Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 - Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10... Trường THPT Chuyên Tiền Giang.[r]

Trang 1

I.B ất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) :

Cho 2 bộ số thực (a a1; 2; ;a n) và (b b1; 2; ;b n), mỗi bộ gồm n số Khi đó ta có:

a b +a b + +a b ≤ a +a + +a b +b + +b

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

n

a

b = b = = b với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

II Các h ệ quả :

H ệ quả 1:

Nếu a x1 1+ + a x n n = (không C đổi) thì ( 2 2)

1

n

C

+ + đạt được khi 1

1

n

x x

a = = a

H ệ quả 2:

1 n

max a x + + a x n n = C a + + a n

đạt được khi 1

1

n 0

n

x x

a = = a ≥

min a x + + a x n n = −C a + + a n

Dấu “=” xảy ra 1

1

n 0

n

x x

a a

III.B ất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:

• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm

(a a1; 2; ;a n);(b b1; 2; ;b n);(c c1; 2; ;c n)ta luôn có :

a b c +a b c + +a b c ≤ a +a + +a b +b + +b c +c + +c

Ch ứng minh:

A= a +a + +a B= b + + +b b C= c + + +c c

Trang 2

Nếu A=0hoặcB=0hoặcC=0thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0

Vậy ta chỉ xét trường hợp A>0;B>0;C> 0

Khi đó ta có:

1 1 1

x x x

y y y

z z z

⎪

⎨

⎪ + + =

⎩

và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:x y z1 1 1+x y z2 2 2 +x y z3 3 3 ≤ 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: 3 3 3( )

; ; 1; 2;3

i i i

x y z i= ta có:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y z

≤

⎪

≤

⎨

⎪

≤

⎪

⎩

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:x y z1 1 1+x y z2 2 2 +x y z3 3 3 ≤ (1 đpcm)

Đẳng thức xảy ra

⎪

⎪⎩

Hay a i :b c i : i = A B C i: : ( =1; 2;3)tức là:a1:b c1: 1 =a2 :b2:c2 =a3 :b3 :c3

• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho mdãy số thực không âm:

Cho mdãy số thực không âm:

(a a1; 2; ;a n),(b b1; 2; ;b n), … , (K K1; 2; ;K n)

Ta có:

a b K +a b K + +a b K ≤ a +a + +a b +b + +b K +K + +K

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

1: 1 : : 1 2 : 2 : : 2 n : n : : n

a b K =a b K =a b K ( chứng minh tương tự như trên)

Bài 1: Cho x y z là ba s, , ố dương thỏa 4x+9y+16z=49 Chứng minh rằng:

1 25 64

49

T

Trang 3

Đẳng thức xảy ra khi nào?

H ướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 x;3 y; 4 zvà 1 ; 5 ; 8

x y z ta được:

2 2

49

T

Đẳng thức xảy ra khi

1 2

5

3

2

x

x y z y

x y z

z

⎧ =

⎪

⎪⎩

Bài 2 : Cho x>0;y> và 0 2 2

x + y ≤ + Chx y ứng minh:

x+ y≤ +

Giả thiết:

x +y ≤ + ⇔x y ⎛x− ⎞ +⎛y− ⎞ ≤

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 1

⎡ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞⎤ ≤ ⎛ − ⎞ +⎛ − ⎞ ≤

Đẳng thức xảy ra khi

2 10

1 3 5

2 10

x y

⎧

= +

⎪⎪

⎨

⎪ = +

⎪⎩

Bài 3 : Cho , ,a b c≥ ; 0 a+ + =b c 1.Chứng minh:

Trang 4

2 2 2

30

ab bc ac

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:

ab bc ca

a b c

a b c ab bc ca

1 3 3 3+ + + ≤ a +b +c +9ab+9bc+9ca A

100 ⎡ a b c 7 ab bc ca ⎤A

(do 1)

ab+bc+ca≤ a+ +b c = a+ + = b c

Do đó: (*) ⇒ ≥A 30

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

a= = = b c

Bài 4 : Cho ; ;x y z> và tho0 ả x+ + ≤ Chy z 1 ứng minh : 2 2 2

82

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1

1;9 ; x;

x

82

2 2

82

Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: S 82 x y z 9 1 1 1

Trang 5

( ) 1 1 1

82

Bài 5 : Cho ba số thực dương , ,a b c thoả ab+bc+ca=abc.Chứng minh rằng:

3

b a c b a c

Ta có:

2

= = + (do a b d, ương) Đặt x 1;y 1;z 1

1

⇔

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

( 2 2) ( 2 2 2) ( )2

3 x +2y =3 x +y +y ≥ x+ +y y

3

y + z ≥ y+ z

3

z + x ≥ z+ x

3

x + y + y + z + z + x ≥ x+ y+ z =

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

x= = = y z

3

x= = = thì y z a= = =b c 3

Bài 6 : Chứng minh: a− +1 b− +1 c− ≤1 c ab( +1)với mọi số thực dương ; ;a b c≥ 1

a− =x b− = y c− =z

Với ; ;x y z> B0 ất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

( 2 ) ( 2 )( 2 )

x+ + ≤y z z + ⎡⎣ x + y + + ⎤⎦

Trang 6

( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )

( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) 2

Kết hợp (1) và (2) ta có ( 2 ) ( 2 )( 2 )

x+ + ≤y z z + ⎡⎣ x + y + + ⎤⎦

Vậy a− +1 b− +1 c− ≤1 c ab( +1) (đpcm)

Bài 7 : Cho ; ;a b c> và tho0 ả abc=1.Chứng minh:

2

a b c +b c a +c a b ≥

Đặt x 1;y 1;z 1

= = = ⇒xyz =1;x>0;y>0;z > 0

Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= 2 2 2 3

2

x y z

y z+ z x+ x y ≥

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ( y z; z x; x y); x ; y ; z

x+ +y z ≤ y+ + + + +z z x x y A

3

x y z

2

A

⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi x= = = y z 1

Với 1x= = = thì y z a= = =b c 1

Bài 8 : Cho ; ;a b c> Ch0 ứng minh:

a a b a c b b c b a c c a c b

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( a; b) (; c; a )

Ta có:

ac+ ab ≤ a+b c+a ⇒ ac+ ab ≤ a+b c+a

a ac ab a a b c a

a ac ab a b c

a a b a c

Trang 7

Tương tự:

a b c

b b c b a

≤

a b c

c c a c b

≤

Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:

a a b a c b b c b a c c a c b

Đẳng thức xảy ra khi a= =b c

Bài 9 : Cho ;a b> và tho0 ả 2 2

9

a +b = Chứng minh : 3 2 3

ab

a b

−

≤ + +

Ta có: a2 +b2 = 9

2

ab a b

2

3 3

3

ab

a b

+ +

+

+ +

Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì 2 2

a+ ≤b a +b =

ab

a b

−

≤

Đẳng thức xảy ra khi 2 2

3 9

2

a b

>

⎧

⎨

⎪

⎪ =

⎩

Bài 10: Cho ; ; ;a b c d dương tuỳ ý.Chứng minh : 1 1 1 p q p q p q

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có

2 2

Tương tự ta chứng minh được

;

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :

Trang 8

( )2 1 1 1 ( ) 1 1 1

p q

Bài 11 : Cho 4 số dương ; ; ;a b c d Chứng minh:

3

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:

Ta có:

( 2 2 2 2)2 ( ) ( ) ( ) ( )

a +b +c +d ≤P a b⎡⎣ + +c d +b c+ +d a +c d+ +a b +d a+ +b c ⎤⎦

a b c d P⎡ a b c d a b c d ⎤

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: (a b c d; ; ; ) (; 1;1;1;1)ta được:

4

Từ (1) và (2) ta được ( 2 2 2 2)2 ( 2 2 2 2)

3 3

3

Bài 12 : Cho các số dương ; ;a b c thỏa a + b + c = 1 Chứng minh : 1

b a + c b+ a c ≥

Đặt

A

2 2

Trang 9

( )

2

3

a b c

A

ab bc ca

+ +

⇔ ≥

Ta lại có:

3

a+ +b c ≥ ab+bc+ca Suy ra ( )

3

1 3

ab bc ca A

ab bc ca

b a+ c b+ a c ≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi

1 3 1

b c c a a b

a b c a b c

a b c

⎧

⎨

⎪ + + =

⎩

Bài 13 : Giả sử các số thực x y z t; ; ; thoả mãn điều kiện: ( 2 2) ( 2 2)

1

a x + y +b z +t = với ;a b là hai số dương cho

trước Chứng minh:( )( ) a b

x z y t

ab

+

Do ;a b> nên t0 ừ giả thiết ta có:

( ) ( ) 2 2 2 2

1 1

1

Tương tự : ( ) (2 ) y2 t2

y t b a

b a

Cộng từng vế (1) và (2) ta được:

x z y t b a

b a b a ab

Mặt khác ( ) (2 )2 ( )( )

2

x+z + y+t ≥ x+z y+ t (4)

Do đó từ (3) và (4) suy ra: ( )( ) a b

x z y t

ab

+

Dấu đẳng thức xảy ra

x z

b a

x y

y t

ax

b a z t

b

x z y t

⎧ =

⎪

=

= =

⎪

⎪⎩

Trang 10

Bài 14 : Cho các số thực dương x y z t; ; ; thoả mãn xyzt= Chứng minh: 1.

3

x yz zt ty + y xz zt tx + z xt ty yx +t xy yz zx ≥

Với x y z t; ; ; dặt a 1;b 1;c 1;d 1 ( ; ; ;a b c d 0)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương với:

bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac

4 3

S ⎡⎣ b+ +c d + c+ +d a + d+ +a b + a+ +b c ⎤⎦≥ a+ + +b c d

2

1

a b c d

+ + +

Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:

2 ; 2

a+ ≥b ab c+ ≥d cd

Suy ra a+ + + ≥b c d 2( ab+ cd)

Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ab; cd ta có:

4

Từ (1) và (2) suy ra 4

3

S ≥

Vậy

bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac

Dấu đẳng thức xảy ra khi a= = = = ⇔ = = = = b c d 1 x y z t 1

Trang 11

4 4 4 4

1 4

≥

Bài 15 : Cho x x x x d1; 2; 3; 4 ương thoả điều kiện x1+x2 +x3 +x4 = Ch1 ứng minh :

1= x +x +x +x ≤4 x +x +x +x

1 4

x +x +x +x = x x + x x + x x + x x

= + + + (vìx1 +x2 +x3 +x4 = ) 1

x +x +x +x

( 2 2 2 2)

1 1 2 2 3 3 4 4

x x x x x x x x

( 2 2 2 2)( 4 4 4 4)

Từ (1);(2) và (3) suy ra:

Bài 16 : Cho bốn số dương ; ; ;a b c d Chứng minh:

+ + +

a+b ≤ a +b ⇔ a +b a+b ≤ a +b ≤ a +b (1)

1 4

a b

+

Mặt khác:

a b

Đặt

N

1 4

≥

Trang 12

Ta có:

( ) ( )

a b a b b c b c c d c d d a d a

2

Bài 17 : Cho ; ;a b c là các số thực dương.Chứng minh:

a bc b ac c ab

(Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)

Đặt

A

a bc b ac c ab

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được:

2

A a b c a b c abc

Mặt khác

3

a+ +b c =a +b +c + a+b b+c a+ c

Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:

2 ; 2 ; 2

Suy ra:

(a+b b)( +c)(a+c)≥8abc

Từ (1) và (2) suy ra:

a+ +b c ≤ A a+ +b c a+ +b c = A a+ +b c

Do đó A≥ , nghĩa là 1

a bc b ac c ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi a= =b c

Bài 18 : Cho ; ;x y z∈ + ả xy+ yz+ + = Chzt tx 1 ứng minh:

Trang 13

3 3 3 3

1 3

y z t + x z t + x y t + x y z ≥

xy+ yz+ +zt tx ≤ x +y +z +t y +z + +t x

Đặt:X = + +y z t Y; = + +x z t Z; = + +x y t T; = + + x y z

Không mất tính tổng quát giả sử: x y z t≥ ≥ ≥

x ≥ y ≥ z ≥ t

và y+ + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ⇔z t x z t x y t x y z X ≤ ≤ ≤Y Z T 1 1 1 1

Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau:

⎪

⎨

⎪⎩

4

x y z t

X Y Z T X Y Z T

Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy x2 y 2 z 2t 2

x y z t

≥ ≥ ≥

⎧

⎩

( 3 3 3 3) 1( ) ( 2 2 2 2)

4

x +y +z +t ≥ x+ + +y z t x + y +z +t

Mặt khác:

x+ + + =y z t x+ + + + + + + + + + + =y z x y t x z t y z t X + + +Y Z T

( 3 3 3 3) (1 2 2 2 2) 1( )

Từ (2) và (3) rút ra:

48

x y z t

x y z t X Y Z T

Theo (1) ta lại có: 2 2 2 2

1≤x +y +z + t

Áp dụng BĐT Cauchy cho ; ; ;X Y Z T > ta có: 0

4 4

4

+ + + ≥

Trang 14

Vậy 3 3 3 3 1 1.16 1

X + Y + Z +T ≥ =

ThayX Y Z T ta ; ; ; được kết quả:

1 3

y z t + x z t + x y t+ x y z ≥

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

2

x= = = = y z t

Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng:

( )

C + C + + C ≤ n −

1 n; 2 n; ; n n n ; 1 2 n 1

Theo nhị thức Newton ta có:( )

1

n

n k

=

Choa= =b 1.Ta có:

2n =C n +C n + + C n n ⇒2n − =1 C n + + C n n

Vậy từ (1) ta có:

( )

C + C + + C ≤ n −

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2

C = C = = C ⇔ =n

Bài 20 : Cho ; ; ;a b c d > Ch0 ứng minh : 2

(Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993)

2

i

x

y

với n=4;(x x x x1; 2; 3; 4) (= a b c d; ; ; ) (; y y y y1; 2; 3; 4) (= b+2c+3 ;d c+2d+3 ;a d+2a+3 ;b a+2b+3c)

2

4

a b c d

ab ac ad bc bd cd

+ + +

≥

8

Từ (1) và (2) ⇒ VT 2

3

≥ ( đpcm )

Bài 21 : Cho 0;a> b>0;c> Ch0 ứng minh : 4 4 4 3 3 3

2

Trang 15

a b+c = y b c+a = y c a+b = y

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các sốx x x và1; 2; 3 y y y ta 1; 2; 3 được:

2

a b c

a b c b c a c a b a b c

b c c a a b

2

Để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh:

( 3 3 3) 2( ) 2( ) 2( )

2 a +b +c ≥a b+c +b c+a +c a+b (**)

(**)⇔a3 +b3 −a b2 −b a2 +b3+c3 −b c2 −bc2 +c3 +a3 −c a2 −ca2 ≥ 0

( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 )

0

Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng

2

Bài 22 : Chox i >0;i=1; 2; ;ncóx1+x2 + + x n = Cho 1

1; 2; ;

n

x x x là hoán vị của x x1; 2; ;x Ch n ứng minh:

( )2

1

1 1

k

n k

n x

=

∑

Theo Bunhiacôpxki:

2

Mà

1

n

k

x

=

∑

2

1

k

i k

n

x

=

∑

1

1 1

k

n k

n x

=

∑

Bài 1: Cho ; ; ;a b c d > và thỏa 0 2 2 ( 2 2)3

c +d = a +b Chứng minh:a3 b3 1

c + d ≥

Trang 16

Bài 2: Choa b c d; ; ; > Chứng minh:0 1 1 4 16 64

a+ + +b c d ≥ a b c d

+ + +

Bài 3: Choa b c là 3 s; ; ố dương và 2 2 2

1

2

b c+c a+ a b ≥

Bài 4: Choa2 +b2 +c2 = Ch1 ứng minh:a+ + +b c ab+ac+bc≤ +1 3

Bài 5: Choa b c là các s; ; ố dương.Chứng minh: 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2

3

Bài 6: Cho 3 số ; ;x y z thoả ( ) ( ) ( ) 4

3

x x− + y y− +z z− ≤ Chứng minh:x+ + ≤ y z 4

Bài 6: Cho ; ;a b c là 3 số không âm.Chứng minh: 2 2 2

a b b c c a

a b c

Bài 7: Cho 3 số dương ; ;a b c có abc=1.Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 3

2

a b a c +b c b a+c a c b ≥

Bài 8: Cho 3 số dương ; ;x y z có x+ + = Chứng minh:y z 1 1 1 1 9 3 3

2

y

+

a b c

x y z x y z

+ + ≥

+ +

Bài 10: Chox≥ ≥ > Chy z 0 ứng minh: 2 2 2 ( )

2

x y y z z x

x y z

z + x + y ≥ + +

Bài 11: Choa≥1;b≥ Chứng minh:1 log2 log2 2 log2

2

a b

a+ b ≤ ⎛ + ⎞

Bài 12: Cho ; ;a b c> Ch0 ứng minh:( 3 3 3) 1 1 1 ( )2

Bài 13: Cho ; ;a b c∈ ứng minh: 2 ( )2 2 ( )2 2 ( )2 3 2

2

a + −b + b + −c + c + −a ≥

Bài 14: Chox y z; ; > và0 3

2

17 2

Bài 15: Cho trước 2 số dương ;a b và 2 số dương ;c d thay đổi sao choa+ < +b c d.Chứng minh:

2 ( )2 2

a c

−

+ + − − + Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 16: Choa a1; 2; ;a là các s n ố thực thoả mãn 2 2 2

a +a + +a = Chứng minh: 1 2

n a

n

+

Bài 17: Cho ; ; ; ;a b c p q> Ch0 ứng minh: a b c 3

pb qc+ pc qa + pa qb ≥ p q

Bài 18: Chứng minh rằng với mọia i ∈ (i=1; 2; ;n)ta có:

2

n

Trang 17

Bài 1: ChoΔABCthoả mãn hệ thức: 3 3 3 2( )2

9

+ +

Để đơn giản ta đặt:

0 0 0

x br cR

y cr aR

z ar bR

= + >

(2)

9

a b c a b c

x y z R

+ +

Từ (2) ta có:

ax by cz+ + = ab bc ca r+ + +R (3)

(ax by cz)(a b c ) a b c ab a( y b x) bc b( z c y) ca c( x a z)

Theo BĐTCauchy,ta có:

(ax by cz)(a b c ) a b c 2ab ab bc bc ca ca .2 2 (a b c )

x y z

Suy ra :

+ + + (theo 3) (4)

mặt khác ta luôn có (Cauchy): 2 2 2

a +b +c ≥ab bc ca+ + nên (4):

a b c a b c a b c

x y z a b c r R r R

2

3( )

a b c

r R

+ +

≥

+ (theo BĐT BCS)

R≥ r⇒ r+R ≤ +R =

9

a b c a b c

x y z R

+ +

9

+ +

Trang 18

dấu “=” xảy ra khi

a b c

R r

⎧

⎪ = =

⎪⎪ =

⎨

⎪

⎪⎩

⇔ ΔABC đều

Bài 2 : CM: 1 cos+ AcosBcosC≥ 3 sinAsinBsinCvới A, B,C nhọn

tg tg +tg tg +tg tg =

Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:

3

A B B C C A A B C

tg tg +tg tg +tg tg ≥ tg tg tg (2)

1 3

tg tg tg

từ (1)và(2):

1 cosAcosBcosC 3 sinAsinBsinC

Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều

Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ chứng minh rằng

a c b

a T

− +

=

2

− +

+

−

c b

a c b

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:

a c b a

c b

a c

b a

c

b

− +

−

2

2 2 2

2 2

2

Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:

(a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2

–b2 - c2

Từ đó suy ra đpcm

Trang 19

Bài 4 : Cho ΔABC và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của Δ nhỏ

và có diện tích S1; S2; S3 Gọi S là diện tích ΔABC Chứng minh:

3

3 2 1

S S S

Giả sử S1= SAMN

Ta có: ΔAMNđồng dạngΔABCvới tỉ số đồng dạng là:

ha

r

ha 2−

với r là bán kính đường tròn nội tiếp và ha là đường cao kẻ từ đỉnh A

Ta có:

2 2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

p

a ha

r ha

S

(Vì S =

p

a ha

r pr aha= ⇒ 2 =

2

1

với p là nửa chu vi)

Vậy:

p

a S

S

−

=1

1

Tương tự:

p

b S

S

−

=1

2

;

p

c S

S

−

=1

3

Do đó: 1 + 2 + 3 =3− + + =1

p

c b a S

S S S

Áp dụng BĐT Bun ta có:

3 2

3

S

S +S +S ≥ (đpcm) Dấu “=” xảy ra khiΔABC đều

Bài 5 : Cho ΔABC và 1 điểm Q nào đó ở trong Δ Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt

BC ở N Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S =

dt(ABC).Chứng minh:

S = S + S + S b) 1 2 3 1

3

S +S +S ≥ S

a) Ta có: ΔQMPđồng dạngΔBAC (tỉ sốMP

AC)

Suy ra

2

1

; S

1

S

Trang 20

Suy ra: ( )2

S = S + S + S ⇒ =S S + S + S

b) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

1 Suy ra

3

Dấu “=” xảy ra khiS1=S2 = ⇔ Q là trS3 ọng tâmΔABC

Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:

Đặt

0 0 0

b c a x

c a b y

a b c z

+ − = >

⎧

⎪ + − = >

⎨

⎪ + − = >

⎩

Khi đó ta cần chứng minh:

2 (1)

Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:

2

6 6 (2) 2 3 (3)

x y y z z x x y z

VT xyz x y z

Rõ ràng ta có

2

3

3 (4)

x y x y x y xyz x y z

xy yz zx xyz x y z

Từ (1) (2) (3) (4)⇒ đpcm Dấu “=” xảy ra khi a = =b c

Bài 7 : Cho ∆ABC Chứng minh : a 2

b(a – b) +b 2 c(b – a) + c 2 a(c – a) ≥ 0 ( Trích đề thi vô địch toán quốc tế 1983 )

Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	649,62 KB