Bài tập Toán khối 11 - Trường THPT Hùng Vương

Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: un = u1 q n 1 q  0 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 15 L[r]

Trang 1

Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11

PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN

1 Hai cung đối nhau: -x và x

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

 

  

2 Hai cung bù nhau:  x và x

sin( ) sin



  

3 Hai cung phụ nhau: và x

2 x

 

4 Hai cung hơn kém nhau Pi:  x và x

tan( ) tan cot( ) cot



  

5 Các hằng đẳng thức lượng giác

2

1

cos 1

sin

x

6 Công thức cộng lượng giác

cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos

7 Công thức nhân đôi

8 Công thức nhân ba:

sin 3x3sinx4sin x cos3x4cos x3cosx

9 Công thức hạ bậc:

10 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2

11 Công thức biến đổi tổng thành tích

Trang 2

A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho sin 3 < < 3 .Tính cos ,tan ,cot

p

÷ ç

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o).Tính sina , tana, cota

Bài 3: Cho tan15o = -2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o

Bài 4: Tính A tan x cot x biết Tính biết tanx = -2

tan x cot x

+

=

-1 sinx =

3

2sin x 3cos x B

3sin x 2cos x

+

=

2

sin x 3sin x cos x 2cos x C

1 4sin x

-=

+

Bài 5: Chứng minh:

a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x

(sử dụng như 1 công thức)

c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =

1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx

1+cosx

g/

2

1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx

1 tan x-tan y sin x-sin y

1+cosx tan x.tan y sin x.sin y

Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

2

A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3

C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x

sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ;

sin x+cos x-1

sin x+3cos x-1 G=

sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )

2

p

Î

II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT

* Biết 1 HSLG khác:

Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với 3

x 2 2

ç < < ÷

a/ Tính cosx ; b/ Tính sin x , cos( x , tan) x , cot 3( x)

Trang 3

Bài 2: Tính:

2

a p

ç

-ç

Bài 3: Đơn giản biểu thức:

= - + çç - ÷÷- çç + ÷÷ çç - ÷÷

Bài 4: Đơn giản biểu thức:

( o ) ( o) ( o) ( o ) ( o )

A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a

B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x

-Bài 5: Đơn giản biểu thức:

19

1 2

sin x cos x 99 2

a / sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0

Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

a / sin(A B) sin A; b / cos A cos(B C) 0; c / sin cos ;

d / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos 0

2

+

III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,

12 12 12 12 12

Bài 10: Tính cos x

3

p

ç - ÷

çè ø biết sin x 12, (3 < x < 2 )

13 2

=

-Bài 11: Cho 2 góc nhọn có tan 1, tan 1

a = b= a/ Tính tan( a b+ ) b/ Tính

,

a b

a + b

Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y 4

tan x.tan y 3 2 2

p

ìïï + = ïí

-ïî

a/ Tính tan x( + y ; tan x) + tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y

Trang 4

Bài 13: Tính tan x

4

p

ç - ÷

sin x

41

= - và < x <3

2

p p

Bài 14: Tínhtan theo Áp dụng: Tính tg15o

4

p a

ç + ÷

Bài 15: Tính:

1 tan 25 tan 20 1 tan15

+

Bài 16: Tính:

3

= çç - ÷÷ çç + ÷÷+ çç + ÷÷ çç + ÷÷

= çç + ÷÷+ çç + ÷÷ çç + ÷÷+ çç + ÷÷

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

= + çç + ÷÷+ çç - ÷÷ = + çç + ÷÷+ çç - ÷÷

a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a

b / sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a

c / sin a b cos a b sin a cosa sin bcos b

d / sin a sin a 2 sin a

ç + ÷- ç - ÷=

Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC

3/ sin cos cos sin sin

4/ cos sin cos cos sin

5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C

2

6/ tan tan tan

p

+ tanC tanCtanA 1

7/ cot cot cot cot cot cot

8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1

( học thuộc kết quả )

Công thức biến đổi:

Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG

2

a / sin sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30

d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;

f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH

Trang 5

a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos 6x; c / sin 5x sin x

d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a

-Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :

9/ sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos

10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1

4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC

14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC

15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)

Bài 23: Chứng minh DABC vuông nếu:

sin B sin C

a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2

cos B cos C

+

Bài 24: Chứng minh DABC cân nếu:

2

a / sin A 2sin B.cos C; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cos A

Bài 25: Chứng minh DABC đều nếu:

a / cos A.cos B.cos C ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cos C

Bài 26: Chứng minh DABC cân hoặc vuông nếu:

2 2

a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /

2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C

-Bài 27: Hãy nhận dạng DABC biết:

a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C

cos B

B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Chú ý : 1) có nghĩa khi B A (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A

2)  1 s inx 1 ; -1 cosx 1  

3) sin 0 ; s inx = 1 x = 2 ; s inx = -1 x = 2

4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2

2

5) Hàm số y = tanx xác định khi

2

x  k 

Hàm số y = cotx xác định khi x k 

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 3) y = sin

2

x x



4) y = cos x2 3x2 5) y = 2 6) y =

os2x

Trang 6

Trường THPT Hựng Vương Bài tập Toỏn khối 11

7) y = 1 osx 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x -

1-sinx

c



4



) 3



10) y = 1 1

s inx  2 osxc

II Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số lượng giỏc

Chỳ ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

sin2(-x) =  2= (-sinx)2 = sin2x

sin(-x)

Phương phỏp: Bước 1 : Tỡm TXĐ ; Kiểm tra D x D   x D x,

Bước 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh với f(x) Cú 3 khả năng





Có x để ( ) ( ) không chẳn, không lẻ

Bài 2 Xột tớnh chẳn, lẻ của cỏc hàm số sau

1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2

4) y = tan1 2x 5) y = sin + x2 6) y = cos

III Xột sự biến thiờn của hàm số lượng giỏc

Chỳ ý : Hàm số y = sinx đồng biến trờn mỗi khoảng 2 ; 2

    

Hàm số y = sinx nghịch biến trờn mỗi khoảng 2 ;3 2

Hàm số y = cosx đồng biến trờn mỗi khoảng  k2 ; 2 k 

Hàm số y = cosx nghịch biến trờn mỗi khoảng k2 ;  k2

Hàm số y = tanx đồng biến trờn mỗi khoảng ;

    

Hàm số y = cotx nghịch biến trờn mỗi khoảng k   ; k 

Bài 3* Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số

1) y = sinx trờn ; 2) y = cosx trờn khoảng

6 3

 

;

3 2

 

3) y = cotx trờn khoảng 3 ; 4) y = cosx trờn đoạn

  

13 29

;

5) y = tanx trờn đoạn 121 ;239 6) y = sin2x trờn đoạn

3

;

4 4

 

7) y = tan3x trờn khoảng ; 8) y =sin(x + ) trờn đoạn

12 6

 

;

 

Bài 4: * Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số

Hàm số

Khoảng

3

; 2



 

 

23 25

;

y = sinx

y = cosx

y = tanx

y = cotx

Trang 7

Trường THPT Hựng Vương Bài tập Toỏn khối 11

Chỳ ý Hsố y = f(x) đồng biến trờn K y = A.f(x) +B

đồng biến trên K nếu A > 0

nghịch biến trên K nếu A < 0







Bài 5* Lập bảng biến thiờn của hàm số

1) y = -sinx, y = cosx – 1 trờn đoạn  ; 

2) y = -2cos 2 trờn đoạn

3

x 

2

;

3 3

 

IV Tỡm GTLN, GTNN của hàm số lượng giỏc

Chỳ ý :  1 s inx 1 ; -1 cosx 1   ; 0 sin 2 x 1 ; A 2 + B B

Bài 6*: Tỡm GTLN, GTNN của cỏc hàm số

1) y = 2sin(x- ) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 -

2

os (2x + )

3

4) y = 1 cos(4x ) 2 - 2 5) y = 2 s inx 3 6) y = 5cos

4

x

7) y = sin 2 x 4s inx + 3 8) y = 4 3 os 3  c 2 x  1

Chỳ ý :

Hàm số y = f(x) đồng biến trờn đoạn  a b; thỡ

  a ;ax ( ) ( ) ; min ( )  a ; ( )

b b

Hàm số y = f(x) nghịch biến trờn đoạn  a b; thỡ

  a ;ax ( ) ( ) ; min ( )  a ; ( )

b b

Bài 7*: Tỡm GTLN, GTNN của cỏc hàm số

1) y = sinx trờn đoạn ; 2) y = cosx trờn đoạn

  

 

3) y = sinx trờn đoạn ;0 4) y = cos x trờn đoạn

2



 

1 3

;

4 2

C.PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC.

I:LÍ THUYEÁT

1/Phửụng trỡnh lửụùng giaực cụ baỷn

sin u = sin v   ( k  Z )

















2

k v u

cos u = cos v  u =  v + k2 ( k  Z ) tanu = tanv  u = v + k ( k  Z ) cotu = cotv  u = v + k ( k  Z )

2/ Phửụng trỡnh ủaởc bieọt :

sinx = 0  x = k , sinx = 1  x = + k2 ,sinx = -1  x = - + k2

2



2



cosx = 0  x = + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2

2



3/ Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi sinx vaứ cosx

Laứ phửụng trỡnh coự daùng : acosx + bsinx = c (1) trong ủoự a2 + b2  0

Caựch 1: acosx + bsinx = c  a2 b2.cos(x) = c vụựi

2 2

cos

b a

a







Trang 8

Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11

asinx +bcosx = c  a2 b2.sin(x) = c với

2 2

cos

b a

a







Cách 2 :

Xét phương trình với x =  + k , k  Z

Với x   + k đặt t = tan ta được phương trình bậc hai theo t :

2

x

(c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm  a2 + b2 - c2  0

Bài tập :Giải các phương trình sau:

1 3cosxsinx 2 , 2 cosx 3sinx1

3 3sin3x 3cos9x14sin33x, 4

4

1 ) 4 ( cos sin4  4  

x x

5 cos7xsin5x 3(cos5xsin7x), 6.tanx3cotx4(sinx 3 cos )x

2sin

x

x x

sin 2 sin

2

x x

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx

Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0

3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos2 x

3

4

3 2 tan

9 6sin 32 xcos12x4 10 4sin4x12cos2x7

5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :

a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0

Cách 1 :

Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm

Xét cosx0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx

Cách 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) ,

2

1

2 1

sinxcosx = sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x

2 1

b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi

đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = + k ,kZ

2



Bài tập :

1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2

2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0

3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4

4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

Trang 9

sin sin 2 2cos

2

6/ Phương trình dạng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 

Đặt t = cosx + sinx , điều kiện  2  t  2 khi đó sinxcosx =

2

1

2 

t

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t

Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx - sinx , điều kiện  2 t  2 khi đó sinxcosx =

2

1t2

Bài tập : Giải các phương trình sau :

1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0

2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12

3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1

4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0

5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0

7 Các phương trình lượng giác khác.

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,

4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7

x

cos

3

Bài 2 : Giải các phương trình sau :

1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx

2/ x cos2x ĐS : x = k3 , x=  +k3 , x =  +k3

3

4

cos 

4



4

5

3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ĐS: sinx =1 v sin = 1

2

x

2

4



2

x

2

x

4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - + k 

4



5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ĐS : x = k2 , x =  +k2

x

cos

1

3



6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =

2 1

7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x

8/ cos 3x – cos 2x = 2

9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan

2

x

10/ sin2x+ 2tanx = 3

11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x

12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ĐS : x = k v x = + k

4



4



13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx

14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = + k

4



15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.

Trang 10

Giải các phương trình sau :

1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0

2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx

3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= +

4



2

 k

5/ sin3(x - ) = sinx ĐS : x = +k

4



2

4



6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x =  + k v x= +

3



4



2

 k

7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0

8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG

Giải các phương trình sau :

1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0

2 3

5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/

3

10 cos sin sin

1 cos

1





x

7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6

8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0

x

2

sin

2

9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1

11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )

IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Giải các phương trình sau:

1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +

4 1

5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

2

x

2

x

7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x

9/ 3sin3x - 3cos 9x = 1 + 4sin3x 10/ x

x

x x

sin cos

1

sin





11/ sin2 )tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =

4 2

(x

2

x

sin

1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )

15/ ) cos2 3 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

2 sin 2 1

3 sin 3 cos (sin



x

x x

x

17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/ 4 2

4

(2 sin 2 )sin 3

cos

x



  19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan )

2

x

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	365,22 KB