx











0 0

1(sin 4 s 2 ) 1 cos4( cos2 ) 1

x in x dx

b/







0

1 cos2 1 sin 2

0

cos xdx









cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx

đặt u=sinx du = cosx dx.

x=0 u=0 ; x= u=1 vậy: I= 

0 0

2

u

d/J=2cos sin3x 2xdx=









2cos sin cos 2 x 2 x x dx 2(1 sin )sin cos 2x 2x x dx

đặt u=sinx du = cosx dx.

x=0 u=0 ; x= u=1 J= 

0

2

Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

0

2 cos

sin





2

0

3

2 cos sin



xdx

0

5

4 cos sin



0

3

3 cos ) (sin



dx x

0

4

(sin

2

cos



dx x x

0

2

2 sin cos cos ) sin

2 (



dx x x

x

3

sin 1





dx x

9 10

0

4 4 10

(sin



dx x x x

0

Cosx

dx

2 sin x





0

2

3

cos 1 sin



dx x x

11.3 12 13 14

6

4 cos

sin



dx

4

0 3



xdx

6

3

cot



0

sin

0

2

3

cos

sin



dx

x

x

0

3

2 ) sin 1 ( 2 sin



dx x

0

2cos



xdx

0

1 2

2 sin



dx e

0

2

2 sin xdx

0

2

cos ) 1 2 (



2 sin 2 sin 7 2





0

3 sin2 sin cos



xdx x

0

) 1

ln(



dx tgx

3

2 4 sin

0 1 cos 

x dx x





 2 2

3 cos 5 cos





xdx

 2 2

2 sin 7 sin





xdx x

27 4 28 29/ 30/ 31/

0

2

sin



0

cos 2 sin



xdx

0

cos x dx.



2 3 3 0

sin cos x x dx

32/ 33/

2

0

sin x.cos x dx.



6

1 sinx dx









2 7 4 0

sin x.cos x dx.

MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG

Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

a a

f(x)dx 0







2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

f(x)dx 2 f(x)dx







Ví dụ: Tính tích phân

I= 2 2

2

cos x.ln(x x 1)dx

p

ị

Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì: