1-Xác định tọa độ các điểm A1 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng d1 2- Xác định tọa độ các điểm A2 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng d2 3-Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng d3 đi[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VỚI TAM GIÁC
I-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG CÙNG TÊN
MỖI ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đường cao BB’ và CC’
a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1- Viết phương trình đường thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là nhận vtcp của đường thẳng (d1) làm vtpt
2- Giải hệ phương trình : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh C
3- Viết phương trình đường thẳng (d4) - chứa cạnh AB :Đi qua A và vuông góc với (d2) tức là nhận vtcp của đường thẳng (d2) làm vtpt
4- Giải hệ phương trình : pt của (d1) và pt của (d4) được tọa độ của đỉnh B
5-Xác định tọa độ trung điểm M của BC ,viết pt đường thẳng AM : đi qu A có vtcp là AM
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đường trung tuyến BM và
CN tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2)
a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
b/Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AC của ∆ABC
Hướng dẫn :
Các bước giải
1-Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC
2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua điểm G
-Tứ giác BGCA’ là hình bình hành nên từ đây xác định được tọa độ các đỉnh B,C
3-Viết phương trình đường thẳng (d3) :đi qua A’ và song song với (d1)
4-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh C
5-Xác định tọa độ trung điểm M của GA’,điểm M cũng là trung điểm của BC nên ta xác định được tọa độ của đỉnh B
6-Viết phương trình đường trung trực của cạnh AC : đi qua M và có vtpt là BC
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đường phân giác trong của các góc :ABC và ACB tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
b/Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh BC của ∆ABC
Hướng dẫn :
Các bước giải
Trang 21-Xác định tọa độ các điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d1)
2- Xác định tọa độ các điểm A2 đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2)
3-Viết phương trình tổng quát đường thẳng (d3) đi qua A1 và A2 – đây là đường thẳng chứa cạnh BC (Vì ∆CAA1 và ∆BAA2 cân nên A1 và A2 nằm trên đường thẳng BC)
4- Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh C
5- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh B
6-Xác định tọa độ trung điểm M của BC
7-Viết pt đường thẳng (d4) đi qua M và vuông góc với BC , (d4) là trung trực của BC
Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đường trung trực của các cạnh AB , BC tương ứng có phương trình là : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2)
a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
b/Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AC của ∆ABC
Hướng dẫn :
Các bước giải
1- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d1)
2-Xác định tọa độ đỉnh C đối xứng với điểm A qua điểm H
3- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc K của điểm C trên đường thẳng (d2)
4- Xác định tọa độ đỉnh B đối xứng với điểm C qua điểm K
5-Xác định tọa độ trung điểm M của AC,Viết pt đường thẳng (d3): qua M và vuông góc với
AC, (d3) là đường trung trực của cạnh AC
II-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG KHÁC TÊN
CÙNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đường cao BB’ và trung tuyến
a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ đỉnh B
2- Viết phương trình đường thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là nhận vtcp của đường thẳng (d1) làm vtpt
3-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của trung điểm M của cạnh AC
4-Xác định tọa độ đỉnh C (M là trung điểm AC)
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đường cao BB’ và phân giác
Trang 3a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
b/Viết phương trình tổng quát của đường thẳng chứa trung tuyến CM của ∆ABC
Hướng dẫn :
Các bước giải
1- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ đỉnh B
2- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2) ,ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ nằm trên đường thẳng BC
3-Viết phương trình đường thẳng (d3) – chứa cạnh BC : đi qua hai điểm B và A’
4-Viết phương trình đường thẳng (d4) –chứa cạnh AC : đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d1)
5-Giải hpt : pt của (d3) và pt của (d4) được tọa độ của đỉnh C
6-Xác định tọa độ trung điểm M của AB,Viết phương trình trung tuyến CM
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đường trung tuyến BM và đường phân giác trong của góc ABC tương ứng có phương trình là:
ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2)
a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1-Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ của đỉnh B
2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2), ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ nằm trên đường thẳng BC
3-Viết phương trình đường thẳng (d3) – chứa cạnh BC : đi qua hai điểm B và A’
4- Viết phương trình đường thẳng (d4) đi qua A và song song với đường thẳng (d3)
5- Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d4) được tọa độ của đỉêm D,ta có tứ giác ABCD là hình bình hành
6-Xác định tọa độ trung điểm M của BD,điểm M cũng là trung điểm của AC , xác định được tọa độ đỉnh C
7- Viết phương trình đường thẳng AB
Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đường trung tuyến BM và đường trung trực của cạnh AC tương ứng có phương trình là:
-Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1-Xác định tọa độ đỉnh C: Điểm C đối xứng với điểm A qua (d2)
2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua (d1),ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ nằm trên đường thẳng BC
Trang 43-Viết phương trình đường thẳng (d3) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’
4- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh B
III-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG KHÁC TÊN
MỖI ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đường cao BB’ và trung tuyến
-Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1-Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ giao điểm K của (d1) và (d2)
2-Viết phương trình đường thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 3-Giải hpt: pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ đỉnh C
4-Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A và song song với (d1)
5-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d4),xác định tọa độ giao điểm P của (d2) và (d4) ,ta có tứ giác ABPK là hình bình hành
6-Xác định tọa độ trung điểm M của PK ,ta có M cũng là trung điểm của AB Xác định được tọa độ của đỉnh B
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đường cao BB’ và phân giác
-Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1- Viết phương trình đường thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 2- Giải hpt: pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ đỉnh C
Xác định tọa độ điểm A’đối xứng với điểm A qua (d2) ,ta có ∆CAA’ cân tại đỉnh C nên A’ nằm trên đường thẳng BC
3- Viết phương trình đường thẳng (d4) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’
4- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d4) được tọa độ đỉnh B
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và phân giác
-Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ giao điểm K của (d1) và (d2)
2- Viết phương trình đường thẳng (d3) đi qua A và song song với (d2)
Trang 53- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ giao điểm P của (d1) và (d3),tứ giác APCK
là hình bình hành
4- Xác định tọa độ trung điểm M của PK,điểm M cũng là trung điểm của AC,xác định được tọa độ của đỉnh C
5- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2) , ta có ∆CAA’ cân tại đỉnh C nên A’ nằm trên đường thẳng BC
6- Viết phương trình đường thẳng (d4) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’
7- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d4) được tọa độ của đỉnh B
Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và đường
-Tìm tọa độ các đỉnh B,C
Hướng dẫn :
Các bước giải
1-Viết phương trình đường thẳng (d3) đi qua điểm A và vuông góc với (d2)
2- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ giao điểm D của (d1) và (d3),tứ giác ABCD
là hình bình hành.Gọi N là trung điểm của BC,ta có AD = 2BN
3-Điểm B nằm trên (d1) nên có tọa độ : B(x2; −ax2−c
b ) = (x2 ;y2) Điểm N nằm trên (d2) nên có tọa độ N(x3;−a′x3−c′
b ′ ) = (x3;y3) ,ta có BN (x3-x2 ; y3- y2)
Do đó : AD = 2BN 𝑥𝐴𝐷 = 2𝑥𝐵𝑁
𝑦𝐴𝐷 = 2𝑦𝐵𝑁 Đây thực chất là hệ hai phương trình hai ẩn : x2 ; x3 Tìm được x2 ; x3 tức là tìm được tọa độ của các đỉnh B ,C
MỘT VÀI LƯU Ý :
1/Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phương trình đường cao BB’ (hay CC’) hoặc trung trực của cạnh AB (hay trung trực của cạnh AC) Thì nghĩ tới viết phương trình đường thẳng đi qua A
và vuông góc với đường thẳng đó
2/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phương trình đường trung tuyến BM (Hay trung tuyến CN)
Ta phải nghĩ tới tạo thành một hình bình hành ,kẻ song song Vì trung tuyến liên quan đến trung điểm ,hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường – có sự liên quan với nhau
3/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phương trình đường phân giác trong của một góc của tam giác Ta phải nghĩ tới lấy đối xứng điểm A qua đường phân giác đó để tạo thành tam giác cân
và có A’ nằm trên đường thẳng BC.Vì phân giác trong liên quan đến tam giác cân
Những liên tưởng như trên giúp ta nhanh chóng tìm được định hướng cho lời giải bài toán
Thị trấn Lạt,Tháng 02/2011
TRẦN ĐỨC NGỌC