Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 3: Xoắn thuần túy

• Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định được bằng tĩnh học đơn thuần – cần phải xét đến các biến dạng của trục.. • Không giống như ứng suất pháp do tải trọng dọc trục gây ra, sự ph[r]

3 Xoắn thuần túy

Nội dung

Giới thiệu

Tải trọng xoắn trong các trục tròn

Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra

Vật liệu đàn dẻoỨng suất dư

Ví dụ 3.08/3.09Xoắn các trục không trònTrục rỗng thành mỏng

Ví dụ 3.10

Tải trọng xoắn trong các trục tròn

• Nghiên cứu các ứng suất và biến dạng của trục tròn chịu các ngẫu lực

xoắn hoặc mô men xoắn.

• Tua-bin tạo một mô men xoắn bằng

Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra

• Mặc dù ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra có thể xác định được nhưng sự phân bố của ứng suất thì không

• Không giống như ứng suất pháp do tải trọng dọc trục gây ra, sự phân bố ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra không thể giả thiết là đều

• Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định được bằng tĩnh học đơn thuần – cần phải xét đến các biến dạng của trục

Các thanh sẽ trượt với nhau khi có mô men xoắn cùng giá trị và ngược chiều tác dụng tại

2 đầu Nhưng trục đồng chất thì không  có

xu hướng trượt  phải tồn tại ứng suất tiếp

• Các điều kiện cân bằng đòi hỏi phải tồn tại các ứng suất có cùng giá trị trên 2 mặt chứa đường tâm trục

• Theo quan sát, góc xoắn của trục tỉ lệ với mô men xoắn tác dụng và chiều dài của trục.

T L

• Các mặt cắt ngang của trục tròn rỗng và đặc vẫn phẳng và không biến dạng bởi vì trục tròn

có tính chất đối xứng trục

Biến dạng trượt

• Xét một mặt cắt trên trục Khi tác dụng mô men xoắn, phân tố hình lập phương trên chu vi

sẽ biến dạng thành hình thoi

• Biến dạng trượt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính

max c & max

Ứng suất trong miền đàn hồi

J c

dA c

4 2

Ứng suất pháp

• Các phân tố có các mặt song song và vuông góc với đường tâm của trục chỉ chịu ứng suất tiếp Ứng suất pháp, ứng suất tiếp hoặc kết hợp cả 2 có thể được xác định theo các định hướng khác

• Phân tố a chịu cắt (trượt) thuần túy

• Lưu ý rằng tất cả các ứng suất cho các phân tố

a và c đều có cùng độ lớn

• Phân tố c chịu ứng suất kéo trên 2 mặt và ứng

suất nén trên 2 mặt còn lại

max 0

0 max 45

0 max 0

max

2 2

2 45

cos 2

F

A A

F

• Xét một phân tố hợp với đường tâm trục một góc 45o,

Các dạng phá hỏng do xoắn

• Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo sẽ bị phá hỏng theo mặt phẳng có ứng suất tiếp lớn nhất, tức là mặt cắt ngang

• Khi chịu xoắn, vật liệu dòn sẽ bị phá hỏng theo mặt phẳng vuông góc với phương có ứng suất kéo lớn nhất, tức là theo mặt hợp với đường tâm của trục một góc 45o

• Các vật liệu dẻo thường bị phá hỏng do cắt Vật liệu dòn chịu kéo kém hơn cắt

Trục truyền ABCD chịu lực như hình vẽ

Biết đoạn BC rỗng có đường kính trong và

ngoài lần lượt là 90 mm và 120 mm Các

đoạn trục AB và CD đặc có đường kính d

Xác định (a) ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ

nhất trong trục BC, (b) đường kính cho

phép d của trục AB và CD nếu ứng suất

tiếp cho phép trong các đoạn trục là 65

• Áp dụng các công thức cho xoắn đàn hồi để tìm ứng suất lớn nhất

và nhỏ nhất trên trục BC

AB x

T T

T M

m kN 6

m kN 20

m kN 14 m

kN 6 0

T

T M

Bài tập ví dụ 3.1

4 4

4 1

4

2

m 10 92

.

13

045 0 060

0 2 2

J

MPa 2

86

m 10 92 13

m 060 0 m kN 20

4 6

2 2

64

mm 60

mm 45 MPa

2 86

min 2

64

MPa 2

86

m 10 9 38

m kN 6 65

3

3 2

4 2 max

Tc J

 c d

Bài tập ví dụ 3.1

Góc xoắn trong miền đàn hồi

• Ta đã có mối quan hệ giữa góc xoắn và biến dạng trượt lớn nhất là,





i i i

i i G J

L T



• Cho trục chịu mô men xoắn và kích thước như hình

vẽ, xác định mô men xoắn phản lực tại A và B.

Bài toán xoắn siêu tĩnh

1 2

J L T

• Thay vào phương trình cân bằng ở trên ta có:

A B

B

J L

J L T

G J

L T G J

L T

1 2

2 1 2

2 1

1 2

Bài tập ví dụ 3.4

Hai trục thép truyền chuyển động cho

nhau thông qua các bánh răng Biết

rằng mỗi trục có G = 11.2 x 106 psi và

ứng suất tiếp cho phép là 8 ksi, xác

định (a) mô men xoắn lớn nhất T 0 có

thể tác dụng lên trục AB, (b) góc xoắn

tại đầu A của trục AB.

HƯỚNG GIẢI:

• Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên

2 trục để tìm ra mối liên hệ giữa T CD

và T 0

• Tìm góc xoắn tương ứng cho mỗi trục

và góc xoắn thực của đầu A

• Tìm mô men xoắn cho phép tác dụng lên mỗi trục – chọn giá trị nhỏ nhất

• Áp dụng các phân tích động học để liên hệ các góc xoay của 2 bánh răng

LỜI GIẢI:

• Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên

2 trục để tìm mối liên hệ giữa T CD và

in.

45 2 0

in.

875 0 0

T T

T F

M

T F

M

CD

CD C

C B

C C

B

C B

C C B

B

r r

r r

in.

875 0

in.

45 2







Bài tập ví dụ 3.4

• Tìm T 0 theo mô men lớn nhất cho

0

2 0

T

T

T c

psi J

/

o o

o

6 4

2 /

o

6 4

2 /

2.22 26

8

26 8 95

2 8 2 8

2

95 2 rad 514 0

psi 10 2 11 in.

5 0

24 in.

lb 561 8

2

2.22 rad

387 0

psi 10 2 11 in.

375 0

24 in.

lb 561

A

C B

CD

CD D

C

AB

AB B

A

in G

J

L T

in G

J

L T



A



Bài tập ví dụ 3.4

c c

• Người thiết kế phải chọn vật liệu

chế tạo và mặt cắt ngang của trục

để thỏa mãn các đặc tính kỹ

thuật mà không vượt quá ứng

suất tiếp cho phép

Tập trung ứng suất

• Công thức xoắn,

áp dụng cho một trục tròn có mặt cắt ngang không đổi chịu tải trọng thông qua tấm tuyệt đối cứng đặt ở đầu trục

• Việc sử dụng các mặt bích, bánh răng và

pu-ly để lắp lên trục thông qua then, rãnh then,

và mặt cắt ngang không liên tục có thể gây

ra tập trung ứng suất

Hệ số tập trung ứng suất tại vị trí bo

tròn của trục tròn chịu xoắn

• Nếu giới hạn bền bị vượt quá hoặc vật liệu có đường cong ứng suất-biến dạng trượt phi tuyến, thì biểu thức này không còn đúng nữa

• Khi , mô men xoắn sẽ tiến tới một giá trị tới hạn,

P Y

T  T  mo men xoan deo

Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic)

• Khi mô men xoắn được tăng lên, một vùng dẻo ( ) sẽ phát triển xung quanh một lõi đàn hồi

1 3

4 3

3 4 1 3

3

c

T c

1 3

4 1



Y

Y T T





c

L Y Y



 

• Ứng suất dư được xác định từ nguyên lý độc lập cộng tác dụng.

  0

  dA J

Tc

m 



Ví dụ 3.08/3.09

Một trục tròn đặc chịu mô men

xoắn tại 2 đầu Giả thiết

rằng trục được làm bằng vật liệu đàn

dẻo với và

Xác định (a) bán kính của lõi đàn

hồi, (b) góc xoắn của trục Khi mô

men xoắn thôi tác dụng, hãy xác định

(c) biến dạng xoắn vĩnh cửu, (d) sự

phân bố ứng suất dư

MPa 150



Y

m kN 6

• Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi xoắn gây ra

• Giải công thức (3.16) để tìm góc xoắn sau khi thôi tác dụng mô men xoắn Biến dạng dư là sự khác nhau giữa các góc khi xoắn và thôi xoắn

• Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn

LỜI GIẢI:

• Giải công thức (3.32) để tìm Y /c

và xác định bán kính lõi đàn hồi

3 1 3

4 1

3

3 4

1 3

Y

T

T c

m 10 25

m 10 614 Pa

10 150

m 10 614

m 10 25

3

4 9 6

4 9

3 2

1 4 2 1

Y Y

T

c

J T

J

c T

c J

3

6 4 3

3

3

4 9 - 3

8.50 rad

10 3 148 630

0

rad 10

4 93

rad 10

4 93

Pa 10 77 m

10 614

m 2 1 N 10 68 3

Y

Y Y

Y

JG

L T

c c

o

50 8





Ví dụ 3.08/3.09

• Giải công thức (3.16) để tìm góc

xoắn sau khi thôi tác dụng mô

men xoắn Biến dạng dư là sự

khác nhau giữa các góc khi xoắn

3

9 4

9 3

1.81

rad 10

8 116 10

8 116

rad 10

8 116

Pa 10 77 m

10 14 6

m 2 1 m N 10 6 4

MPa 3

187

m 10 614

m 10 25 m N 10 6 4

4 9 -

3 3

Xoắn thanh mặt cắt không tròn

• Với giá trị lớn của a/b, ứng suất tiếp lớn

nhất và góc xoắn của các mặt cắt hở được tính giống như thanh mặt cắt chữ nhật

• Các công thức xoắn đã học chỉ đúng cho các trục tròn

• Mặt cắt ngang phẳng của các trục không tròn sẽ không còn phẳng và sự phân bố ứng suất-biến dạng sẽ không còn tuyến tính

G ab c

TL ab

c

T

3 2

2 1 max   



• Đối với các mặt cắt ngang hình chữ nhật,

Các hệ số cho thanh chữ nhật chịu xoắn

Trục rỗng thành mỏng

• Hợp lực theo phương x trên phân tố AB,

ứng suất tiếp biến thiên tỉ lệ nghịch với bề dày

Ví dụ 3.10

Một ống nhôm có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men xoắn 24 kip-in Xác định ứng suất tiếp trong mỗi vách của mặt cắt nếu (a) bề dày của vách không đổi và bằng 0.160

in và (b) các bề dày là 0.120 in trên AB và

1 in.

986 8 2

in.

kip 24 2

-in.

986 8 in.

34 2 in.

84 3

in.

kip 335 1

in.

kip 335 1

in.

kip 335 1