Kh¶o s¸t t×nh h×nh thùc tÕ: ở đầu năm trong ch−ơng trình Hình học 12 các các em đã đ−ợc trang bị các kiến thức t−ơng đối đầy đủ về mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo ra chúng, tro[r]
Trang 1Cộng ho∙ x∙ hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập-tự do-hạnh phúc
…………o0o…………
đề tài Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay
I sơ yếu lí lịch
• Họ và tên: Nguyễn Đông Bắc
• Sinh ngày: 31/10/1980
• Năm vào nghành: 09/2007
• Ngày vào Đoàn TNCS Hồ Chí Minh: 22/12/1998
• Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Vạn Xuân
• Trình độ: Cử nhân Toán
• Hệ đào tạo: Chính quy
• Bộ môn giảng dạy: Toán
• Ngoại ngữ: Anh
Trang 2II Nội dung đề tμi:
1 Tên đề tài:
Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay
2 Lý do chọn đề tài:
Tính thể tích vật thể nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng là một ứng dụng quan trọng của tích phân, dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các
đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các trường cao đẳng và đại học Thời lượng cho phần này theo phân phối chương trình là 2 tiết, với thời gian ít như vậy cộng với hình dạng trừu tượng của khối tròn xoay- một đối tượng của hình học không gian, học sinh thường bị lúng túng, mất định hướng và thiếu tự tin vào bản thân khi làm bài tập dạng này Việc phân loại bài toán và đưa ra phương pháp giải phù hợp đối với từng trường hợp sẽ giúp học sinh định hướng trong quá trình giải bài tập, vì lí do đó tôi quyết định thực hiện đề tài
3 Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài:
Đề tài này được áp dụng trong phạm vi các lớp 12C2-Trường THPT Vạn Xuân với đối tượng là các em học sinh có học lực trung bình Thực hiện trong năm học 2008-2009, vào các giờ luyện tập và tự chọn, sau khi các em đã học xong bài
“Đ3 ứng dụng của tích phân trong hình học” của chương III- Giải tích 12 Ban
Cơ bản
III Quá trình thực hiện đề tμi:
1 Khảo sát tình hình thực tế:
ở đầu năm trong chương trình Hình học 12 các các em đã được trang bị các kiến thức tương đối đầy đủ về mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo ra chúng, trong chương trình Giải tích 12 ở học kì II các em đã được trang bị các kiến thức cơ bản về tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Đó là cơ sở vững chắc để tiến hành thực hiện đề tài này
2 Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài:
Sau khi dạy xong bài “Đ3 ứng dụng của tích phân trong hình học” của chương
III- Giải tích 12 Ban Cơ bản, trước khi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho
học sinh của lớp 12C2, tôi đã ra bài tập về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trước trong thời gian 1 tuần Với bài tập sau:
Bài tập:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục Ox
a) = x; 0 = ;
y e y x = 0; x = 2
b) y = x2; y = x
c) x2 + y2 = 8; y2 = 2 x
Kết quả thống kê được như sau:
Trang 3Người thực hiện: Nguyễn Đông Bắc
Kết quả
Câu
Số HS giải đúng Số HS giải sai Số HS không có lời
giải
Từ kết quả thu được ta thấy mặc dù bài toán tương đối dễ nhưng học sinh vẫn chưa nắm được kĩ năng giải Việc thực hiện đề tài là cần thiết
3 Các biện pháp thực hiện:
A Yêu cầu đối với học sinh:
- Nắm vững khái niệm mặt tròn xoay, khối tròn xoay và các khái niệm liên quan
- Nắm vững các phương pháp tính tích phân
- Nắm vững bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các phép biến đổi đồ thị,
và đồ thị của các hàm số đặc biệt
B Nội dung đề tài:
Phần I: Nhắc lại các kiến thức đã học trong chương trình lớp 12 và các kiến thức liên quan
1 Cách tính thể tích vật thể bất kì:
Bước 1: Chọn trục Ox dọc theo chiều dài vật thể
Bước 2: Xác định chiều dài vật thể trên trục Ox ⇒ ta được đoạn [a; b] Bước 3: Cắt vật thể bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại vị trí
[ ; ]
x∈ a b ⇒ tìm quy luật biến đổi của diện tích thiết diện S(x)
Bước 4:Kết luận công thức tính thể tích vật thể là: ( ).
b
a
V=∫S x d x
2 Các phép biến đổi đồ thị:
Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị (C)
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta được đồ thị (C1): y= ưf x( )
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta được đồ thị (C2): y= f( ưx)
Trang 43 Đồ thị của một số hàm số đặc biệt:
y=x n∈N
Phần II: Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay
Bình luận: Để tạo ra khối tròn xoay ta phải quay một hình phẳng quanh một
trục nào đó, trong chương trình cơ bản ta chỉ xét khối tròn xoay quay quanh trục
Ox Do vậy, ta sẽ phân loại bài toán theo đặc điểm của hình phẳng và vị trí của hình phẳng so với trục Ox
1 Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng nằm về một phía của trục Ox khi
quay quanh Ox
Dạng 1: Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục Ox
( ) : ( 0)
;
y f x
=
⎧
⎨
⎪ = =
⎩
Trang 5Người thực hiện: Nguyễn Đông Bắc
( )
b
ox a
V = π∫ f x dx
Ví dụ:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh Ox:
y=x e
Bài giải:
a)
Nhận xét: Đây là một bài toán đúng dạng đang xét do vậy ta có thể áp dụng ngay công thức mà không phải vẽ hình
Lời giải:
Công thức tính diện tích là:
4 2
1
ox
V = π∫ x dx
⇒ Thể tích khối tròn xoay là:
15 (đvtt)
2
ox
V = π
b)
Trang 6Nhận xét: Trục Ox có phương trình y=0, bài toán này đúng dạng nhưng chưa cho các cận lấy tích phân x=a; x=b, ta tìm nó bằng cách giải phương trình tương giao
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của
y=x ư xư với trục Ox là
nghiệm của phương trình:
2 3 0
3
x
x
= ư
⎡
ư ư = ⇔ ⎢ =
⎣ Công thức tính thể tích:
3
1
ox
V x x d
ư
⇒Thể tích vật thể là:
832 (đvtt) 15
ox
V = π
c)
Nhận xét: Trục Ox có phương trình y=0, bài toán này đúng dạng nhưng chưa đủ cận lấy tích phân và đồ thị của nó ta chưa biết cách vẽ, ta tìm cận còn lại bằng cách giải phương trình tương giao
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của . x
y=x e
với trục Ox là nghiệm của phương
trình:
Công thức tính thể tích:
( )
ox
V = π∫ x e x dx= π∫ 2x.
x e dx
⇒Sử dụng phương pháp tích phân
từng phần ta có thể tích vật thể là:
(đvtt) 4
ox
e
Dạng 2: Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi từ hai đường cong trở lên
Cách giải:
Bước 1: Vẽ hình và xác định hoành độ các giao điểm
Bước 2: Phân chia hình phẳng thành các phần giới hạn bởi một đường cong và
trục Ox
Bước 3: Xác định công thức tính thể tích và kết luận
Ví dụ:
Trang 7Người thực hiện: Nguyễn Đông Bắc
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh Ox:
a) y=x2 ; y=2-x, Ox. b) y=x2 ư 2.xư 3; y=0.
Bài giải:
a) Hoành độ giao điểm của
2
( ) : P y=x và là nghiệm
của phương trình:
(d): y=2-x
x =2-x
x=-2 (loại)
⎡
⎣
2 2
ox
V = π∫ x dx+ π ư
1
x=
Ta có: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2
⇒ Công thức tính thể tích:
2 )
x dx
∫
Thể tích của vật thể là:
8 (đvtt) 15
ox
V = π
b) Hoành độ giao điểm của
3
x
nghiệm của phương trình:
(d): y=7-2x
x=3 3
2
⎡
⎢
⇔
⎢
⎢⎣
Ta có: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2
⇒ Công thức tính thể tích:
2
3
.dx
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
(7 2 )
ox
V = π∫ ư x dxư π∫
Thể tích của vật thể là:
185 (đvtt)
2
ox
V = π
2 Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng nằm về hai phía của trục Ox khi quay quanh Ox
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh Ox: y= sin ; Ox; x=0; x=2 x π
Bài giải:
Ta có: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ Công thức tính thể tích là:
2
2 2
0 2
2 0
ox
x dx
π π
π
∫
dx
Trang 8⇒ Thể tích của vật thể là: V ox = π 2 (đvtt)
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục Ox, hình phẳng này có một phần nằm trên và một phần nằm phía dưới trục Ox, và ta thấy rằng công thức thiết lập ở phần I vẫn còn đúng
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh Ox: x2 + y2 = 8; y2 = 2 x
Bài giải:
Hoành độ giao điểm của ( ) : 8C x2 +y2 = và (P): y =2x 2 là nghiệm của phương trình:
2
2
2 (loại)
2 (loại)
x x
Ta có: do tính đối xứng của (C) và (P) khối tròn xoay quay bởi S là khối tròn xoay quay bởi S1∪S2 ⇒ V=V1+V2
Trang 9Người thực hiện: Nguyễn Đông Bắc
⇒ Công thức tính thể tích là:
2
2
= 2 8
ox
π + π ư
dx
⇒ Thể tích của vật thể là: 16 8 28 (đvtt)
3
ox
V = ư π
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần đối xứng nhau qua trục Ox,
khối tròn xoay tạo thành có được bằng cách quay một phần quanh trục Ox
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh Ox: y = ư 3 x ; y = ư 1; 1; 3 x = x = ; y2 = 2 x
Bài giải:
S gồm 2 phần S1 nằm phía trên và S2 nằm phía dưới Ox Đối xứng của đường
qua trục Ox là đường
1
= ư
xoay tạo thành là khối tròn xoay quay bởi ⇒ V=V1+V2
' 2 S '
1
Hoành độ giao điểm của y= 1 và y=3-x là nghiệm của phương trình:
3 ư = ⇔ =x 1 x 2
⇒ Công thức tính thể tích là:
2
ox
V = π∫ ưx dx+ π∫dx
⇒ Thể tích của vật thể là: 10 (đvtt)
3
ox
V = π
Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần phần S1 nằm phía trên và S2 nằm phía dưới trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay tạo thannhf ta tiến hành
Trang 10lấy đối xứng S2 lên phía trên được và kết luận khối tròn xoay tạo thành do
hình phẳng quay quanh Ox và đưa bài toán về dạng quen thuộc
' 2 S '
1
3 Các bài tập tương tự
Bài 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau khi quay quanh Ox:
a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2
b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4
c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2
d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2
e) y = xex; y = 0; x = 0; x = 1
f) y= x lnx; y = 0; x =1; x = e
g) y = 4x ; y = 0; x = 1; x = 4 h) y = 2x, y = – x + 3, Ox
i) y = x2, y = 2 – x, Ox j) y = x2 ,y = 2 – x, Oy
k) y = 3x , y = – 2x + 7 l) y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2
Bài 2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau khi quay quanh Ox:
a) y = 3x – x2; y = 0 b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1
d) y = 4x ; y = – x + 5 e) y = 2x ; y = – x +3; y = 0
g) y = x2; y = 2 – x; y = 0 (phần nằm ngoài y = x2)
h) y = x2; y = 10 – 3x; y = 1 (phần nằm ngoài y = x2)
IV Kết quả so sánh đối chứng:
Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành cho
học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài tương tự kết quả thu được như sau:
Số HS giải thành thạo Số HS không giải thành thạo
34 3 92% 8%
Qua bảng số liệu thu được ta thấy đề tài đã có tác dụng định hướng cho học
sinh trong quá trình giải bài toán tính thể tích khối tròn xoay Các em không còn
lúng túng khi phải xác định công thức tính thể tích mà đã có nhìn nhận bài toán
đúng đắn hơn, tổng quát hơn Đề tài đã cho kết quả tốt đối với học sinh lớp được
lựa chọn
V Các kiến nghị sau khi thực hiện đề tμi:
Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến
thức tương đối đơn giản, tư duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các
học sinh từ trung bình, hiệu quả của đề tài tương đối tốt Tôi đề nghị các thầy cô
dạy khối 12 cố gắng dành một tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề này
Trang 11Các tài liệu tham khảo chính:
01 SGK Hình học 12
02 SGK Giải tích 12
03 Tuyển tập các phương pháp tính tích phân- Trần Phương
Hoài Đức, tháng 05 năm 2009 Người thực hiện:
Nguyễn Đông Bắc
VI đánh giá của hội đồng thẩm định:
Người thực hiện: Nguyễn Đông Bắc