VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYEÂN HAØM Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực tiếp định n[r]
Trang 1CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
, x K
F x f x
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên
K là: f x dx F x C( ) ( ) , C R
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
2 Tính chất
f x dx f x C'( ) ( ) f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )
kf x dx k f x dx k( ) ( ) ( 0)
3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản những hàm số hợp Nguyên hàm của
C
x
dx
1
1
1
dx x C
x
0
x
dx
C e
dx
e x x
0 1
a
a
dx
a x x
C x xdx
cos sin
C x xdx
C x dx
cos
1
2
C x dx
x
sin
1
2
tanxdx ln cosx c
cotxdx ln sinx c
kdx kx C
1
ax b C a
dx b ax
0
ln 1
a b ax dx
C e
a dx
e axb axb
a dx b
a dx b
ax bdxa axbC
cos
1 2
ax bdx a axbC
sin
1 2
C u
du
1
1
1
du u C u
0
u du
C e du
e u u
0 1
a
a dx
a u u
C u udu
C u udu
C u du
cos
1 2
C u du
sin 1 2
Trang 2Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 2
4 Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu f u du F u C( ) ( ) và u u x ( ) có đạo hàm liên tục thì:
( ) '( ) ( )
f u x u x dx F u x C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x
x
x
x
2
x
f x f x( ) tan 2x f x( ) cos 2x
sin cos
f x
sin cos
x
f x
n) f x( )e e x x – 1 o) ( ) 2 2 p)
cos
x
f x e
x
3 1
f x e
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
c) f x( ) 3 5x2; F e( ) 1 d)
x
2
x
x
x
x
3
f x x x F
2
x
( 1)
x
2
x
f x F
Trang 3VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x ( ) '( ) thì ta đặt t u x ( ) dt u x dx '( ) .
Khi đó: f x dx( ) = g t dt( ) , trong đó g t dt( ) dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính g t dt( ) theo t, ta phải thay lại t = u(x).
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa Cách đổi biến
x a t t
hoặc x a cos ,t 0 t
x a t t
hoặc x a cot ,t 0 t
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
d) (2x2 1) 7xdx e) (x3 5)4 2x dx f) 2x dx5
x
5 2
x dx x
sin cos x dx x
tan cos
xdx x
3
x
x
e dx
e
x
x
dx
e
x
e dx x
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
2 3
dx
x
dx x
2
4
dx
x
2
1
x dx
x
dx
x x
Trang 4Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 4
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
( ). x
P x e dx
P x( ).cosxdx P x( ).sinxdx P x( ).lnxdx
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
g) x e dx. x h) x e dx 3 x2 i) ln xdx
k) x xdxln l) ln xdx2 m) ln(x2 1)dx
n) xtan 2xdx o) x2cos2xdx p) x2cos2xdx
q) xln(1 x dx2 ) r) x.2x dx s) x xdxlg
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
x
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) e x.cosxdx b) e x(1 tan x tan )2x dx c) e x.sin 2xdx
cos x dx
x
ln(1 x dx)
x
x
2
1
x
1
x dx x
2
ln x dx
x
Trang 5VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
1 2
F x G x A x C
F x G x B x C
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra ( ) 1 ( ) ( ) là nguyên hàm của f(x).
2
F x A x B x C
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
sin cos
x dx
x x
x x
x x
sin cos
x dx
x x
x x
x x
e dx
e e
e e
e e
e e
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1 f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( )
( )
P x
f x
Q x
– Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
x a x b x a x b
2
x m
1
x a x b x a x b
2 f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = R x,m ax b đặt
cx d
ax b t
cx d
Trang 6Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 6
R
x a x b
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Chẳng hạn:
x a x b
1
a b sử dụng
a b
x a x b
1
a b sử dụng
a b
x a x b
1
a b sử dụng
a b
+ Nếu R( sin ,cos ) x x R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx
+ Nếu R(sin , cos )x x R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx
+ Nếu R( sin , cos ) x x R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
( 1)
dx
x x
1 1
x dx x
dx
x x
x x
x x
x x
dx
x x
x
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
1 x 1dx
x x
x
x x
x x
x x
2
dx
x x x
1
x dx
x x
2
dx
x x
dx
x x
dx
x x
Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) sin 2 sin 5x xdx b) cos sin3x xdx c) (tan2x tan )4x dx
1 sin cos
x dx
cos xdx
x
x
Trang 7II TÍCH PHÂN
1 Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K Nếu F là một nguyên hàm của f
trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( )
a
f x dx
b a
f x dx F b F a
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b ( ) b ( ) b ( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f u du F b F a
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]
thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b ( )
a
Sf x dx
2 Tính chất của tích phân
0
f x dx
f x dx f x dx
kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f x dx f x dx
Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì b ( ) 0
a
f x dx
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì b ( ) b ( )
f x dx g x dx
3 Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
( )
b
f u x u x dx f u du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
a
udv uv vdu
Chú ý:– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b dễ tính hơn .
a vdu
a udv
Trang 8Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 8
VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG
NGUYÊN HÀM
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ( ) ( ) ( )
a
f x dx F b F a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I1 = 1 3
0
(3x 1)dx
b) I2 = 2 2
0
x
e dx
c) I3 = 0
1
3
2x 1dx
Giải:
a) I1 = 1 3 =
0
(3x 1) dx
0
b) I2 = 2 2 = = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1
0
x
e dx
0
1 1
x
e
1
3
2x 1dx
1
1
2 x
3 (ln1 ln 3) 2
Vậy: I3 = 3ln 3
2
Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J1 = 2 2 2
0
1
x dx
b) J2 = 1
0
2
x dx x
c) J3 = 8 6
6 1
2
dx x
Giải:
a) Ta cĩ: (x 2 + 1) 2 = (x 2 ) 2 +2.x 2 1 + 1 2 = x 4 + 2x 2 + 1
0
1
x dx
0
(x 2x 1)dx
2
0
2
x
206 15
b) Ta cĩ : 2 3 2 7. 1
x
Trang 9suy ra J2 =1 =
0
2
x dx x
0 0
1
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2
c) 6 1/2 1/6 1/2 1/6 1/3
1/6 6
x x
3
4
x dx x x
101 4
Ví dụ 3: Tính các tích phân
a) K 1 = 4
0
s in3 cosx xdx
b) K 2 = 8 2
0
cos 2xdx
c) K 3 =
1
2 1 0
1
x
e dx
Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx = 1s in4 s in2
2
4
0
(s in4x s in2 )x dx
0
cos 4 cos 2
1 2
b) K 2 = 8 2
0
cos 2xdx
Ta có: cos 2 2x = 1 cos 4
2
x
2
8
0
(1 cos 4 )x dx
0
sin 4
1
c) K 3 =
1
2 1
0
1
x
e dx
Ta có : e 2x–1 – 1 = 0 e 2x–1 = 1 = e 0 2x – 1 = 0 x = 1
2 0;1
1
1 2
1 0
2
(e x 1)dx (e x 1)dx
2
1 0
2
0
0
1
1
1
2e
2e
Vậy K 3 = 1 1 1
1
2e 2e
Trang 10Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 10
BÀI TẬP
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1
3 2 1 )
1
1 3
x
1 2
1
dx x x
1 x dx2
x
1
2 2
2
4 4
dx x
2 1
e
x x
1
( x 1)(x x 1)dx
1
(x x x x dx)
1
4
x
1
2
x x dx
x
2
1
x
1
1 4
3
x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1
1
x dx
2
dx
x 2 x 2
1
(x x x x dx)
2
1xdx dx
x
1
x dx x
Bài 3. Tính các tích phân sau:
0
) 6 2
3
(2sinx 3cosx x dx )
0
0
tan
cos
x dx x
3 2
4
3tan x dx
4
2
6
(2 cot x 5)dx
dx
x
2
0
1 cos
x
2
0
sin cosx xdx
Bài 4. Tính các tích phân sau:
0
dx
e e
e e
1
( 1).
ln
x dx
x x x
4 2
x x
e
1
x
x e dx
e
x
x x
e dx
0 e xsinxdx
4 1
x
e dx x
1 ln
x
x
0
1
1 e x dx
Trang 11VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( ) .
a
g x dx
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( ) f u x u x ( ) '( )
( )
b
g x dx f u du
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) J 1 = 2
2
1
x
xe dx
b) J 2 =
1
1 ln
e
x dx x
c) J 3 =
1
0
d) J 4 =
2
2 0
4x xdx
e) J 5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
Giải:
a) J 1 = 2
2
1
x
xe dx
+ Đặt u = x 2 du = 2xdx xdx = du1
2
+ Đổi cận: x = 1 u = 1 2 = 1;
x = 2 u = 2 2 = 4 + J 1 = 2 = = = ( e 4 – e 1 ) = ( e 4 – e)
2
1
x
xe dx
1
1 2
u
e du
2
4 1
u
2
1 2
b) J 2 =
1
1 ln
dx x
+ Đặt u = 1 ln x u 2 = 1 + lnx 2udu = dx 1
x
+ Đổi cận: x = 1 u = 1 ln1 = 1;
x = e u = 1 ln e = 2
1
1 ln
e
x dx x
2
1
u.2udu
3
2 3 1
3
3 3
( 2) 1 2(2 2 1)
Ghi nhớ: Học sinh cĩ thể đặt: u = 1 + lnx du = dx1
x
Trang 12Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 12
c) J 3 =
1
0
+ Đặt u = x 4 – 1 du = 4x 3 dx x 3 dx = du1
4
+ Đổi cận: x = 0 u = 0 – 1 = –1;
x = 1 u = 1 4 – 1 = 0
1
0
1
1 4
4
0 6
1
6
u
1 24
d) J 4 =
2
2 0
4x xdx
+ Đặt u = 4 x 2 u 2 = 4 – x 2 2udu = – 2xdx xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 u = 4 0 2 = 2;
x = 2 u = 4 2 2 = 0
2
2 0
4x xdx
2
u.(u du)
2
u du
3
2 3 0
3
e) J 5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
+ Đặt u = 1 + sinx du = cosxdx
+ Đổi cận: x = 0 u = 1 +sin0 = 1;
x = u = 1 + sin = 2
2
2
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
2 4 1
du u
1
u du
1
u 7
24
Ví dụ 2 Tính tích phân sau :
a I x x dx b J x x dx
Bài giải
a) Đặt t = x+1
x = t – 1 dx = dt
+ Đổi cận: * x=0 t = 1 và x = 1 t = 2.
I = 2
1
2 1
7 8
7 8
3 ( )
1 3
b) Đặt t = 1 x 3
x3 = 1 – t2
x2 dx =
3
2tdt
3
2 3
2 ).
1 (
+ Đổi cận: * x = 0 t = 1; * x = 1 t = 0
I = 1
0
1 0
5 4 5
5 4
( 3
2 ) (
3
dt t
30 1
Trang 13Ví dụ 3 Tính tích phân sau: I = 9
1 1 x dx
Bài giải
Đặt t = 1 x
Khi đo ù x = t2 -2t + 1 dx = (2t -2)dt dt
t
t x
1
+ Đổi cận: x = 1 t = 2
x = 9 t = 4
I = 4
2
4
2 4 2 ln 2 )
ln 2 2 ( )
2 2
t
Ví dụ 4 ĐHK.A-2004 Tính tích phân sau: I = 2
xdx
Bài giải
Đặt t = 1 x 1
x = t2 – 2t + 2 dx = (2t-2)dt
+ Đổi cận: x = 1 t = 1
x = 2 t = 2
2
3
1
t
Ví dụ 5 Tính tích phân sau
2 2
4
3 2
dx K
c x
x
dx J
DHAN b
x x dx
Bài giải
a) Đặt t = x2 4
x2 = t2 -4 xdx = tdt dt
t t
t t
tdt x
x
xdx
) 2
1 2
1 ( 4
1 ).
4 (
2
+ Đổi cận: * x = 5 t = 3
* x= 2 3 t = 4 I =
3
5 ln 4
1 2
2 ln 4
1 ) 2
1 2
1 ( 4
3 4
3
t t
b) + c) Làm tương tự
Ví dụ 6 Tính tích phân sau : I = ln2
0 e x 7
dx
Bài giải
Đặt t = e x 7
t t
t t
tdt e
e
dx e e
dx
x x
x
7
1 7
1 ( 7
1 ).
7 (
2 7
Trang 14Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 14
+ Đổi cận: * x = 0 t = 2 2
* x = ln2 t = 3
7 2 2
7 2 2 ln 7 3
7 3 (ln 7
1 7
7 ln 7
1 )
7
1 7
1 ( 7
1 3
2 2
3 2
t
Ví dụ 7 ĐHK.B-2006 Tính tích phân sau : I =
5 ln
3
ln e x 2e x 3
dx
Bài giải
Đặt t = ex
t t
t t
dt dx
e e
e
dx
x
e
x x
1
1 2
1 ( 2 3 3
+ Đổi cận: * x = ln3 t = 3
* x = ln4 t = 4
4
3
4 3
3
4 ln 1
2 ln ) 1
1 2
1
(
t
t dt t t
Ví dụ 8 Tính tích phân sau :
a) ĐHTM-97 : I = ln2
0 1
1
dx e
e
x
x
b) HVQY – 97 : I = ln3
0 1
1
dx
e x
c) ĐHBK – 2000 : I = ln2
0
2
e
x x
Hướng dẫn
a) Đặt t = ex, làm tương tự
b,c) Đặt t e x 1
Ví dụ 9 ĐHHH – 98 Tính tích phân : I = dx
x x
x
e
1 1 ln ln
Bài giải
Đặt t = 1 lnx
lnx = t2 – 1 tdt
x
dx
2
t
t dx x x
x
) 2 2 ( 2
1 ln
1
.
+ Đổi cận: * x = 1 t = 1
* x = e t = 2
I =
3
2 2 4 )
2 3
2 ( ) 2 2
(
2
1
2 1
3
Ví dụ 10 Tính tích phân sau:
a) ĐH.K.B – 2004.: I = dx
x
x x
e
ln ln 3
x
x x
e
1
.
ln 2
Trang 15Bài giải
a) Đặt t = 1 3 lnx
x
x x tdt
x
dx t
) (
9
2 3
2 3
1 ln
ln 3 1 3
2 3
2
+ Đổi cận: * x = 1 t = 1
* t = e t = 2
1
2 1
3 5 2
4
135
116 ) 3
7 5
31 ( 9
2 ) 3 5
( 9
2 ) (
9
dt t
b) Làm tương tự
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Ax x dx a x ax dx a
2
0
2 1
0
8
15 1 3 ; B 2 ( 0 )
1 0
2 2
) 1 ( B
;
x x
dx dx
x a x
A
a
2
1
0
1 2 1; B (x 1 )(x 2 )
dx x
x
dx A
1 1
2
2
2 4
B
; 1
x x
dx x
dx x A
0 2 2
1 B
; 1
x
dx
A
7
03
1
0 4 3 1; B 2x 1
dx x
dx x
3
0 2
3
) 2 1 ( (*)B
;
dx x
x x
dx A
1 1
1 (*)
0
1
3
x
dx x
x A
1 2 1
0
A
1
2
2 2
1
2
.
1 D
;
1
dx x
x dx
x
x
C
9) (HVNH THCM 2000) 1
3
1
.
x x
dx x I
10) a)(ĐH BKHN 1995) 2
3
2 x x2 1
dx
1
1 1 x x2 1
dx I
11) (ĐHAN 1999) 4
7x x2 9
dx I
Trang 16Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 16
12) (ĐHQG HN 1998) 1
0
2
3 1 x .dx x
I
13) (ĐHSP2 HN 2000) 2
1 x x3 1
dx I
14) (ĐHXD HN 1996) 1
0
2
1
).
1 (
x
dx x
I
15) (ĐHTM 1997) 7
0 3 2
3
1
.
x
dx x I
16) (ĐHQG TPHCM 1998) 1
0 2 1
.
x
dx x I
Bài 3. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
0
19
) 1
0
3 2
3
) 1
x
0 2
5
1dx
x x
0 2x 1
0
1
x x dx
0
1
x x dx
5 x x2 4
dx
3
3 5
1
2
dx x
x
0 1
x x
e dx e
ln3
3
x x
e dx
e
ln 2
x
x x
1
ln ln 3 1
0 cos2 4 sin2
2 sin
dx x x
x
2
0
2
3
sin 1
sin cos
dx x
x x
0
2
2 cos sin
2
2 sin
dx x x
x
Trang 17Dạng 2: Giả sử ta cần tính f x dx( ) .
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) thì ( ) b ( ) '( ) b ( )
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( ) f x t x t( ) '( )
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa Cách đổi biến
x a t t
hoặc x a cos ,t 0 t
x a t t
hoặc x a cot ,t 0 t
x a
a
t
a
t
Ví dụ 1: Tính tích phân
a) I1 = 2 2
0
4 x dx
b) I 2 = 3 2
0
1
9 x dx
Giải:
a) I 1 = 2 2
0
4 x dx
+ Đặt x = 2sint , t ;
2 2
dx = 2costdt
+ Cận mới:
x= 0 2sint = 0 sint = 0 t = 0
x = 2 2sint = 2 sint = 1 t =
2
2
2 0
4 x dx
0
4 4sin 2cott dt
0
1 sin cott dt
0
cos costt dt
0
cos tdt
0
(1 cos 2 )t dt
0
1
s in2 2