Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo câu - Câu II

Sự đồng biến & nghịch biến “Dù chỉ nắm vững một kiến thức nào đó, cũng đều có ích cho trí óc, nó sẽ ném đi những thứ vô dụng nhưng giữ lại những thứ có ích” DA VINCI Page 1 Lop12.net... [r]

Nội dung chính phải học và làm được bài tập:

A PHẦN ÔN TẬP LŨY THỪA – PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGA RÍT

1 Giải được các dạng toán về lũy thừa, lôgarít và giải được các dạng phương trình mũ

và phương trình lôgarít:

Yêu cầu: Nhớ được các công thức về lũy thừa, lôgarít

Bất phương trình mũ Bất phương trình lôgarít Phương trình lôgarít

PP đưa về cùng cơ số PP đưa về cùng cơ số Phương pháp đặt ẩn số phụ Phương pháp đặt ẩn số phụ

Các phương pháp giải chủ

yếu

Phương pháp lôgarít hóa Phương pháp mũ hóa

biến thiên của hàm số PP nhẩm nghiệm và sử dụng sự biến thiên của hàm số

2 Các công thức cần nhớ:

 Về cơ số: khi xét lũy thừa a:

+   a:  xác định  a  

+   a:  xác định khi a ≠ 0

+    a\ :  xác định khi a > 0

 Qui tắc lũy thừa: Với a, b > 0; m,n  : 

 a am n am n ; m m n

n

a

a





  m n m.n; 

a.b a b

 * a0 = 1 với mọi a  0

m

  

 

 

*

m

m

n

n

a  a (a 0; m,n ; n 0)

 Đạo hàm :

;

x  .x (x 0, )

u  .u u (u 0,  )

Đạo hàm:  x / x (a > 0, a ≠ 1)

a a ln a

Sự đồng biến & nghịch biến

Định nghĩa : Cho 0 < a  1 , x > 0:

loga x = y  a y = x.

Các công thức :

* Với 0 < a  1 ta có: alog n a n ( n > 0 );

a

loga1 = 0; log a 1a 

* loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2;

* 1 = loga x1 loga x2 ( x1; x2 > 0 ) a

2

x log

*log xa   .log xa (x > 0, α ≠ 0).



 Đổi cơ số:

* b hay loga x = log a b.log b x

a

b

log x log x

log a



b

1 log a log b.log a 1a b 

 Đạo hàm :

a

1 log x

x.ln a



* / a

u ' log u

u.ln a



Về lũy thừa Về lôgarít

▪ Khi a > 1 hàm số y = a x đồng biến trên 

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a x ng biến trên Sự đồng biến & nghịch biếnKhi a > 1 hàm số y = log a x đồng biến trên

TXĐ ( 0 ; + ∞ )

Khi 0<a<1 hàm số y = loga x nghịch biến trên

TXĐ ( 0 ; + ∞ )

Chú ý: thường dùng các công thức sau:

Phương trình & bất phương trình mũ Phương trình & bất phương trình lôgarít

 ax = m  x = logam

 ax > m  a

a

x log m;(a 1)

x log m;(0 a 1)





ax 0 với mọi x R 

 Với 0 < a 1 thì:

 af(x) = ag(x)  f(x) = g(x);

 khi a > 1: af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)

 khi 0 < a <1: af(x) > ag(x)  f(x) < g(x)

 Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì:

 logax = m  x = am

 logax > m

m m

0 x a ; 0 a 1



 logaf(x) = logag(x) 

f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)









 Nếu a > 1 thì:

 logaf(x) > logag(x) 

f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)









 Nếu 0<a<1 thì:

logaf(x)>logag(x)

f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)









3 Các bài giải hoặc hướng dẫn minh họa:

Ví dụ 1: ( các ví dụ minh họa) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1) 2x+1 5x = 2.102x+5

10x = 102x+5



x = 2x +5 x = - 5

Vậy nghiệm của pt là x = - 5

PP giải:

Đưa về cùng cơ số

af(x) = ag(x)  f(x) = g(x)

 với cơ số a = 10 2) 5 x- 53 x = 20 ĐK: x 0

Giải: đặt t = 5 x 0

Các bước giải:

Bước 1: chọn và ẩn số phụ đặt

t = af(x)

Nội dung bài giải Phương pháp giải

p t đã cho trở thành:

t - 125-20 = 0 t2 – 20t -125 = 0

 t = - 5 (loại), t = 25 (nhận)

 t = 25 5 x 25 5 2  x   2 x 4.(thỏa mãn

điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 4

Bước 2: thay vào phương trình

để được một trong các dạng:

at + b = 0 (bậc nhất theo t)

at2 + bt + c = 0(bậc hai theo t)

at3 + bt2 + ct + d = 0

Giải tìm t rồi tìm x và kết luận

3) 3.49x + 2.14x – 4x = 0 

      

Chia hai vế của PT cho 4x rồi đặt t = (t > 0), phương

x 7 2

 

 

  trình trở thành: 3t2 + 2t – 1 = 0  t = -1 (loại), t = 1

3 Với t = 1

3

x

7 2

x log

    

 

  Vậy nghiệm của phương trình là 7

2

1

x log

3



PP giải: phương trình có chứa 3

“cơ số chính” là 7, 2 và 7.2 = 14

Ta có 3 cách đưa về cùng 1 có số

 chia 2 vế cho 4x

 chia 2 vế cho 49x

 chia 2 vế cho 14x Cách giải bên trái là 1 trong 3 cách trên

4) (*) Đk x -2

x

x x 2

Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có

(*)  x x 2x

3x log 3 8 log 6 x log 2 1 log 2

x 2



3 2log 2

x 2



x = 1 hoặc x = -(1+log32)



Vậy nghiệm của pt là: x = 1 hoặc x = -(1+log32)

PP giải: Ta có thể lấy loga 2 vế

với cơ số tùy chọn là loga cơ số

3, có số 8, cơ số e

PP đang sử dụng là lấy loga cơ

số 3

Sử dụng các công thức:

 loga(M.N) = logaN + logaM

 log ba log ba

 





5) ln(4x + 2) – ln(x – 1) = lnx (*)

Điều kiện:

4x 2 0

x 0

 



    



 



(*)  ln(4x + 2) = ln[x(x – 1)]  4x + 2 = x(x – 1)

 x2 – 5x – 2 = 0

Đặc biệt lưu ý đặt điều kiện để mọi lôgarít đều phải có nghĩa

Áp dụng:

logaf(x) = logag(x)  f(x)=g(x)

 sau tìm được các giá trị x cần

so sánh điều kiện để kết luận

Nội dung bài giải Phương pháp giải

 x 5 33 (loại) hay (nhận)

2



2





Vậy nghiệm của phương trình là: x 5 33

2



 6) ( 5 2)x 1x 1 ( 5 2)x 1 (ĐK: x  1)







  x 1

1 x

x 1







x 1 hay -2 x < -1

Vậy nghiệm của bpt là: x 1 hay -2 x < -1 

 với cơ số a = 5 2 hay

a = 5 2

 giải bpt (*) bằng cách chuyển

về 1 vế và xét dấu vế trái và dựa vào bảng xét dấu để kết luận

(cần nhận xét để thấy giải bất phương trình khác với giải phương trình ở “xét dấu biểu thức” để tìm nghiệm

7) log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1)

log5(4x +144) < log580(2x-2+1)



4x -20.2x +64 < 0 (**)



4 < 2x < 16 2< x < 4

Vậy nghiệm của bpt là: 2< x < 4

Cơ số 5 có sẳn nhưng “gom” các lôga như thế nào? Dùng công thức gì?

 giải bpt (**) bằng cách đưa

về cùng cơ số mấy?

8) 4x – 2.52x < 10x

HD: Chia hai vế cho 10x , ta được

, Đặt t =

     

x 2 , t 0 5

 

  Bất phương trình trở thành:



2

t

t

  

 t2 – t – 2 < 0

 0 < t < 2

,



x

2 5

2

5

 

    

 

Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2

5

x log 2

Hãy giải bpt này

4 Các bài tập luyện tập:

Bài 1: Giải các phương trình: ( Có phải PP đưa về cùng cơ số ? )

a) 5 2  5x 6 1 b) 1 3x 1 c)

3 3





 

 

 

2 3x 2

4    16

a) b) c)

2 2x 3

7 7

 





 

 

 

2 2

2 2







 

 

0,75

3





 

 

 

0,5  2 

 2 2 x 8  41 3x

x 1

125 25





 

 

  Bài 2: Giải các phương trình: ( Có phải PP đưa về cùng cơ số ? )

a) 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 750 b) 32x 1  32x 108 c) 52x 1 3.52x 1 550

d) 2x 1 2x 1 2x 28 e) 2.3x 1 6.3x 1   3x 9 f)

2x 7 1 1 6

.4 8 2





 

 

  Bài 3: Giải các phương trình sau đây:

5   22x 2  9.2x   2 0 22x 6 2x 7 17 0

d) 9x 2.3x 15 0 e) 64x 8x 56 0 f) 25x 6.5x 5 0

g) 9x 24.3x 1 15 0 h) 34x 8 4.32x 5 270 i) 4 x 36.2 x 1 32 0

j) e6x  3.e3x   2 k) 4 x2 5 x 2 x2  5 x 2  4 l)3x 1  18.3 x 29

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 3x 1 31 x 10 b) 5 x 51  x  4 0 c) e2x 4.e 2x 3

4  15  4  15  62   x x

Bài 5: Đơn giản – tính giá trị các biểu thức

)

3 2

2

2







b

a

b

a

3 3 4

3 3 3 3 2 3

(

a a

a a a a









2 x log2 x 3 log81 1

4

x log 25 2x  log (3 x 1) 2 

3 2x4  log1(2 ) 4

2

x   log 3 4 1

2

x

 



Bài 7) Tính:

a) log25100 log 254 b) log 20 log 6 log 152  2  2 c) log 5 log 10 log 252  2  2

d)log 6 log 7 log3  3  314 e) log 10 log 7 log 14 f)

5  5  5 1 1 log 49 log 8 log 2

4 2



g) 1 log 5 1 log 3 3log 52 5 h)



1log 9 log 6 log 4

2







B PHẦN ÔN TẬP CỰC TRỊ :

1 Phương pháp:

Phương pháp 1: Hàm số y = f(x)

 Tìm đạo hàm y’ = f’(x)

 Thay x0 vào f’(x) để có f’(x0) và lập phương trình: f’(x0) = 0 Giải phương trình này tìm giá trị của tham số ( thường là m, k)

 Thay giá trị m vừa tìm vào hàm số và hực hiện bài toán tìm cực trị ( hay cực đại, cực tiểu) Nếu tại x0 đúng yêu cầu của đề bài, ta được giá trị tham số cần tìm

Phương pháp 2: Hàm số y = f(x)

Sử dụng 1) Nếu   thì hàm số đạt cực trị tại x0

 00

0 0





 





f x

f x

2) Nếu   thì hàm số đạt cực trị tại x0

 

0 0

0 0





 





f x

f x

3) Nếu   thì hàm số đạt cực trị tại x0

 

0 0

0 0





 





f x

f x

2 Bài tập minh họa:

Bài tập:Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 2x 2 + mx – 3 Tìm m để hàm

số :

a) Đạt cực trị tại x = 1

b) Đạt cực đại tại x = 0

a) Cách 1 :

Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m Hàm số đạt cực trị tại x = 1

khi f’(1) = 0 3 – 4 + m = 0  m 1

Khi m = 1 ta có y’ = 3x2 – 4x + 1

y

Vậy: m = 1 thì hàm số đạt cực trị tại x = 1

Cách 1:

Bước 1: tìm f’(x) Bước 2: Hs đạt cực trị tại x0

khi f’(x0) = 0 ( giải phương trình này tìm m)

Bước 3:Thử lại xem với giá trị nào của m thì hàm số

đạt cực trị tại x = 1

-

CĐ

CT

-

Nội dung bài giải PP giải – các chú ý

Cách 2 :

Ta có f’(x) = 3x2 – 4x + m và f’’(x) = 6x – 4

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi:

1 ''(1) 0 2 0

m f

Vậy m = 1 thỏa đề bài

Cách 2:

Bước 1: tìm f’(x) và f’’(x)

Bước 2: H số đạt cực trị tại

x = 1 khi '(1) 0

''(1) 0

f f







Bước 3: giải hệ này tìm m

và kết luận

b) Cách 1 :

Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi f’(0) = 0  m = 0

Khi m = 0: y = f(x) = x3 – 2x2 – 3

y

Vậy: khi m = 0 hàm số đạt cực đại tại x = 0

Cách 2:

Ta có f’(x) = 3x2 – 4x + m và f’’(x) = 6x – 4

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi: '(0) 0 0 0

''(0) 0 4 0

m f

Vậy m = 0 là kết quả cần tìm

Cách 1:

Bước 1: tìm f’(x) Bước 2: Hs đạt cực đại tại

x = 0 khi f’(0) = 0 ( giải phương trình này tìm m)

Bước 3:Thử lại xem với giá trị nào của m thì hàm số

đạt cực đại tại x = 0

Cách 2:

Bước 1: tìm f’(x) và f’’(x)

Bước 2: Hsố đạt cực đại tại

x = 0 khi '(0) 0

''(0) 0

f f





 Bước 3: giải hệ này tìm m

và kết luận

Bài tập tương tự :

1 Cho hàm sốy f x x   3– 2mx mx2 – 3 Tìm để hàm số m

đạt cực tiểu tại x 1

2 Tìm để hàm số m y x 3 3mx2(m21)x2 đạt cực đại tại

2

x 

3 Chứng minh rằng hàm số y = x3 + mx2 – (1 + n2)x – 5(n + m)

luôn luôn có cực trị với mọi giá trị m,n

4 Xác định m để hàm số y = x3 – mx2 + (m – )x + 5 có cực trị tại 23

x = 1 Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính giá trị cực trị

tương ứng

HD: câu 1 Và 2 Tương tự

như trên

3 y’ = x2 – 6mx + m2 – 1

HS đạt cực trị  phương trình: x2 – 6mx + m2 – 1=0

Có 2 nghiệm phân biệt

 ??

5 Đây là bài toán tìm cực trị của 1 hàm số không có

-

CĐ

CT

-

Nội dung bài giải PP giải – các chú ý

5 Tìm cực trị của các hàm số:

a) y = (x + 2)2(x – 3)3 b) y(7x)3 x5

2 10

x

y

x





3

2 6

x y

x





tham số:

Bước 1: tìm y’

Bước 2: xét dấu y’

Bước 3: kết luận

3 Bài tập rèn luyện:

1) Tìm m để hàm số y – 3 x3 mx2 m2– 1 2x  đạt cực đại tại điểm x = 2

2) Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

3) Cho  C m : y  x3  3x2  3m m  2x  1 Tìm m để  C m có 2 giá trị cực trị cùng dấu

4) Cho y  x3 2m 1x2 2  m x  2 Tìm m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương

5) Cho  C : y  x3  1 2m x 2  2 m x m   2.Tìm m để (C) có 2 điểm cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

6) Cho  C : y  x4  2m x2 2  1 Tìm m để (C) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

7) Cho  : 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu,

1

m

x mx

x





 8) Cho  C : y x2 mx 1 Tìm m sao cho hsố đạt cực đại tại x = 2

x m





C PHẦN ÔN TẬP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT :

1 Phương pháp 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên [a;b]

 Tìm y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1… a; b

(nghiệm nào không thuộc [a;b] thì ghi [a;b])

 Tính f(a), f(b), f(x 0 ), f(x 1 ),……

 ;ax là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên

a b

m y

 

 

 ;in là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

a b

m y

 

 

2 Phương pháp 2: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên (a;b)

 Tìm y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1,

 Xét dấu y’ trên (a;b)

 dựa vao bảng xét dấu để kết luận

3 Phần minh họa – bài mẫu

Ta có: f x'( ) 3 x26x9

Do đó: f’(x) = 0  3x2 + 6x – 9 = 0

 x = 1  [-2;2], x = -3  [-2;2]

Ta có: f( 2) 25; (2) 5; (1)  f  f  2

Vậy:

x [ 2;2]max f (x) f ( 2) 25

x [ 2;2] min f (x) f (1) 2

PP giải:

Tính f’(x), giải pt f’(x) = 0

Chỉ tính f(1), f(-2), f(2) (vì sao?

Bài tập tương tự :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số 𝑦 = cos22𝑥 - 𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4

Giải: ta có

𝑦 = cos22𝑥- 𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 = 1 ‒ sin22𝑥- 1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 4 = ‒ 𝑠𝑖𝑛

2

2𝑥-1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 5 Đặt 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 khi đó 𝑡 ∈[ - 1;1]

hàm số trở thành 𝑦 = ‒ 𝑡2-12𝑡 + 5

𝑦'= ‒ 2𝑡-1

2 ; 𝑦

'

= 0 𝑡 = ‒1

4

𝑦(- 1)=9

2 ; 𝑦(1) =

7

2 ; 𝑦(- 1

4)= Vậy GTLN bằng 81 , GTNN bằng

16

7 2

Hàm số cho dưới dạng lượng giác, cần chú ý: -1 ≤ sinx, sin2x, sin

2

x

≤ 1

-1≤cosx, cos(6x),sin

2

x

≤ 1

Khi đưa được về dạng đại

số , thực hiện như bài tâp 1

4 Các bài tập rèn luyện

Bài 1: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên đoạn [-4;3]

b) f(x) = 25 ‒ 𝑥2 trên đoạn [-4;4]

c) f(x) = |𝑥2- 3𝑥 + 2| trên [0;3]

d) f(x) = 𝑠𝑖𝑛𝑥1 trên đoạn [𝜋3;5𝜋6]

e) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0;3𝜋2]

Bài 2: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) f(x) = x4 – 8x2 + 16 trên [-1;3]

b) f(x) = trên (-2;4]

2

x

x

c) f(x) = x + 2 + 1 trên (1;+∞)

1

x

d) f(x) = 𝑥 1 ‒ 𝑥2

e) f(x) = cos3x – 6cos2x + 9cosx + 5

f) f(x) = sin3x – cos2x + sinx + 2

Bài 3: Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) y x  2x2 KQ: GTLN y = 2 tại x = 1; GTNN y =  2 tại x =  2

b) y 2 x 4x KQ: GTLN y = 2 3 tại x = 1; GTNN y = 6 tại x = -2;x=4 c) y 8x2 x KQ: GTLN y = 4 ; GTNN y = -2 2

d) y 1 x 1x KQ: GTLN y = 2 tại x = 0; GTNN y = 2 tại x = ±1

D PHẦN ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN :

1 Các công thức và tính chất của nguyên hàm:

dx x C 

1

1 1

x









1

ax b

a













2

dx

x C

a





ln

dx

x C





2

1

dx

C

x   x

dx

C

ax b  a ax b 



e dx e C

a



ln

x

a





sinxdx  cosx C

a



cosxdx sinx C

cos ax b dx sin ax b C

a



cos

dx

x C

cos

dx





2 cot

sin

dx

x C

sin

dx





2 Các công thức – tính chất - ứng dụng của tích phân:

Định nghĩa tích phân:

b

b a a

f x dx  F x   F b F a 



Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1: b   a  

f x dx  f x dx

Tính chất 2:      0

kf x dx k f x dx k 

Tính chất 3:

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 4: b   c   b  

f x dx f x dx f x dx

Ứng dụng của tích phân tính diện tích:

 Diện tích (H) giới hạn bởi các đường

y=f(x) và Ox,x=a,x=b (a<b)

S = ( )

b

a

f x dx



 Diện tích (H) giới hạn bởi các đường

y=f(x) và y=g(x),x=a,x=b (a<b)

S = ( ) ( )

b

a

f x g x dx



Ứng dụng của tích phân tính thể tích:

 Thể tích do (H) giới hạn bởi các đường

y=f(x) và Ox,x=a,x=b (a<b) quay quanh Ox

tạo ra

( )

Thể tích do (H) giới hạn bởi các đường x=f(y)

và Oy,y=a,y=b (a<b) quay quanh Oy tạo ra

3 Một số bài tập minh họa:

Bài tập 1: kiểm tra trong các cặp hàm số sau, hàm số

nào là nguyên hàm của hàm số còn lại

a) f(x) = esinx.cosx và g(x) = esinx

b) f(x) = sin21 và g(x) =

sin



Giải:

a) ta có g’(x) = (esinx)’ = esinx.(sinx)’ = esinx

Vậy g(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x)

b) Ta có:

f’(x) = (sin21)’ = =

x

2sin (sin ) '

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa nguyên hàm:

Nếu [F(x)]’ = f(x) thì F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x)

Nội dung bài giải PP giải – các chú ý

=

2sin cos ( ) '

sin



Vậy f(x) là 1 nguyên hàm của hàm số g(x)

Bài tập 2: Tính các tích phân sau:

a)

2 2

3

1

2

dx

x





2 2

2

1 1



= ln2 - 1

2

Vậy: 2 2 3 = ln2 – 1

1

2

dx x





Phương pháp: Một trong những cách

biến đổi là “chia tử cho mẫu để xuất

hiện các dạng có công thức tìm nguyên hàm”

b)

/4

2



2 0 os

c xdx





Áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi:

2

2

1

2 1

2

c a c a

a c a

c)

8 8

8 3 2 0

2

2

3x

8 4 3 0

3

4x

3

8

3 0

( 2x x dx)

Chú ý:

 n a m a m n

Và

1

x











d)

os9 os5x

2

c x c



=

/2

/2

os5 os9x

2

c x c

dx







/2







= 2 1 4 Vậy:

/2 sin 2 sin 7x xdx







Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

1

1

1

Bài tập 3: Tính các tích phân sau: Phương pháp đổi biến số:

 Bước 1: chọn biến số “phù hợp”.

 Bước 2: Tính dt và đổi cận.