Giải bất phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, ...So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .... T×m GTLN, GTNN cña biÓu thø[r]
Trang 1A Kiến thức cần nhớ.
1 Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2 Các công thức biến đổi căn thức.
e A B A B2 (A0;B0)
A B A B2 (A0;B0) f 1
( 0; 0)
A
AB AB B
B
2
C C A B
A A B
A B
m
2
A B A B
A B
B.Kĩ năng cần đạt:
Tìm căn bậc hai của một số hoặc biểu thức.
Tìm điều kiện của biến để biểu thức xác định.
Thực hiện các phép tính về căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản =>Rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai.
Giải phương trình chứa căn bậc hai.
C.Các dạng bài tập cơ bản:
1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định:
2.Rút gọn biểu thức và một số dạng bài tập kèm theo.
*Các biểu thức chứa căn đơn giản trong sách bài tập để học sinh củng cố các công thức.
Bài 1 Tính
5 1
8 2
5
10 2 10
6 12 33 216
162 30
27 5 48
18
12
8
2
75
4 6 27
1 3 3
16
3 2
3 2 3 2
3 2
2
10
) 5 3
(
5
3
75 5
3 3
4 6 27
l) 2 3 ( 5 2 ) m) 3 5 3 5 n) 4 10 2 5 4 10 2 5
p)
4
5
2
5 8
2
Bài 2 Chứng minh
5 2 6 49 20 6 5 2 6 9 3 11 2
*Các biểu thức cồng kềnh hơn.
-Các dạng bài tập kèm theo có thể là:
Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Giải phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức bằng a
Giải bất phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh giá trị của biểu thức
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Tìm x nguyên, x hữu tỉ để giá trị của biểu thức nguyên
Bài 1:
Cho A= 1 1 1 với x>0 ,x 1
a)Rút gọn A b)Tính A với a = 4 15 10 6 4 15
HD: a) A= 4a b) Xong
Trang 2Bài 2: Cho A = 2 1 1 với x 0 , x 1.
a Rút gọn A b Tìm GTLN của A
HD: a)A =
1
x
x x
b)Nếu x = 0 thì A = 0
Nếu x 0 thì A = A max x 1 min x
1
x
Theo bất đẳng thức Co si có: x min 2 x 1.Khi đó Amax =
3
x
x
Bài 3:
Cho A= 7 1 2 2 2 với x > 0 , x 4
:
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1
A
HD: a) A = 9
6
x
x
2 9
x b
x x
Bài 4:
1 :
a)Tìm x để biểu thức A xác định b)Rút gọn A c)x= ? Thì A < 1 d)Tìm x Z để A Z
a) x0 , x9, x4 b)A= 3 c)Xong d)Xong
2
x
Bài 5: Cho A = 15 11 3 2 2 3 với x 0 , x 1
a)Rút gọn A b)Tìm GTLN của A c)Tìm x để A = 1 d)CMR : A
2
2 3
HD: a)A = 2 5
3
x x
) 5 max max Vì 0 nên max 3 min x=0
x x
c)Xong d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dương
Các bài tập luyện:
Bài 6: Cho A = 2 với x 0 , y 0,
x y xy
x x y y
x y
y x
a)Rút gọn A b)CMR : A 0
HD: )
xy
a A
3
Với x,y 0
b A
x
Bài 7: Cho A = 1 1 1 . 1 1 Với x > 0 , x 1
a) Rút gọn A b)Tìm x để A = 6 HD:a) A = 2x x 1 b)Xong
x
Bài 8: Cho A = 4 3 : 2 với x > 0 , x 4
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5 HD:a)A = 1 x) b)Xong
Bài 9: Cho A= 1 1 1 1 1 với x > 0 , x 1
:
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5 HD: A = 3 b)Xong
2 x
Bài 10: Cho A= 2 1 1 4 với x 0 , x 1
: 1
Trang 3a)Rút gọn A b)Tìm x Z để A Z HD:a)A = ) b)Xong
3
x
Bài 11: Cho A= 1 2 2 : 1 2 với x 0 , x 1
1
x
x
a)Rút gọn A b)Tìm x để A Z c)Tìm x để A đạt GTNN
HD:a)A = 1
1
x
x
) A nguyên nguyên nên đặt: ; ; ;
n
c)Xong: x = 0, Amin = -1
Bài 12: Cho A = 2 3 3 : 2 2 1 với x 0 , x 9
9
x
a)Rút gọn A b)Tìm x để A < -1 HD: a)A = b)Xong
2
3 3
a
Bài 13: Cho A = 1 1 8 3 1 với x 0 , x 1
:
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5 c)CMR : A 1 HD: a)A = 4 b)Xong c)Xét hiệu A – 1
4
x
x
Bài 14: Cho A = 1 1 : 1 với x > 0 , x 1
x
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1 HD:a)A = x 1 b)Xong
x
Bài 15: Cho A = 1 1 8 : 1 3 2 Với
9 1
x
1 0, 9
a)Rút gọn A b)Tìm x để A =6 c)Tìm x để A < 1 HD: a)A = b,c)Xong
x x x
Bài 16: Cho A = 2 2 2 2 1 với x 0 , x 1
.
a)Rút gọn A b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2 2 d)Tìm GTLN của A
HD:a) A = x (1 x ) b,c,d(Quá cơ bản)
Bài 17: Cho A = 2 1 1 với x 0 , x 1
: 2
a)Rút gọn A b)CMR nếu x0 , x1 thì A > 0 HD:a) A = 2 b)Xong
1
x x
Bài 18: Cho A = 1 4 1 : 2 với x > 0 , x 1, x 4
1
x
a)Rút gọn A b)Tìm x để A = 1
2
Bài 19
Cho A = 1 2 3 3 2 với x 0 , x 1
:
a)Rút gọn A b.)Tính A khi x= 0,36 c)Tìm x Z để A Z Bài 6:Cho A = 1 3 2 với x 0 ,
x1 a Rút gọn A b CMR : 0 A 1
HD: a) A = b)Xong
1
x
x x
a Rút gọn A b)Tìm x sao cho A nguyên
HD:a)A = 5
3
x
Trang 4b) 5 5 3 5
3 3
n
n x
Bài 21:Cho A = 2 9 3 2 1 với a 0 , a 9 , a 4
a Rút gọn A b Tìm a để A < 1 c Tìm a Z để A Z
HD: a) A = 1 b)Xong c)Xong
3
a
a
Bài 22: Cho A= 3 2 2 với x 0 , x 9 , x 4
a)Rút gọn A b)Tìm x để A Z c)Tìm x để A < 0 HD:a) A = 2 b,c(Dạng cơ bản)
1
x x
Một số bài tập khác để tham khảo: (Chưa có hướng dẫn)
Bài 23 :Cho biểu thức:A = ( x 2; x 3) a) Rút gọn A b) Tính A khi x=6
1 2
2 2 1
x
x
Bài 24 :Cho biểu thức: B= a) Rút gọn B b) CMR 3B < 1 với điều kiện thích hợp của x
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x x
Bài 25: Cho biểu thức: C=
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a) Rút gọn C b) Tìm x Z sao cho C Z.
Bài 26 Cho biểu thức: D= ( x 0; x 9)
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
a) Rút gọn D b) Tìm x sao cho D< c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
3 1
Bài 27 Cho biểu thức: E= ( x 0; x 1) a) Rút gọn E b) Tìm x Z sao cho E Z
x
x x
x x
x
x x
1
2 2
1 2
3 9 3
Bài 28 Cho biểu thức: F= 1 3 x 1 x : 1 3 x2 1 (-1< x < 1) a) Rút gọn F b) Tính giá trị của F khi x= 4 2 5
Bài 29 Cho biểu thức: G= ( x > 1; x 10) a) Rút gọn F b) CMR: F < 3
1 1
3 : 1 1 3 1
1 5 5
2
x
x x
x
x
Bài 30 Cho biểu thức: H= ( x 0; x 9)
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x
a) Rút gọn H b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H
Bài 31 Cho biểu thức: K = ( x 0; x 9)
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
a) Rút gọn K b) Tìm x để K = 0,5 c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 32 Cho biểu thức: L = ( x 2; x 3) a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó b) Tìm x sao cho L = 2x
4
12
x
x x
Bài 33 Cho biểu thức: M=
1
1 1 1
2
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x= 28-6 3 c) CMR : M<
3 1
Bài 34 Cho biểu thức: N = xy x 1 1 xy xy 1 x 1 : xy x 1 1 xy xy 1 x 1
Trang 5a) Rót gän N b) TÝnh gi¸ trÞ cña N khi x= 4 2 3 ; y= 4 2 3 c) BiÕt x+ y =4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña N.
*Bài 35: Cho biểu thức:
xy x
y x
y y
y x
x P
1 1 1
) )
1 )(
( a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2
HD:
a) Điều kiện để P xác định là :; x0; y0; y1;x y 0 (*)
(1 ) (1 )
P
( )
x y x y x xy y xy
x y y y x
y
1
y
x xy y
b) P = 2 x xy y = 2 x1 y y 11 x 1 1 y1
Ta có: 1 + y1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
*Bài 36: Cho hàm số f(x) = x2 x4 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = khi x
4
) (
2
x
x f
2
HD:a)f(x) = x2 4x4 (x2)2 x2 => f(-1) = 3; f(5) = 3 b)
8
12 10
2
10 2 10
) (
x
x x
x x
f
c)
) 2 )(
2 (
2 4
) (
x x
x x
x
f
A
+)Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra ; +)Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
x A
2
1
x A
Bài 37 Cho P = 2 + -
1
x
x x
1 1
x
x x
1 1
x x
a/ Rút gọn P b/ Chứng minh: P < 1 với x 0 và x 1
HD:a) Điều kiện: x 0 và x 1
1
x
x x
1 1
x
1 ( 1)( 1)
x
2
x x
1 1
x
1 1
x
x x
x
x x
b/ Với x 0 và x 1 Ta có: P < 1 < 3 < x + + 1 ; ( vì x + + 1 > 0 )
1
x
x x
1
x - 2 + 1 > 0 ( - 1)2 > 0 ( Đúng vì x 0 và x 1)
*Bài 38 : Tính giá trị của biểu thức:
A = + + + +
5
3
1
1
1
1
5
3
1
1
1
1
= ( )
2
ab
b a ab
b a
1
ab ab b a
1
2 1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a = c) Tìm giá trị lớn nhất của D
3 2
2
HD: a) - Điều kiện xác định của D là a 0 ; b 0 ; ab 1
ab
a
b
a
1
2
2
ab ab b a
2
a a
b) 2 2 2 3 2 Vậy
1
2 3 2
4 3
D
c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :2 a a 1 D 1 Vậy giá trị của D là 1