Bài tập: Ghi nhớ: Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.. Nếu hàm số dưới dấu tích[r]
Trang 1ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Năm học 2008 – 2009
BAN CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I Kiến thức trọng tâm:
1 Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
a Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm Bảng nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản Phương pháp đổi biến số Tính nguyên hàm từng phần
b Định nghĩa và các tính chất của tích phân Tính tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân
c Diện tích hình thang cong Các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân
2 Các dạng toán cần luyện tập:
a Tính nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần
b Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm
c Tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tích phân từng phần
d Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân
e Tính diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhận trục hoành, nhận trục tung làm trục nhờ tích phân.
II Phương pháp:
Thuyết trình, vấn đáp, phát huy tính tích cực của học sinh
Chia nhóm thảo luận
III Nội dung:
A Nguyên hàm:
1) Định nghĩa :
Hàm số F x gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên a b, nếu
.
F x f x x a b
Ghi nhớ : Nếu F x là nguyên hàm của f x thì mọi hàm số có dạng F x C ( là C
hằng số) cũng là nguyên hàm của f x và chỉ những hàm số có dạng F x Cmới là nguyên hàm của f x Ta gọi F x C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f x và
ký hiệu là f x dx
Như vậy: f x dx F x C
2) Tính chất:
a.TC1: kf x dx k f x dx k ; 0
Trang 2b.TC2: f x g x dx f x dx g x dx
c.TC3: Nếu f x dx F x C thì f u du F u C
3) Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ a, b a 0:
dx ln ax b C
ax b a
1
1 1
x dx x C, e dx e x xC
a
a
cos
dx tgx C x k
x
1
a
sin
dx gx C x k
1
2
cos
dx tgx C x k
a ax
dx ln x C x,
sin
dx gax C x k
a ax
B Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính:
a)(4x25x10)dx b) 2 2 3
1
dx x
2 sin
x
x e dx
x
dx x
e) cos3x.sinxdx f) xln(1x dx)
Hướng dẫn và đáp số:
a) (4x25x10)dx = 4 3 5 2 10
3x 2x x C b) 2 2 3 =
1
dx x
x
x
c) (5cos 4 2 ) = 5sinx + 4cot2x + e2x + C
2 sin
x
x e dx
x
1
d) Đặt u = 4x + 1 du = 4dx
dx du
u C x C
x u
Trang 3cos3 sin 3 4 cos4
x xdx u du C C
f) Đặt u = ln(1 + x) du = 1
1dx
x
dv = xdx v = 2
2
x
Vậy: ln(1 ) 2ln(1 ) 1 2
x
2ln(1 ) 1 1 1
x
x
2ln(1 ) 1 2 ln( 1) + C
x x x
Bài 2: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = (1 – 2x)3 b) f(x) = 2 x x e3.3x 3x2 c) f(x) =
x
cos 2
x
d) f(x) = (tanx - cotx)2 e) f(x) = ex(2 – e-x) f) f(x) = 1 cos2
1 cos 2
x x
g) f(x) = tanx h) f(x) = 2 3 52 i) f(x) =
10
x x x x
3 4ln x
x
Bài 2: Cho hàm số ( ) sin2 Tìm một nguyên hàm của f(x) biết rằng
2
x
f x
F
Bài 3: Cho hàm số và hàm số Chứng minh rằng F(x) là nguyên
2
( )
1
x
f x
x
2
F x x hàm của f(x)
C TÍCH PHÂN :
1) Định nghĩa: b b a
a
f x dx F x F b F a
2) Tính chất:
a TC1: b a
f x dx f x dx
b TC2: b b ( 0)
kf x dx k f x dx k
c TC3: b b b
f x g x dx f x dx g x dx
d TC4: b c b
f x dx f x dx f x dx
Trang 4e TC5: Nếu f x 0, x a b; thì b 0
a
f x dx
f TC6: Nếu f x g x , x a b; thì b b
f x dx g x dx
g TC7: Nếu m f x M x, a b; thì b
a
m b a f x dx M b a
3) Bài tập:
Ghi nhớ:
Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc
của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ
D Một số bài tập vận dụng:
Bài 4: Tính các tích phân sau:
2
4
2
1
x dx
x
0
3 1
x
e dx x
0
1
2x 1dx
0
1
1 cosx dx
2 2 0
I x x dx 1 2
0
1
x x dx
5
4
7
0
sin
cos
x
dx
x
2 2 2
1 1
x dx x
4
2
0 sin 2cos
dx
Hướng dẫn câu i:
4
dx
x x
1
2 0
1 6 2
dt
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
1
2
1
x
dx
x
2 4
2 0
4 tan 4 tan 1 cos
x x
dx x
11 1 6
x dx x
d) e) f)
ln
3ln 1
dx
1 0
x x dx
0
sin
(e x cos ) cosx xdx
0
x dx
0
1
2 5dx
x
Bài 6: Tính các tích phân sau:
Trang 5d) 2 e) f)
0(x1)sinxdx
0
3x
xe dx
0
x e dx
E Diện tích, thể tích:
1) Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và trục hoành Khi đó, diện tích
hình (H) là:
( )
b
S f x dx a
2) Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b Khi đó, diện tích hình (H) là:
(*)
1( ) 2( )
b
S f x f x dx a
Chú ý: Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Muốn vậy ta giải phương trình f1(x) – f2(x) trên đoạn a; b Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d) Khi đó, f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn a c; , c d; , d b; Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn a c; ta có:
1( ) 2( ) c 1( ) 2( )
c
3) Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi đồ thị hàm số y = f(x), đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
2( )
b
V f x dx a
F Bài tập:
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x2 – 4x + 3 và trục hoành
b) y = lnx, x = e và y = 0
c) y = (x2 – 1)(x + 3) và trục hoành
d) x = 0; x = 1; y = 0; y = x4 + 3x2 + 3
e) y = x2 + 1; x + y = 3
f) xy = 4; y = 0; x = a; x = 3a (a > 0)
g) y = ex; y = e-x; x = 1
h) ; ; y = 0; y = cosx
2
x x
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol: y = x2 – 2x + 2, tiếp tuyến với
nó tại điểm M(3; 5) và trục tung
Bài 9: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Ox:
a) y = x3, y = 0, x = 0, x = 1
b) y = sinx, y = 0, x = 0, x2
c) y = 0, y = 1 – x2
d) x = 0, , y = sinx + cosx
2
x
e) x = 1, x = 3, y = 0, y 3
x