Giáo án Đại số 11 chuẩn - Chương v: Đạo hàm

TIEÁN TRÌNH BAØI HOÏC: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ Yêu cầu 1 học sinh lên bảng ghi các qui tắc tính đạo hàm GV kiểm tra, đánh giá Hoạt động 2: Dẫn dắt khái niệm GV cho x một số giá trị [r]

Chương V: ĐẠO HÀM

Tiết 64+65+66 § 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

I MỤC TIÊU:

1 Về kiến thức: giúp học sinh:

 Hiểu rõ định nghĩa đạo hàm tại một điểm;

 Hiểu rõ rằng đạo hàm của 1 hàm số tại 1 điểm là 1 số xác định;

 Nắm vững ý nghĩa hình học, vật lí của đạo hàm;

 Hiểu rõ mối quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

2 Về kỹ năng:

 Tính được đạo hàm của hàm lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc bậc 3 theo định nghĩa;

 Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm thuộc đồ thị;

 Biết tìm vận tốc tức thời tại 1 thời điểm của 1 chuyển động có phương trình s = s(t)

3 Về tư duy, thái độ:

 Cẩn thận, chính xác

 Xây dựng bài một cách tự nhiên chủ động

 Toán học bắt nguồn từ thực tiễn

II CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:

III GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

 Phương pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy

 Đan xem hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG :

1 Kiểm tra bài cũ và dạy bài mới:

Hoạt động của GV và HS Nội dung cơ bản

Hoạt động 1:( dẫn dắt khái niệm )

- Chia nhóm và yêu cầu HS nhóm 1, 3 tính vận

tốc trung bình của chuyển động còn HS nhóm 2,

4 nhận xét về những kết quả thu được khi t

càng gần to = 3

- Đại diện nhóm trình bày

- Cho HS nhóm khác nhận xét

- GV: Nhận xét các câu trả lời của HS, chính

xác hoá nội dung

vTB =

o

2 o 2

t

t

t

t  = t + to

to = 3 ; t = 2 (hoặc 2,5 ; 2,9 ; 2,99)

 vTB = 2 + 3 = 5 (hoặc 5,5 ; 5,9 ; 5,99) Nhận xét : t càng gần to = 3 thì vTB càng gần 2to = 6

a) Bài toán tìm vận tốc tức thời

- Trong khoảng thời gian từ to đến t, chất điểm

đi được quãng đường nào ?

- Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số

o o o

o

t

-t

) S(t

-S(t)

t

-t

S

-

- Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ

số trên là gì ?

- Nhận xét về tỉ số trên khi t càng gần to ?

b) Bài toán tìm cường độ tức thời

(SGK trang 147, 148)

- Yêu cầu HS nhận xét các bài toán trên có đặc

điểm gì chung ?

- GV nhận xét câu trả lời của HS Chính xác

hoá nội dung

I Đạo hàm tại 1 điểm:

1 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm:

a) Bài toán tìm vận tốc tức thời : (sgk)

V(to) =

o

o

t

-) S(t -( lim

t

t S o

t

t

b) Bài toán tìm cường độ tức thời

I(to) =

o

o

t

-t

) Q(t -) ( limQ t

o

t

t

Hoạt động 2 : Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

- Yêu cầu HS đọc SGK trang 148 phần định

nghĩa đạo hàm tại một điểm

- Gợi ý cho HS cách dùng đại lượng x, y

2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

Định nghĩa trang 148 SGK

0

0 0

0

x x

f x

x x







 Chú ý (trang 149 SGK)

Hoạt động 3 : Cách tính đạo hàm bằng định

nghĩa

- Chia nhóm và yêu cầu HS tính y’(xo) bằng

định nghĩa

- Yêu cầu HS đề xuất các bước tính y’(xo)

- Đại diện nhóm trình bày

- Cho HS nhóm khác nhận xét

- GV nhận xét các câu trả lời của HS, chính xác

hoá nội dung

- Yêu cầu HS vận dụng kiến thức học được làm

VD1

- Nhận xét bài làm của HS chính xác hoá nội

dung

(Hết tiết 1)

3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc trang 149 SGK

VD1: Tính đạo hàm của hàm số   1

f x

x

 tại điểm x0 2

và tính liên tục của hàm số:

Định lí 1: (sgk)

VD: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =

- Gọi một học sinh thực hiện giải phần a)

- Hướng dẫn học sinh giải phần b)

- Ôn tập điều kiện tồn tại giới hạn

- Uốn nắn cách biểu dạt của học sinh

- Đặt vấn đề:

Một hàm số liên tục tại điểm x0 thì tại đó hàm

số có đạo hàm không ?

2

x nÕu x 0

x nÕu x < 0



nhưng không có đạo hàm tại điểm đó Giải:

xlim f(x)0 xlim x0 0

 

xlim f(x)0 xlim x0 0

cho liên tục tại x = 0

Mặt khác

2

không có đạo hàm tại x = 0

Chú ý: (sgk trang 150)

Hoạt động 2 :

Cho hàm số y = f(x) = 1 2và đường thẳng

x 2 d: x - Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) 1

2

và đường thẳng d trên cùng một hệ trục tọa độ

Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường

thẳng này với đồ thị của hàm số y = f(x)

- HS: Nhận xét được đường thẳng dtiếp xúc với

đồ thị của hàm f(x) tại điểm M( 1; )1

2

- GV thuyết trình khái niệm tiếp tuyến của

đường cong phẳng

GV: Tổ chức cho học sinh đọc, nghiên cứu thảo

luận theo nhóm

HS:

- Đọc thảo luận theo nhóm được phân công

- Nêu ý kiến của cá nhân, nghe giải đáp

- Giải đáp thắc mắc trước lớp

Chú ý: trong đl2 ko được quên giả thiết là hàm

số y = f(x) có đạo hàm tại x0

GV: Hãy viết pt đường thẳng đi qua M0( x0; y0)

5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

a) Tiếp tuyến của đường cong:

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Định lí 2: (sgk trg 151)

và có hệ số góc k.

HS: yk x x0y0

Yêu cầu hs làm hđ5

Kq: y' 2  1

(Hết tiết 2)

Định lí 3: (sgk trang 152)

VD: Cho (P): 2 Viết pttt của

y  x x (P) tại điểm có hoành độ x0 2

Hoạt động1 :

HS: Đọc và nghiên cứu nội dung về ý nghĩa Vật

lý của đạo hàm trang 177 - SGK

Nêu ý kiến của cá nhân, nghe giải đáp

6 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

a) Vận tốc tức thời: (sgk)

v t 0 s t' 0

b) Cường độ tức thời: (sgk)

I t 0 Q t' 0

Hoạt động 2 :

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các

hàm số:

a) f(x) = x2 tại điểm x bất kì

b)   1 tại điểm bất kì

g x

x

- Hs lên bảng làm HS khác nhận xét

- GV nhận xét, chỉnh sửa

Từ đó GV đi vào định nghĩa:

II - ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG:

Định nghĩa: (sgk trang 153) VD3: (sgk trang 153)

Hoạt động 3 : sửa bài tập

* Gọi học sinh lên bảng sửa các bài tập tương

ứng

*Học sinh trong 4 tổ thảo luận về lời giải của

các bạn và đưa ra nhận xét của tổ mình

*Gv nhận xét và sửa chữa các sai sót nếu có

2 Củng cố :

 Tính đạo hàm của hàm lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc bậc 3 theo định nghĩa;

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm thuộc đồ thị;

 Tìm vận tốc tức thời tại 1 thời điểm của 1 chuyển động có phương trình s = s(t)

3 Dặn dò:

o Làm các bài tập còn lại trong sgk trang 156-157

o Đọc bài đọc thêm: Đạo hàm một bên

o Soạn bài: Qui tắc tính đạo hàm

V RÚT KINH NGHIỆM:

Tiết 67+68+69 § 2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I MỤC TIÊU

1.Về kiến thức

-Biết được đh của 1 số hàm thường gặp

- Nắm được các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

-Biết thế nào là 1 hàm hợp, quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

2 Về kỹ năng.

- Sử dụng công thức tính được đạo hàm của các hàm số thường gặp, đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, đạo hàm của hàm hợp

-Làm được các bài tập trong sgk

3 Về tư duy, thái độ.

- Chính xác, khoa học, thận trọng

- Xây dựng bài tự nhiên, chủ động

-Toán học bắt nguồn từ thực tiễn

II CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC

Bảng ghi tóm tắt các quy tắc tính đạo hàm

III.GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

-Phương pháp mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy

- Đan xen hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1.Kiểm tra bài cũ

HD1:

GV: Chia lớp làm 4 nhóm 2 nhóm làm 1 bài

sau đó kiểm tra chéo GV theo dõi sửa chữa

HS: thực hiện theo nhóm

Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=x2 b) y= x3

2 Bài mới.

HD2:

GV: Dựa vào kết quả ở bài cũ hãy dự đoán

đạo hàm của hàm số y=xn

HS: Thảo luận nhóm sau đó đưa ra kết quả

GV: Nhận xét và hướng dẫn hs chứng minh

(giống sgk)

GV: Hướng dẫn hs đưa ra nhận xét

HS: Hoạt động theo nhóm

Hàm số y= c: có y=f(x)- f(x0)= c-c=0

y 0  =0

x





x

y x

 



 Hàm số y=x: có y= f(x)-f(x0)= x+x-x=x

y=1  =1

x



x

y x

 



 GV: Yêu cầu hs dùng định nghĩa để tính đạo

I.ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP.

1 Định lý 1:

(nN*, n>1,x R)

Nhận xét:

(c)’ = 0 (c: hằng số) (x)’ = 1

2.Định lý 2

(xn)’=nxn-1

hàm của hàm số y= x (cả 4 nhóm cùng

làm)

HS: Làm việc theo nhóm

( kết quả: y’ = 1 )

2 x

GV: Theo dõi và hướng dẫn hs thực hiện sau

đó yêu cầu hs phát biểu định lý

GV: Yêu cầu hs thực hiện HD3 (sgk-tr.158)

( xR*)

HD3:

GV: Viết định lý lên bảng sau đó hướng dẫn

hs cm công thức (1)

Cho hs y=u+v Với số gia x của x

hãy tính: y, y,

x



 lim0

x

 

y x



 HS: Làm việc theo nhóm (tất cả các nhóm

cùng tính cả 3 biểu thức trên)

y =[(u+u) + (v+v)]-(u+v) = u+v

y = =

x





Δu+Δv

Δx

Δu Δv +

Δx Δx

0

lim

x

 

y

x



 lim0

x

 

Δu Δv +

Δx Δx = + = u’+v’

0

lim

x

 

u x



 lim0

x

 

v x





GV:Ghi ví dụ gọi hs lên bảng làm, theo dõi

và sửa chữa

HS: Làm bài và theo dõi bài làm trên bảng

để nhận xét

GV: Dựa vào ví dụ c) hãy dự đoán (ku)’=?

Từ đó chứng minh

II ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH,THƯƠNG.

1 Định lý.

a)Định lý

CM (sgk) Mở rộng:

b) Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y= x2-x5+ x b) y= x (x+x3) c) y= 3x2

Giải:

a)y’ = (x2-x5+ x )’= (x2)’-(x5)’+( x)’

= 2x-5x4+ 1

2 x b)y’ = ( x (x+x3))’

=( x)’(x+x3)+ x (x+x3)’

= 1 (x+x3)+ (1+3x2)

c) y’= (3x2)’=(3)’x2+3(x2)’= 6x

2.Hệ quả

Hệ quả 1:

1 ( ) '

2

x

x



Giả sử các hàm số u=u(x), v=v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng x xác định Ta có:

(u+v)’ = u’ + v’ (1) (u-v)’ = u’ – v’ (2) (uv)’= u’v+uv’ (3)

(v(x)≠0) (4)

2

( )'=

(u1  u2 … un)’=u’1  u’2 … u’n

(uvw)’= u’vw+ uv’w+ uvw’

(ku)’=ku’ (k hằng số)

HS: Làm việc theo nhóm, cho kết quả

GV: Từ công thức (4) cho u=1, hãy tính ( ) '1

v

HS: Làm việc theo nhóm,cho kết quả

GV: Dựa vào các kết quả trên đưa ra các hệ

quả 1 và hệ quả 2

GV: Gọi hs lên bảng làm, GV theo dõi hướng

dẫn và sửa chữa

HS: Làm và theo dõi bạn làm, nhận xét

GV: Cung cấp cho hs cách tính nhanh đạo

hàm của hsố dạng y=ax+b

cx+d

Hệ quả 2:

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số a) y = 42 b) y=

3x

1 4

x x



 Giải

a) y’= ( 42 )’=4 ( )’= - 4

1 3x

2

2 2

(3x ) ' (3x ) = 244 =

9

x x

3x



b) y’=(2 3)’

1 4

x x



 = (2 3) '(1 4 ) (22 3)(1 4 ) '

(1 4 )

x

 = 14 2

(1 4 ) x

HD4

GV: Đặt vấn đề: Tính đạo hàm của hàm số:

y= (x2+1)3 ta làm như sau:

Hàm số có dạng y=xn nên

y’ = 3(x2+1)2

Hỏi kết quả trên đúng hay sai?

Có thể cho hs kiểm tra bằng cách khai triển

(x2+1)3 sau đó tính đạo hàm của nó Đối

chiếu với kết quả tính được ở trên

HS: Làm việc theo nhóm theo sự hướng dẫn

của GV (Kết quả sai)

GV: Đặt vấn đề tìm cách làm đúng, từ đó đưa

ra khái niệm hàm hợp

GV: Gọi hs đọc đlý

III.ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

1 Hàm hợp

(a;b)  (c;d)  R

x u= g(x) y=f(u)

a)Định nghĩa (sgk) b)Ví dụ:

Hàm số y=(x2+1)3 là hàm hợp của hàm số y

=u3 với u =x2+1 Hàm số y = 2 là hàm hợp của hàm số

3x 2

y = u với u=3x2

2 Đạo hàm của hàm hợp a) Định lý

(v =v(x)≠0)

2

(

y = f(g(x))

Nếu hàm số u=g(x) có đạo hàm tại x là u’x và hàm số y =f(x) có đạo hàm tại u là y’u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là:

y’x= y’u.u’x

b) Ví dụ:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau a) y=(x2+1)3 b) y = 2

3x 2

Giải

a) Đặt u=x2+1  y = u3

u’x= 2x ; y’u=3u2 = 3(x2+1)2

y’x =3(x2+1)2.2x = 6x(x2+1)2

b) Đặt u = 3x2+2  u’x=6x

y = u  y’u= 1 =

1

2 3x +2

2

1

3x 3x +2 Chú ý:

BÀI TẬP

GV: Gọi hs lên bảng làm, sau đó nhận xét

HS: Theo dõi , nhận xét 2.a) y’ = 5x4-12x2+2

b) y’ =-2x3+2x-1

3 c) y’ =2x3-2x2+ 8

5x d) y’ = -63x3+120x4

GV: Yêu cầu hs nhận dạng của h số.Gọi hs

lên bảng làm, sau đó nhận xét

HS: Theo dõi , nhận xét

3.

a) y’= 3(x7-5x2)’(x7-5x2)2 =3(7x6-10x) (x7-5x2) b) y’ = 4x(1-3x2)

c) y’ = 2(2 2 1)2 (Bài d) tương tự)

x x

 e) y’ = 3(m+ )’ (m+ )2

2

n

n x

= 2

(u )'=n.u'.u ; ( u )'=

2 u

GV: Gọi hs lên bảng làm, sau đó nhận xét.

HS: Theo dõi , nhận xét

Bài c) có thể tính ( 2 2 trước sau đó thay

a -x ) ' vào

4

a) Ta có (x x )’ = x’ x +x( x )’ = x

2 x

3 x 2 Vậy y’ = 2x - 3 x

2

2

(2-5x-x )'

2x+5

2 2-5x-x



2 2 2

(x )' a -x -x ( a -x )'

( a -x )

=

2 2

2 2 2 3

2 2

2 2 2

(a -x ) ' 3x a -x -x

2 a -x ( a -x ) = 2 2 2 4

2 2 3

3x (a -x )+x ( a -x ) = 2 2 2

2 2 3

x (3a -2x ) ( a -x ) d) Tương tự bài c) y’ =

3

3-x

2 (1-x )

GV: Gọi hs lên bảng làm, sau đó nhận xét

HS: Theo dõi , nhận xét 5.Ta có y’ = 3x2 – 6x

a) y’>0  3x2 – 6x > 0  x<0 v x>2 b) y’ <3  3x2 – 6x <3

 3x2 – 6x -3 <0  1 2  x 1 2

3 Củng cố:

- Công thức tính đh của 1 số hàm thường gặp

- Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

- Hàm hợp, quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

4 Dặn dò

Tiết 70-71 § 3 ĐẠO HÀM CỦA SỐ LƯỢNG GIÁC

I MỤC TIÊU BÀI HỌC

1 Kiến thức:

Giúp học sinh biết được và biết được đạo hàm của các hàm số lượng giác

0

sin

x

x x

2 Kĩ năng:

+ Biết vận dụng trong một số giới hạn dạng đơn giản

0

sin

x

x x

0 + Tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác

3 Tư duy và thái độ:

Xây dựng tư duy logic, linh hoạt, suy luận, tính toán

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH :

+ Giáo viên : Máy tính, thước kể, SGK

+ Học sinh : thước kẻ, máy tính, bảng phụ

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

Gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm đan xen

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

Yêu cầu 1 học sinh lên bảng ghi các qui tắc tính đạo hàm

GV kiểm tra, đánh giá

Hoạt động 2: Dẫn dắt khái niệm

GV cho x một số giá trị dương và gần với 0 yêu cầu học

sinh tính sinx

x

sin 0,01

0,01

x

x

sin 0,001

0,001

x

x

sin 0,00001

0,00001

x

x

Yêu cầu học sinh điền vào các dấu hỏi

GV có nhận xét gì về giá trị sin x khi x dần về 0

x

=> Từ đó nêu định lí

GV đưa ra thực hành mở rộng

Nếu ( ) 0,u x   x 0,lim ( ) 0u x 

x 0

thì

0

sin ( )

( )

x

u x

u x

Hoạt động 3: Hoạt động nhóm

Cho 4 nhóm (4 tổ) làm 4 bài tập

a b

0

sin 2

lim

x

x

x



2 2 0

sin lim

x

x x



1 Giới hạn

0

sin lim

x

x x



* Định lý:

0

sin

x

x x

*

0

sin ( )

( )

x

u x

u x

c 2 c

0

1 cos

lim

x

x

x





0

tan lim

x

x x



GV sửa bài, học sinh ghi nhận vào vở

Hoạt động 4: GV hướng dẫn dắt cm định lí

GV đưa ra t/hợp u=u(x) => học sinh đưa ra (sinu)’=?

Cho học sinh giải các ví dụ :

Tính đạo hàm các hệ số sau”

4

học sinh sửa bài

Hoạt động 5: Tìm đạo hàm hệ số

2

yêu cầu 1 học sinh tính và y’=-cos(II –x) = sinx

GV : liên hệ gì giữa sin( ) và cosx ?



 Từ đó học sinh phát hiện ra (cosx)’=-sinx

=> Đưa ra định lí

* Tương tự yêu cầu học sinh viết công thức đạo hàm sau:

(cosu’) =? Nếu u=u(x)

yêu cầu học sinh tìm ví dụ:

GV dẫn dắt dùng qui tắc tính đạo hàm

Hoạt động 6: Xây dựng đạo hàm của hàm số

y = tanx

Tìm đạo hàm của hàm số

sin

( )

cos

x

y f x

x

2

   

2 Đạo hàm của hàm số

y =sinx

* Định lý 2:

Hàm số y =sinx có đạo hàm tại mọi x  R và

* Lưu ý: (sinu)’=u’.cosu Nếu u = u(u)

Ví dụ:

4

4

2

rx

2

rx

3 Đạo hàm của hàm số y =cosx

Định lý:

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại

và

x R

 

VD: Tính đạo hàm

3

b cos( 2 )

1

y

x





4 Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lí 4:

Hàm số y =tanx có đạo hàm tại

(sinx)’ = cosx

(cosx)’=-sinx

Hướng dẫn học sinh dùng công thức tính đạo hàm thương

và đạo hàm của hàm sinx và cosx

* Lưu ý : (tanu)’ = 2'

cos

u u

Yêu cầu 2 học sinh lên tính 2 bài

GV sửa chữa

Hoặc hoạt động nhóm các tổ làm xen kẽ

Tổ 1 + 3: VDa

Tổ 2 + 4 : VDb

Hoạt động 7: Tìm đạo hàm của hàm số

2

  (x k  ,k Z)

(cho học sinh thời gian 3 phút và yêu cầu trình bày)

kết quả ' 12 =>

sin

y

x

sin

x

x



 học sinh phát biểu tương tự cho đạo hàm y=cotu(x)

và ,

2

    

VD: Tính đạo hàm

a, y = tan(x2 + 4)

b, y = xtan (3 – x2)

Định lí 5: hàm số y =cotx có đạo hàm tại mọi  x R k Z,  và

VD: Tính các đạo hàm

a, y = x.cotx

b, y = 5sinx – 3cosx

c, y 1 cos x

d, cos

1

x y

x





V CỦNG CỐ – DẶN DÒ:

- Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại công thức đạo hàm các HSLG và hệ thống lại trên bảng

- BTVN 3,4,5 SGK

Tiết 72 § 4 VI PHÂN

V MỤC TIÊU

1.Về kiến thức

-Nắm được định nghĩa vi phân của một hàm số

- Nắm được công thức tính giá trị gần đúng của một số áp dụng vi phân

2 Về kỹ năng.

- Tìm được vi phân của các hàm đơn giản

(tanx)’ = 12

cos u

(cotx)’ = 12

s

si x

