Hình học không gian - Chủ đề: Thể tích khối đa diện

Giải: Do ABCD là tứ diện đều nên AB=AC=AD  HB=HC=HD vậy H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Do tam giác BCD đều nên H vừa là tâm đường trịn ngoại tiếp v cũng l trực tm của tam g[r]

B

A

D

C S

B

C A

I O

Gv: Đỗ Trung Nghĩa

1 Thể tích khối chĩp

 VChóp 1.S

3 Đáy Chiềucao

 S =Tổng diện tích các mặt bên, S =S +Sxq tp xq đáy

2 Thể tích khối lăng trụ:

 VLăngtrụ=S Chiều caođáy

 S =Tổngdiện tích cácmặt bên, s =S +2S xq tp xq đáy

3 Cơng thức diện tích và thể tích khối cầu:

4 2;  4 3

3

R

4 Diện tích xung quanh của hình nĩn trịn xoay: Sxq rl

5 Thể tích của khối nĩn trịn xoay: 1 2

3

V   r h

6 Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq2 rl

7 Thể tích của khối trụ trịn xoay: V  r h2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SAABCD SA AC,  Tính thể tích khối chĩp S.ABCD

Giải:

(AC là đường chéo hình vuơng cạnh a) 2

SA AC a 

2 2

a

Bài 2: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung

điểm cạnh BC

a Chứng minh: BC vuơng gĩc mp(SAI)

b Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Giải:

a Tam giác SBC cân tại S,

I là trung điểm BC, Suy ra: BCSI

Tam giác ABC đều, Suy ra: BC AI

Vậy : BC(SAI)

b

3

a SO

M

Với

2

ABC

a

2

2

2

SO SA OA a   SO

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tích khối trụ

Giải

2

4

ABC

a

Bài 4: : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,

BC = 2a, SAABC SB a,  2

a Tính thể tích khối chóp S.ABC

b Khi quay tam giác SBC quanh cạnh BC thì đường gấp khúc CSB tạo thành hình nón Tính Sxq, Stp, thể tích khối nón

Giải

a SA

b Tam giác SBC vuông tại B SC a 6

2

1

;

3

s   

r SB a  l SC a  h BC  a

Bài 5: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đường tròn đáy tâm O, đường sinh l = a, góc hợp bởi

đường sinh và mặt phẳng chứa đường tròn đáy là Tính theo a

4



,

xq tp

S S

Giải

SM = l = a

2 cos

2

SM

2

xq

a rl

S  

2

tron

r

S





Bài 6: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết rằng AC = AD =

4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính thể tích tứ diện ABCD

Giải

3

(Vì tam gic ABC vuơng tại A- do BC2 = AC2 + AB2)

S

A

B

C

A

A’

C

C’

+

C

B

S

o

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Bài 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450 Tính thể tích

khối chóp S.ABCD

a

V  Bh B a h SH   AH 

Bài 2: Cắt 1 khối trụ trịn xoay bằng 1 mặt phẳng qua trục của khối trụ đó ta được một hình

vuông cạnh a Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó

ĐS: r = a/2, l = a.

Bài 3: : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 300

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Hình chung cho bài 1

H

Bài 4: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng

a

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón

b Tính thể tích khối nón tương ứng

a

2

2

2 1

;

a

a

S  S S S   

;

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tích lăng trụ và diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ theo a

ĐS Gọi O, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A’B’C’ thì tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là trung điểm I của OO’ Bán kính :

        

 

Diện tích mặt cầu:

2

4

3

a

Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a

S

B

A

D

S

B A

a) Tính thể tích tứ diện theo a.

b) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp-nội tiếp tứ diện ABCD

Giải:

Do ABCD là tứ diện đều nên AB=AC=AD

 HB=HC=HD vậy H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD

Do tam giác BCD đều nên H vừa là tâm đường trịn ngoại tiếp v cũng l

trực tm của tam gic BCD

Tam giác AHB vuông tại H nên AH2 AB2BH2

Vì H là trực tâm của tam giác BCD  2 3 3

2

a

12

ABCD

a

b) Do IJ là đường trung tuyến và cũng là đường trung trực của tam giác AJB nên GA=GB với G là trung điểm của IJ

Tương tự GC=GD do IJ là đường trung trực của tam giác ICD

Mặt khác AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên GB=GC=GD

Vậy GA=GB=GC=GD, hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp 3 6

a

RAG AH  Thể tich khối cầu ngoại tiếp :

Bốn tứ diện GABC; GACD; GABD; GBCD bằng nhau

Bốn đường cao kẻ từ G của bốn tứ diện bằng nhau

Vậy G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

a

r GH  AH 

3

3 3.12

MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHẦN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Đề TN năm 2006 (2điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3

1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Đề TN năm 2007: (1đ5)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC

G A

B

C

D H

I

J

Đề TN năm 2007 lần 2: (1đ5)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a cạnh bên SA vuông góc với

đáy và SA=AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Đề TN năm 2008(2đ).

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm

của cạnh BC

1) Chứng minh SA vuông góc với BC

2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Đề TN năm 2008 lần 2(2đ).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc

mp(ABC) Biết AB = a, SA = 3a, BC =

1 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

2 Goi I là trung điểm SC Tính độ dài BI theo a

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009

Môn thi: TOÁN

-Thời gian làm bài: 150 phút , không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI THAM KHẢO -Phần chung cho tất cả thí sinh ( 7,0 điểm )



Câu 1 ( 3,5 điểm )

Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 , có đồ thị là ( C )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 3

Câu 2 ( 3 điểm )

1 Giải phương trình sau : log (3 1)log (3 2 9) 6

3

2 Tính tích phân I =

0

e dx (e +1)



3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x -36x +2 trên đoạn 4 2 1;4

Câu3 (1điểm)

Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy góc giữa cạnh bên

và mặt đáy bằng 60 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a 0

II: Phần riêng:(3 điểm)

(Thí sinh học chương trình no thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó(phần 1

hoặc phần 2)

1.Theo chương trình chuẩn

Bài 4a : (2 đ )

Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng ( P ) có phương trình

( P ) : 2x + y -z - 6 = 0

1 Tìm hình chiếu vuơng gĩc của điểm A(1;1;1) lên mặt phẳng ( P )

2 Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng ( P )

Câu 5a ( 1 điểm )

Tính môđun của số phức x = 2- 3i – ( 3+ i ) 2

2.Theo chương trình nâng cao

Câu 4 b( 2 điểm )

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( d ) có phương trình và

x 1 2t

y 2 t

z 3 t

  



  



  

 mặt phẳng ( P ) có phương trình x – 2y + z + 3 = 0

a) Tìm tọa độ giao điểm A của ( d ) và mặt phẳng ( P )

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ( d ), bán kính bằng 6, tiếp xúc với ( P )

Bài 5b: (1 điểm)

viết dạng lượng giác của số phức z=1- 3i

KỲ THI TỐTNGHIỆPTRUNG HỌC PHỔ THÔNGNĂM2009

Đáp án môn thi: TOÁN (ĐỀ THI THAM KHẢO)

Câu 1 (3,5 điểm) a) ( 2,5 điểm )- Tập xác định R - Sự biến thiên: + Giới hạn: lim ; lim x y x y       + Bảng biến thiên: Chiều biến thiên: y’ = 3x2 – 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2 x  0 2 

y ‘ + 0 0 +

y 2 

- 2

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0) và (2;), hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 2, Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2 - Đồ thị : vẽ đúng, có bảng giá trị đặc biệt

y

- 1 O 1 2 3 x

- 2

b) ( 1 điểm ) Khi x = 3, ta có y = 2 y’( 3 ) = 9

Phương trình tiếp tuyến cần tìm l : y = 9( x – 3 ) + 2 = 9x - 25

0,25 0,25 0,25

0,75

0,25 0,25

0,5

0,25 0,25

Câu 2

(1điểm) 1.(1điểm)Do 3x > 0 với mọi x, nên phương trình đ cho xc định với mọi x

Ta có

) 1 3 ( log

6 ) 1 3 ( 3 log ) 1 3 ( log

6 ) 9 3 ( log ) 1 3 ( log

3

2 3 3

2 3 3

2 3 3























x x

x x

x x

Đặt t = log3(3x 1)log310 ta có phương trình



































7 1

7 1 0

6 2 6

) 2

t

t t

t t

t

Từ điều kiện t > 0 ta có

) 1 3

( log 3

1 3 7 1 ) 1 3 (

3 7

1

Vậy phương trình đ cho cĩ nghiệm l : log (3 1 7 1)

x

2.(1điểm) Đặt t = ex +1, suy ra dt = exdx Khi x = 0 thì t = 2, khi x = ln2 thì t = 3

I =

3 2 2

dt t



=

3 3

-2

t dt =

-t 6



3.(1 điểm) f(x) = x - 18x +2 trên đoạn 4 2 1;4

f ‘(x) = 4x3 36x = 0

































) ( 4

; 1 3

4

; 1 3

4

; 1 0

loai x

x x

f(0) = 2 f(3) = -79 f(-1) = -15 f(4) = -30

 1 ; 4 

2 ) ( max

f

 1 ; 4 

79 ) ( min

x 

f

0,25 0,5

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

o,5

0,25

o,25

Câu 3

(1 điểm)

Do SABCD l hình chĩp đều nên ABCD là hình vuơng cạnh a  SABCD = a2 ( đvdt)

Gọi O = AC  BD  SO là đường cao và góc giữa cạnh bên SA và đáy là



SAD

Trong tam giác SOA ta có SO = AO tan 600 = 3=

2

2

a

2

6

a

Thể tích khối chóp S.ABCD là

6

6 2

6 3

1 3

a a SO

0,25

0,25 0,5

Câu 4 a

( 2 điểm ) A(1;1;1) n (2;1; 1)

1 2

1

x t

y t t R

z t

 



   



  

 Thay t vào pt mặt phẳng tìm được t = 2/3 H(7 5 1; ; )

3 3 3 d(O; p) = 2.0 0 0 6 6

4 1 1

  



 

0,25 0,5 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu 5 a :

( 1 điểm) x = 2 – 3i - (3 + i)

2 = 2 – 3i – ( 9 + 6i +i2)

x = -6 – 9i



117



 x

0,25 0,25 0,5

Câu 4b

( 1điểm )

a) Tọa độ giao điểm A của ( d ) và mp ( P ) là nghiệm của hệ :

y 2 t

z 3 t

x 2y z 3 0

  



  



  





y 2 t

z 3 t

1 2t 2(2 t) 3 t 3 0

  



  





 Suy ra x = 1, y = 3, z = 2 Vậy A( 1, 3, 2 )

b) Gọi I là tâm của mặt cầu, I thuộc ( d ) nên tọa độ của I có dạng:

I(- 1 + 2t; 2 + t; 3 – t) Mặt cầu tâm I có bán kính bằng 6 tiếp xúc với mp ( P )  d( I, (P) ) = R hay   t 1 6





    Suy ra I( 13; 9; -4 ) hoặc I( - 11; - 3; 8 )

Vậy phương trình của mặt cầu cần tìm là:

( x – 13 )2 + ( y – 9 )2 + ( z + 4 )2 = 6 hoặc ( x + 11 )2 + ( y + 3 )2 + ( z - 8 )2 = 6

0,25

0,25 0,5

0,25

0,25

0,5

Câu 5 b

( 1 điểm) z = 1 3i2(21 23i)2(cos(3)sin(3)i) 1,0