PhÇn V: KÕt luËn Bµi to¸n t×m GTLN,NN nãi chung vµ bµi to¸n t×m GTLN,NN cña hµm nhiÒu biến nói riêng là dạng toán tương đối khó nhưng lại xuất hiện thường xuyên trong các đề thi đại học [r]
Trang 1Phần I: Đặt vấn đề
Trong chương trình THPT bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhiều biến là một dạng toán khó Dạng toán này có nhiều trong các đề thi ở các lớp phổ thông và đặc biệt là ở các bài toán hay và khó trong các đề thi đại học.Làm thế nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá để đưa về được bài toán về khảo sát bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ở dạng cơ bản đây cũng là vấn đề suy nghĩ trăn trở đối với chúng tôi
Vì vậy tôi viết nội dung này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách định hướng giúp các em có thể giải tốt các bài toán tìm GTLN,NN của hàm số có từ hai biến số trở lên mà không coi đó là một dạng bài tập quá khó nữa
Nội dung bài viết gồm
I/ Đặt vấn đề II/Nội dung III/Biện pháp thực hiện.
IV/Kết quả
V/Kết luận
Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được sự góp ý của các quý thầy cô để sáng kiến kinh nghiệm của mình được hoàn thiện hơn!
Thái Phúc ngày 20/07/2012
Giáo viên Trần Văn Huấn
Trang 2
Phần II:Nội dung
Sáng kiến kinh nghiệm
Phương pháp quy về một biến trong các bài toán
tìm GTLN,NN chứa nhiều biến.
Ví dụ 1:( Đề thi đh GTVT -2000):Tìm GTNN của hàm số:
f(x,y)=(x-2y+1) +(2x+my+5)2 2
Tìm tòi,định hướng lời giải:
-Em có nhận xét gì về dấu của f(x,y)(f(x,y) 0)
-Vậy f(x,y)=0 khi nào?Suy ra dẫn đến hệ?Để tồn tại (x,y) sao cho f(x,y)=0 thì hệ có
đk gì?Từ đó suy ra giá trị của m,suy ra GTNN của f?
-Khi f(x,y)>0 tương đương với hệ nào vô nghiệm, tương đương với m ?Khi đó đặt t=x-2y+1 thì F(t) có GTNN là bao nhiêu?
Bài giải:
Th1: (x ,y ) sao cho f(x ,y )=0 0 0 0 0
Có nghiệm m -4
5 2
1 2
my x
y x
Khi đó min f =0
Th2:Không (x ,y ) để f(x ,y )=0 0 0 0 0 m=-4
Ta có f(x,y) = (x-2y+1) +(2x+my+5) >0 (x,y)2 2
t=x-2y+1 f(x,y)=F(t)=5t +12t+9 2 x-2y-11/5=0
5
KL: +)Nếu m -4 thì fmin=0
+)Nếu m=-4 thì fmin=9/5 khi x-2y-11/5=0
Ví dụ 2:( Đề thi đh khối B-2008):Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x2
+y =1.Tìm GTLN,NN của biểu thức P=2
2
2 2 2 1
) 6 ( 2
y xy
xy x
Tìm tòi,định hướng lời giải:
-Em có nhận xét gì về giá trị của P khi y=0
-Khi y 0,đặt x=ty thì P(t)=?
-Em hãy đi tìm TGT của P,từ đó suy ra Pmax,Pmin?
Lời giải:
-Nếu y=0 từ giả thiết ta có x =1 suy ra P=22
-Nếu y 0đặt x=ty(t Z) suy ra
P= (t +2t+3=(t+1) +2>0 t)
3 2
12 2
2
2
t t
t
(P-2)t +2(P-6)t+3P=0(1)2
+)Nếu P=2 suy ra t=
4 3
+)Nếu P 2 suy ra (1) có nghiệm ' 0 -2P -6P+36 02 -6 P 3
Trang 310 10 10 10
Pmin =-6 khi (x=- ;y= ) hoặc (x= ;y=- )
13
3
13
2
13
3
13 2
Ví dụ 3: ( Cao đẳng Khối A, B – 2008 ) Cho x y, là số thực thỏa mãn x2 y2 2 Tìm giá trị LN,NN của biểu thức: P=2(x +y )-3xy 3 3
Tìm tòi,định hướng lời giải:
-Tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận?
-Ta nghĩ tới các hằng đẳng thức nào?(x +y =(x+y) -2xy;x +y =(x+y) (x -2 2 2 3 3 3 2
xy+y )2
-Biến đổi P xuất hiên giả thiết và quy về một biến?(Dẫn đến P=2(x+y)(2-xy)-3xy,từ gt suy ra xy=?Đặt t=x+y thì P=?)
-Từ bđt x +y2 2 thì t thuộc đoạn?
2
) (xy 2
Lời giải
Ta có :
2( )( 2 2) 3
Ta có : ( )2 2, Vậy đặt thì:
2
x y
xy
2
x y
2
P t t t t 2 t 2
Ta có P t'( ) 3t2 3t 6
1 '( ) 0
2
t
P t
t
Ta có bảng biến thiên như sau :
t -2 1 2 P’(t) + 0
-P(t)
13
2
-7 1 Vậy
khi
2;2
min ( )P t P( 2) 7
2;2
;
( ) (1)
;
max P t P
Trang 4Ví dụ 4: (ĐH Khối D – 2009 )Cho x 0,y 0 và x y 1.Tìm GTLN,NN của biểu thức sau:
S (4x2 3 )(4y y2 3 ) 25x xy
Hoạt động tìm tòi khám phá:
- Từ giảthiết x y 1 có thể đưa về bài toán một ẩn không ?
- Biến đổi S làm xuất hiện x y để sử dụng giả thiết.
-Chú ý các hằng đẳng thức :
Sau khi khai triển S và thế x y 1 ta có : S 16x y2 2 2xy 12
- Sau đó đặt : txy để đưa S về một biến
-Đánh giá biến t bằng bất đẳng thức : 0 ( )2 .
4
x y
xy
Lời giải
Ta có : S (4x2 3 )(4y y2 3 ) 25x xy 16x y2 2 12(x3 y3 ) 34 xy
16x y2 2 12(x y x )( 2 xy y 2 ) 34 xy
16x y2 2 12[(x y ) 2 3 ] 34 , do xy xy x y 1
16x y2 2 2xy 12
Đặt txy Do x 0;y 0 nên 0 ( )2 1 0 1
x y
Xét hàm số f t( ) 16 t2 2t 12 với 0 1
4
t
Ta có f t'( ) 32 t 2
1 '( ) 0
16
f t t
Bảng biến thiên
t 0
1 16
1 4
f(t)
2
191
16
Vậy :
1
0;
4
f t f
x y 2 3 2 3
;
x y
1
0;
4
( ) ( )
max f t f
2
x y
Trang 5Ví dụ 5 ( ĐH Khối B – 2009) Tìm GTLN,NN của biểu thức:
A 3(x4 y4 x y2 2 ) 2( x2 y2 ) 1 .
Với x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện: (x y ) 3 4xy 2.
Hoạt động tìm tòi khám phá:
-Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng
dễ dàng hơn,ta cần lưu ý hằng đẳng thức :
23 32 ( )2 22 2
-Và (x y ) 2 4xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y 1
Ta biến đổi A như sau :
A x y x y x y
3 2 2 2 3( 2 2 2) 2 2
x y
x y x y
( do 4 4 ( 2 2 2) )
2
x y
4
A x y x y
- Vì vậy ta có thể nghĩ đến đưa A về một biến bằng cách đặt t x2 y2.
- Tìm điều kiện của t ta sử dụng bất đẳng thức 2 2 ( )2 .
2
x y
x y
Lời giải.
Ta luôn có : (x y ) 2 4xy,nên suy ra :
(x y ) 4xy 2 (x y ) (x y) (x y ) 4xy 2
2
x y x y
x y x y x y
x y
Do
2
Bài toán dẫn đến tìm max min của biểu thức:
A x y x y x y
Với x y, thỏa mãn x y 1
Ta có :
A x y x y x y
3 2 2 2 3( 2 2 2) 2 2
x y
Trang 6( do 4 4 ( 2 2 2) )
2
x y
x y
4
A x y x y
2
x y
x y
1
2
x y
Đặt tx2 y2 Ta có hàm số 9 2 với
4
f t t t 1
2
t
9
2
4 '( ) 0
9
f t t
Ta có BBT:
9 1
'( )
( )
f t
9 16
1 2
t
f t f
2
t
Suy ra 9 Mặt khác, ta dễ thấy thì
16
2
x y 9
16
A
Kết luận : min 9 khi và không có giá trị lớn nhất
16
2
x y
Ví dụ 6: (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x y, 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện
Tìm GTLN của biểu thức:
2 2
(x y xy x ) y xy
A 13 13
x y
Lời giải:
x y x y x xy y x y A
Đặt x ty Từ giả thiết ta có (x y xy x ) 2 y2 xy (t 1)ty3 (t2 t 1)y2
1
2
2
1
t t A
2
Trang 7Ví dụ 7 (ĐH Khối B- 2011)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
Tìm GTLN của biểu thức :
2 2
2(a b ) ab (a b ab )( 2)
P 4 a33 b33 9 a22 b22
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
2 2
2(a b ) ab (a b ab )( 2)
a b ab a b ab a b
a b
a b a b
b a
1 1
2 a b 1 (a b) 2
áp dụng bđt cô-si ta có:
2
b a
2
t P 4(t3 3 ) 9(t t2 2) 4 t3 9t2 12t 18
Xét hàm số: f t( ) 4 t3 9t2 12t 18
'( ) 6(2 3 2) 0,
2
f t t t t
5
;
2
min ( )
f t f
Vậy min 23 đạt được khi và chỉ khi và
4
2
a b
b a a b 2 1 1
a b
( ; ) (2;1)a b hoặc ( ; ) (1; 2)a b
Ví dụ 8:( Đề thi đh khối D-2012)Cho các số thực x,y thỏa mãn (x-4) +(y-4)2 2
+2xy 32.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x +y +3(xy-1)(x+y-2). 3 3
B ài giải:
+)Ta có (x-4) +(y-4) +2xy 32 2 2 (x+y) -8(x+y) 0 2 0 x+y 8
+)Mà 4xy (x+y) 2 -6xy - (x+y)
2
Ta có A=x +y +3(xy-1)(x+y-2)=(x+y) -6xy-3(x+y)+6 3 3 3
Suy ra A (x+y) - (x+y) -3(x+y)+6 3
2
Trang 8Đặt t=x+y(0 t 8).Xét hàm số f(t)=t - t -3t+6 3 f'(t)=3t -3t-3
2
Ta có f'(t)=0 khi t=
2
5 1
2
5 1
4
5 5
17
4
5 5
17
4
5 1
Ví dụ 9: (Đề thi khối B-2012) :Cho các số thực x,y,z sao cho x+y+z=0 và x +y +z2 2
=1.Tìm GTLN của biểu thức P=x +y +z
Hoạt động tìm tòi khám phá:
-Từ giả thiết biến đổi theo x+y và xy?
-Biến đổi P thành x+y và xy,đặt t=x+y cùng với giả thiết để đưa P về một biến
-Điều kiện của t được đánh giá từ bất đẳng thức (x+y)2 4xy
B ài giải:
Ta có z=-(x+y) suy ra x +y +(x+y) =1 2 2 2
x +y +xy= 2 2
2 1
(x+y) -xy= 2
2 1
Đặt t=x+y suy ra xy=t - 2
2 1
Vì (x+y) 2 4xy t 2 4(t - ) 2 t
-2
1
3
2
3
2 3
2
t
Mà P=x +y -(x+y) =-(5x y+10x y +x y +5xy ) 5 5 5 4 3 2 2 3 4
=-5xy(x +2x y+2xy +y )=-5xy(x+y)(x +xy+y ) 3 2 2 3 2 2
=- t(t - )=- t + t
2
2
1 2
5 3 4 5
Dùng đạo hàm tìm GTLN của f(t)= - t + t trên đoạn ta tìm được Pmax=
2
5 3 4
5
3
2
; 3 2
36
6
5
Trang 9
Phần III: Biện pháp thực hiện
- Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút
- Dạy trong các tiết bài tập
- Thông qua báo bảng với chuyên mục “Tìm GTLN,NN với bài toán nhiều biến”
- Ngoại khóa
- Dạy vào tiết tự chọn
Phần IV: kết quả
Trong quá trình giảng dạy tôi đã lồng ghép vào kiểm tra lên bảng, đưa một số bài tương tự vào kiểm tra một tiết tôi thấy có 50% các em làm tương đối tốt dạng toán này ở lớp Toán, Lý, Hóa.Còn lại có khoảng 20% làm đúng hướng nhưng biến đổi thiếu chặt chẽ hoặc biến đổi sai
Phần V: Kết luận
Bài toán tìm GTLN,NN nói chung và bài toán tìm GTLN,NN của hàm nhiều biến nói riêng là dạng toán tương đối khó nhưng lại xuất hiện thường xuyên trong các
đề thi đại học trong những năm gần đây.Phương pháp đưa bài toán nhiều biến về một biến sẽ giúp các em xác định được lời giải tốt hơn khi ta đưa đươc về bài toán tìm GTLN,NN ở dạng cơ bản.Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham khảo và rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô./