Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 4: Uốn thuần túy

• Với thanh có 2 mặt phẳng đối xứng và vật liệu có quan hệ ứng suất – biến dạng về kéo và nén tương tự nhau, thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt và mối quan hệ ứng suất – [r]

4 Uốn thuần túy

Các thông số thép hình tiêu chuẩn Mỹ

Biến dạng trong mặt cắt ngang

Dầm được tạo thành từ vật liệu đàn dẻoBiến dạng dẻo của dầm có một mặt phẳng đối xứng

Ứng suất dư

Ví dụ 4.05, 4.06Kéo nén lệch tâm trong mặt phẳng đối xứng

Ví dụ 4.07Bài tập ví dụ 4.8Uốn xiên

Ví dụ 4.08Trường hợp tổng quát của kéo nén lệch

Uốn thuần túy

Uốn thuần túy: Dầm, đoạn dầm chịu tác

dụng bởi cặp mô men uốn nội lực ngược chiều, cùng độ lớn nằm trong mặt phẳng đối xứng (mặt phẳng quán tính chính trung tâm)

• Kéo nén lệch tâm: Tải trọng dọc trục

không đi qua tâm của mặt cắt sẽ sinh ra một lực dọc và một mô men uốn

• Tải trọng cắt ngang: Tải trọng ngang tập

trung hoặc phân bố sẽ sinh ra lực cắt và

mô men uốn

Uốn thuần túy các dầm đối xứng

M

dA z

M

dA F

x z

x y

x x







0 0

• Các yêu cầu này được áp dụng để xác định các thành phần và mô men của nội lực phân tố chưa biết

• Nội lực trên mặt cắt ngang bất kỳ tương đương với một ngẫu lực Mô men của ngẫu lực này

được gọi là mô men uốn.

• Theo tĩnh học, một ngẫu lực M bao gồm 2 lực bằng nhau và ngược chiều

• Tổng các thành phần lực theo một phương bất kỳ phải bằng 0

• Mô men đối với trục bất kỳ vuông góc với mặt phẳng tải trọng đều bằng nhau và bằng 0 đối với trục bất kỳ nằm trong mặt phẳng tải trọng

Biến dạng uốn

Uốn thuần túy dầm có một mặt phẳng đối xứng:

• Dầm chịu uốn đều sẽ tạo thành một cung tròn

• Mặt cắt ngang sẽ đi qua tâm của cung tròn và vẫn phẳng

• Chiều dài của phần đỉnh giảm và chiều dài của phần đáy tăng

• Sẽ tồn tại một mặt trung hòa song song với các mặt

trên và dưới và chiều dài của nó không đổi

• Ứng suất và biến dạng có giá trị âm (nén) ở phía trên và dương (kéo) ở phía dưới mặt trung hòa

Mặt cắt thẳng đứng và dọc

(mặt phẳng đối xứng)

Biến dạng uốn

Xét đoạn dầm chiều dài L.

Sau khi biến dạng, chiều dài của thớ trung hòa

ê c

   øng suÊt biÕn thi n tuyÕn tÝnh

• Điều kiện cân bằng,

dA c

y dA

F

m

m x

• Dầm kết cấu được chế tạo để có mô đun chống uốn lớn.

Các thông số của thép hình tiêu chuẩn Mỹ

Biến dạng ngang của mặt cắt

• Biến dạng do mô men uốn M gây ra được xác định

bởi độ cong của mặt trung hòa

EI M

I

Mc Ec Ec

c

m m

Bài tập ví dụ 4.2

Dầm gang chịu mô men 3 kN-m như

hình vẽ Biết E = 165 GPa và bỏ qua

ảnh hưởng của các góc lượn, xác định

(a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, (b)

bán kính cong của dầm

HƯỚNG GIẢI:

• Từ hình dáng của mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính

Bài tập ví dụ 4.2

LỜI GIẢI:

Từ hình dáng của mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính

mm 38 3000

2 3

12 1 2

3 12

1

2 3

12 1 2

m 10 868 mm

10 868

18 1200 40

30 12

1800 20

d A I

I x

Bài tập ví dụ 4.2

• Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm các ứng suất kéo và nén lớn nhất

4 9

4 9

mm 10

868

m 038 0 m kN 3

mm 10

868

m 022 0 m kN 3

c M I Mc

B B

A A

76

131

165

m kN 3 1

m 10 95 20

dF dA

y E dA

1 1

1

2 1

1 2

E

E n dA

n y E dA

y nE

x

n I

• Tính ứng suất lớn nhất trong mặt cắt chuyển đổi Đây chính là ứng suất lớn nhất trong phần bằng đồng của thanh thực.

• Xác định ứng suất lớn nhất trong phần thép của thanh thực bằng cách nhân ứng suất lớn nhất của mặt cắt chuyển đổi với

tỉ lệ của mô đun đàn hồi

Thanh được làm từ các vật liệu là

E n E b

11 in

5.063

in 5 1 in kip 40

m b

• Trong mặt cắt chuyển đổi, diện tích mặt cắt ngang

của thép, A thép , được thay thế bởi diện tích tương đương nA thép với n = E thép /E bê tông

• Xác định vị trí của trục trung hòa,

2 1 2

0 2

Bài tập ví dụ 4.4

Một sàn bê tông được gia cường bởi các

thanh thép có đường kính 5/8 in Biết mô

đun đàn hồi của thép là 29x106psi và của

bê tông là 3.6x106psi Mô men uốn tác

dụng trên 1-ft chiều rộng của sàn là 40

kip*in, xác định ứng suất lớn nhất trong bê

• Tìm ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép

4 95 4 2 12

x x

LỜI GIẢI:

• Chuyển đổi thành dầm được làm bằng bê tông

 

6 6

E n

• Tìm ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép

1

4 2

40 kip in 1.45 in

44.4 in

40 kip in 2.55 in 8.06

Mc I Mc n

Tập trung ứng suất

Tập trung ứng suất có thể xảy ra:

• Tại vùng lân cận của điểm đặt lực

I

Mc K

m 



• Tại vùng lân cận của mặt cắt thay

đổi đột ngột

Biến dạng dẻo

• Uốn thuần túy thanh bất kỳ

m x

c

y

   biến dạng biến thiên tuyến tính

• Nếu thanh được làm từ vật liệu đàn hồi tuyến tính,

thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt

Biến dạng dẻo

• Khi ứng suất lớn nhất bằng độ bền tới hạn của vật

liệu, phá hỏng sẽ xảy ra và mô men tương ứng M u

được xem như là mô men uốn tới hạn.

• Giới hạn bền uốn, R B, được xác định từ một giá

trị thực nghiệm của M u và giả thiết ứng suất phân

bố tuyến tính

u B

M c R

I



• R B có thể được sử dụng để xác định M u của thanh bất kỳ được làm bằng cùng một loại vật liệu và có cùng hình dáng mặt cắt ngang nhưng kích thước khác nhau

Các dầm làm từ vật liệu đàn dẻo

• Dầm chữ nhật được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo

moment elastic

maximum

Y m

m Y

x

c

I M

I Mc

half core elastic 1

2

2 3

1 2

cross

on only (depends

factor shape

moment plastic

2 3

M k

M M

Biến dạng dẻo của thanh chỉ có một mặt đối xứng

• Biến dạng dẻo hoàn toàn của một dầm chỉ có một mặt phẳng đối xứng

• Hợp lực R 1 và R 2 của các lực phân tố chịu kéo và nén tạo thành một ngẫu lực

Y

Y A A

R R



1

2 1



• Trục trung hòa không thể coi là đi qua trọng tâm của mặt cắt

Ví dụ 4.05, 4.06

Một dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men uốn M = 36.8 kN-m như hình vẽ Biết dầm được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo có giới hạn bền là

240 MPa và mô đun đàn hồi là 200 GPa

Xác định (a) bề dày của lõi đàn hồi, (b) bán kính cong của mặt trung hòa

Sau khi tải trọng được giảm về 0, xác định (c) sự phân bố của ứng suất dư, (d) bán kính cong

Ví dụ 4.05, 4.06

120 10 m  240 MPa

m 10 120

10 60 10

50

3 6

3 6

2 3 3

3 2 2 3

c

I

M

m m

bc

c

I



• Mô men đàn hồi lớn nhất:

• Bề dày của lõi đàn hồi:

666 0 mm 60

1 m kN 28.8 m

kN 8 36

1

2

2 3

1 2

3

2

2 3

1 2

Y

Y Y

y c

y

c y c

y M

M

mm 80

m 10 40

10 2 1

Pa 10 200

Pa 10 240

Y Y

y y E

Ví dụ 4.05, 4.06

• M = 36.8 kN-m

MPa 240

mm 40

2 MPa 7

306

m 10 120

m kN 8 36

10 5 177

m 10 40

10 5 177

Pa 10 200

Pa 10 5 35

core, elastic

the of edge

x x

y E





• Ứng suất do kéo nén lệch tâm gây ra được xác định bằng cách xếp chồng ứng suất phân bố đều

do kéo nén đúng tâm gây ra và ứng suất phân bố tuyến tính do uốn thuần túy gây ra

P F



 • Nhận xét: Để sử dụng được biểu thức trên, ứng

suất phải nhỏ hơn giới hạn đàn hồi, biến dạng ảnh hưởng không đáng kể đến hình dáng, và không xác định ứng suất ở gần điểm đặt tải

Ví dụ 4.07

Một mắt xích hở được tạo thành bằng

cách uốn các thanh thép thành hình dạng

như hình vẽ Với tải trọng 160 lb, xác

định (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất,

(b) khoảng cách giữa tâm mặt cắt với

trục trung hòa

HƯỚNG GIẢI:

• Xác định tải trọng dọc trục và mô men uốn tương đương

• Xếp chồng ứng suất phân bố đều do kéo đúng tâm gây ra và ứng suất phân bố tuyến tính do uốn gây ra

• Tính ứng suất kéo và nén lớn nhất tại các cạnh trong và ngoài theo nguyên lý xếp chồng

• Xác định trục trung hòa bằng cách tìm vị trí có ứng suất pháp bằng 0

Ví dụ 4.07

• Tải trọng đúng tâm và mô

men uốn tương đương

in lb 104

in 6 0 lb 160

lb 160

in 1963

0

lb 160

in 1963

0

in 25 0

2 0

2

2 2

c A







• Ứng suất pháp do kéo đúng tâm gây ra

 

psi 8475

in 10 068

in 25 0 in lb 104

in 10 068 3

25 0

4 3

4 3

4 4

1 4 4 1

c I

Ví dụ 4.07

• Ứng suất kéo và nén lớn nhất

8475 815

8475 815

0 0

m t



t



psi 7660

in 10 068 3 psi 815

0

4 3 0

P y

I

My A

P

in 0240

0

0 

y

m 038

.

0

m 10

B B

P Mc

P

A I

P Mc

• Trục trung hòa của mặt cắt ngang luôn vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực (mặt phẳng tải trọng)

• Các dầm vẫn đối xứng và uốn trong mặt phẳng đối xứng

Uốn xiên

Ta đề xuất xác định được điều kiện để

trục trung hòa của mặt cắt có hình dạng

bất kỳ luôn vuông góc với mặt phẳng tải

• Hợp lực và mô men từ sự phân bố

lực phân tố trên mặt cắt ngang

Uốn xiên

Nguyên lý xếp chồng được sử dụng để xác định ứng suất trong hầu hết các bài toán uốn xiên

• Phân tích véc tơ ngẫu lực thành 2 thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm

x

z y

M y

I y

Ví dụ 4.08

Dầm gỗ hình chữ nhật chịu mô men

uốn 1600 lb-in trong mặt phẳng tạo một

góc 30° so với phương thẳng đứng Xác

định (a) ứng suất lớn nhất trong dầm,

(b) góc hợp bởi trục trung hòa với mặt

phẳng ngang

HƯỚNG GIẢI:

• Phân tích véc tơ mô men thành các thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm và tính các ứng suất tương ứng

y

y z

z x

I

y M I

y 



1 12

1600 lb in cos 30 1386 lb in

1600 lb in sin 30 800 lb in 1.5 in 3.5 in 5.359 in 3.5 in 1.5 in 0.9844 in

1386 lb in 1.75 in

452.6 p 5.359 in

z y

z y

z z

M M I I

M y I

y y

M z I

Ví dụ 4.08

• Xác định góc của trục trung hòa

143 3

30

tan in

9844

0

in 359 5 tan

tan

4 4

o

4 72





Trường hợp tổng quát của kéo nén lệch tâm

• Xét một thanh thẳng chịu 2 lực lệch tâm có giá trị bằng nhau và ngược chiều

• Lực lệch tâm tương đương với một hệ gồm một lực đúng tâm và 2 mô men

z x

I

z M I

y M A

M y

M z  y 