Bài giảng Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán - ĐH Phạm Văn Đồng

Các kết quả có thể khi phép thử được thực hiện gọi là các biến cố sơ cấp (hoặc các biến cố cơ bản). - Biến cố B được gọi là đối lập với biến cố A nếu và chỉ nếu A và B là hai biến cố x[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG

KÊ TOÁN

NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG

KÊ TOÁN

Giảng viên : Võ Tuấn Thanh

NĂM 2015

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết xác suất và thống kê toán hiện là một môn học cơ bản, ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong khoa học kĩ thuật, giáo dục … Vì vậy tài liệu, giáo trình để tham khảo và học tập bộ môn này khá phong phú Mặc dù vậy đối với học phần “Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán” của chương trình cao đẳng sư phạm đào tạo giáo viên tiểu học chưa có giáo trình chính thống

So với yêu cầu chi tiết nội dung mà học phần mô tả, thì hầu hết các tài liệu và giáo trình hiện có chưa đáp ứng được vấn đề tự học, tự nghiên cứu của sinh viên ở bậc học này Để giúp sinh viên học tập học phần này theo phương thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ như hiện nay, chúng tôi biên soạn bài giảng “Nhập môn lí thuyết xác suất

và thống kê toán” trên cơ sở đề cương chi tiết, tham khảo nhiều tài liệu, nhằm tích cực hoá hoạt động, kích thích sự sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề cho người học

Bài giảng này tương ứng với thời lượng 30 tiết Nội dung gồm ba chương: Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Chương 3: Thống kê toán

Vì thời lượng chỉ gồm hai tín chỉ, yêu cầu người học chỉ tiếp cận ở mức độ nhập môn, hơn nữa nội dung được biên soạn cho sinh viên bậc cao đẳng ngành giáo dục tiểu học nên chúng tôi cố gắng diễn đạt các khái niệm và các kết luận dưới dạng ngôn ngữ giản dị, thích hợp với đối tượng Để có thể khai thác sâu hơn về kiến thức môn học này, người học có thể tham khảo thêm các tài liệu [1], [2], [3] và [4]

Đây là lần đầu tiên biên soạn bài giảng này với phương thức đào tạo theo hệ thống đào tạo tín chỉ, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót, chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và sinh viên trong nhà trường

Xin chân thành cảm ơn

TÁC GIẢ

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

A MỤC TIÊU

KIẾN THỨC:

Cung cấp cho người học những kiến thức về:

- Những khái niệm cơ bản về xác suất

- Một số phương pháp định nghĩa xác suất thường sử dụng

- Một số tính chất cơ bản của xác suất

- Các công thức tính xác suất độc lập, xác suất điều kiện, dãy phép thử Bécnuli

KĨ NĂNG:

Hình thành và rèn luyện cho người học kĩ năng:

- Giải các bài toán về xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất điều kiện…

- Vận dụng để xử lí các bài toán xác suất trong thực tế và nghiên cứu khoa học

THÁI ĐỘ:

Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của xác suất trong thực tế

B NỘI DUNG

1.1 Khái niệm về biến cố

1.1.1 Phép thử

Định nghĩa: Phép thử là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định (có thể được lặp lại vô số lần)

1.1.2 Biến cố

Trong đời sống hàng ngày ta thường gặp hai loại sự kiện: sự kiện ngẫu nhiên và

sự kiện tất yếu

Sự kiện tất yếu là sự kiện mà ta hoàn toàn biết được là nó xảy ra hay không xảy

ra

Sự kiện ngẫu nhiên là sự kiện mà ta không thể xác định một cách chắc chắn là

nó xảy ra hay không xảy ra, ta còn gọi là biến cố ngẫu nhiên Người ta thường kí hiệu các biến cố ngẫu nhiên là A, B ,

Sự kiện tất yếu mà ta biết chắc chắn là nó xảy ra ta còn gọi là biến cố chắc chắn,

kí hiệu là Ω Sự kiện tất yếu mà ta biết chắc là nó không thể xảy ra gọi là biến cố không thể hay biến cố rỗng, kí hiệu là 

1.1.3 Ví dụ

- Gieo một lần con xúc xắc được xem như tiến hành một phép thử Kết quả của phép thử này là mặt trên con xúc xắc có thể là một chấm ( ta kí hiệu là B1), hai chấm (B2), hoặc ba chấm (B3), hoặc bốn chấm (B4), hoặc năm chấm (B5), hoặc sáu chấm (B6)

Các sự kiện B1 xảy ra hay B2 xảy ra là các biến cố ngẫu nhiên

Ta gọi A là sự kiện số chấm ở mặt trên là chẳn hoặc lẻ thì A là biến cố chắc chắn

Gọi C là sự kiện mà mặt trên của con xúc xắc có số chấm là 7 thì C là biến cố không thể

- Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất, ta gọi A là sự kiện mặt ngửa (mặt số) xuất hiện, B là sự kiện mặt sấp (mặt quốc huy) xuất hiện, thì A, B là hai biến cố ngẫu nhiên

Biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên gọi chung là biến cố

1.1.4 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

- Ta thực hiện 1 phép thử Các kết quả có thể khi phép thử được thực hiện gọi là các biến cố sơ cấp (hoặc các biến cố cơ bản)

- Tổng hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là AB sao cho biến cố tổng

AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra

- Tích hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là AB hoặc AB sao cho biến

cố tích AB xảy ra khi và chỉ chỉ A xảy ra và B xảy ra

- Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu xảy ra biến cố này thì không thể xảy

ra biến cố kia (A và B xung khắc với nhau thì AB = )

- Hiệu của biến cố A trừ biến cố B là một biến cố, kí hiệu là A\B sao cho biến

cố A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra

- Biến cố B được gọi là đối lập với biến cố A nếu và chỉ nếu A và B là hai biến

cố xung khắc và trong phép thử luôn xuất hiện một trong trong hai biến cố này Biến cố đối lập của biến cố A ta kí hiệu là A, ta có A = Ω\A

- Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B phải xảy ra

Ví dụ: Khi gieo con xúc xắc, gọi

D = {số chấm ở mặt trên con xúc xắc là số lẻ}, khi đó ta có

B1  D B3  D

- Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau nếu A B và B  A Viết A = B

Nhận xét:

a Ta có thể mở rộng các quan hệ biến cố cho 3, 4 biến hoặc nhiều hơn nữa

b Khi xét quan hệ giữa các biến cố ta không nên dùng minh hoạ hình học để thay thế cho định nghĩa mà phải bám chặt định nghĩa để xét, biểu diễn hình học không thể phản ánh chính xác trong mọi trường hợp

Ví dụ: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu

Gọi A = “anh thứ nhất bắn trúng bia”

B = “Anh thứ hai bắn trúng bia”

Hai biến cố này không xung khắc với nhau, nhưng khó mô tả hình học cho biến cố tích AB (trường hợp hai anh cùng bắn trúng bia)

- Hệ n biến cố A1, A2 , , An gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu : Chúng xung khắc với nhau từng đôi một AiAj =  , i ≠ j

Tổng của n biến cố này tương đương với biến cố chắc chắn

A1A2 An = Ω Như vậy mỗi lần thí nghiệm phải xảy ra một và chỉ một biến cố thuộc nhóm đầy

đủ các biến cố

Ví dụ: A , A là một nhóm đầy đủ các biến cố Khi gieo con xúc xắc thì B1, B2, …, B6

là một hệ đầy đủ các biến cố

- Quy tắc đối ngẫu De Morgan: A  B C A B C . ; ABC  A B C Quy tắc này có thể mở rộng cho n biến cố như sau:

A  A   A  A A A ; A A A  A  A   A

- Phép lấy tổng và tích có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối :

AB = BA ; AB = BA A( BC ) = AB  AC ; A  (B C) = (A B)(AC

Ví dụ: Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên vào bia

Gọi Ai = {người thứ i bắn trúng bia}, i = 1, 2

Ta có thể xây dựng các biến cố từ hai biến cố A1, A2 như sau :

a Chỉ có người thứ 1 bắn trúng đích : A A1 2

b Có một người bắn trúng : A A1 2A A1 2

c Có ít nhất một người bắn trúng : A1A2

d Cả hai cùng bắn trúng : A A1 2

e Không ai bắn trúng : A A1. 2 hoặc A1A2

f Nhóm đầy đủ các biến cố : A A1, 1 hoặc A A1. 2, A A1 2 , A A1 2 , A A1 2

1.2 Định nghĩa xác suất

1.2.1.Định nghĩa xác suất cổ điển

Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A là tỷ số của số trường hợp biến cố A thực tế

có thể xảy ra với tổng số n trường hợp có đồng khả năng xuất hiện hay không xuất hiện Ta ký hiệu xác suất của sự kiện (biến cố) A nào đó là P(A)

P(A) =

Như vậy P(Ω) = 1 ; P() = 0

Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 12 người được phân 7 vé xem bóng đá quốc tế (mỗi người nhiều nhất là một vé), trong đó có 2 vé loại I, 2 vé loại II, 3 vé loại III Việc phân phối tiến hành theo kiểu rút thăm

- Xác suất để một học sinh được 1 vé là p = 7 0, 58.

12 

- Xác suất để một học sinh được một vé loại I là p = 2 1

12  6

- Xác suất để một học sinh được một vé loại I hoặc một vé loại II là

Số trường hợp thuận lợi của A

Số trường hợp có thể xảy ra

p = 2 2 1

12  12  3

- Xác suất để một học sinh không được vé nào là

p = 1 - 7 5

12  12

Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên từ cổ bài gồm 52 con bài ra từ 8 con bài Tìm xác suất sao cho trong 8 con bài có :

a 3 con At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J

b 2 con cơ, 1 con Rô, 2 con Pic, 3 con chuồn

c 5 con màu đỏ, 3 con màu đen

Giải:

Phép thử của ta là rút ngẫu nhiên ra 8 con bài, số trường hợp có thể là 8

52

C = 52! 45.46.47.48.49.50.51.52

8!(52 8)!  1.2.3.4.5.6.7.8



Gọi A = “trong 8 con bài rút ra có 3 At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J” Tương tự B, C, D là các biến cố tương ứng với các câu b/ ; c/ ; d/

a Số trường hợp thuận lợi cho A theo luật tích là:

C C C C C = 4.6.4.4.4

Do đó P(A) =

4 8 52

4 6

C

b Số trường hợp thuận lợi c ho B là 2 1 2 3

13 13 13 13

C C C C

Do đó P(B) =

13 13 13 13 8 52

.

C C C C

C

c Số trường hợp thuận lợi cho C là 5 3

26 26

C C

Do đó P(C) =

26 26 8 52

.

C C

C

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê

Khi ta thực hiện một phép thử nào đó n lần mà biến cố A xuất hiện m lần thì tỉ

số m

n gọi là tần suất của biến cố A

Khi n thay đổi, tần suất m/n cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một

số cố định nào đó, n càng lớn thì tỉ số m/n càng gần số cố định đó Số cố định ấy gọi là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P(A) bởi m/n

P(A)  m

n

Ví dụ:

- Buffon đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 4040 lần thấy có 2048 lần xuất hiện mặt sấp

n = 0,5080

- Pearson đã gieo 12000 lần thấy 6019 lần sấp

m

n = 0,5016

- Pearson đã gieo 24000 lần thấy 12012 lần sấp

m

n = 0,5005

Số cố định cần tìm trong trường hợp này là 0,5 Tức là xác suất xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng tiền cân đối và đồng chất là bằng 0,5

Nhận xét: Định nghĩa xác suất dạng thống kê hay định nghĩa định nghĩa xác suất theo tần suất chỉ cho ta giá trị xấp xỉ và mức độ chính xác của việc xấp xỉ tùy thuộc vào số lần thực hiện phép thử

1.2.3 Xác suất hình học

Giả sử X là một hình nằm trong hình Ω, lấy ngẫu nhiên một điểm M trên hình Ω thì có một trong hai khả năng sau có thể xảy ra: hoặc M nằm trên hình X, hoặc M không nằm trên hình X Ta gọi tỉ số:

P(M) =

là xác suất để khi ấy điểm M rơi vào hình X

Chú ý: Khái niệm “độ đo” hình X ở đây được hiểu như sau:

- Là độ dài nếu các hình X được tạo bởi những đoạn thẳng, đường cong

- Là diện tích theo nghĩa thông thường, nếu X là hình phẳng trong mặt phẳng Trong trường hợp này ta qui ước: diện tích của đường cong trong mặt phẳng bằng 0

- Là thể tích theo nghĩa thông thường, nếu X là khối đa diện hoặc khối tròn xoay trong không gian Trong trường hợp này ta qui ước: thể tích của mặt cong trong không gian bằng 0

Ví dụ:

1) Cho một khu đất hình tròn và một vườn hoa hình tam giác đều nội tiếp trong hình tròn đó Trẻ em đá bổng một quả bóng rơi vào khu đất Tìm xác suất để quả rơi vào trong vườn hoa

Giải: Theo định nghĩa ta có xác suất để quả bóng rơi vào vườn hoa là:

A

giac

2 tron

2

1 2 P(M)

1 3 3.

3 3

2 2

0, 41.

4

tam hinh

BC AH S

R



 

“độ đo” hình

X

“độ đo” hình

Ω

R

o

2) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng từ 1 đến 2 giời chiều Họ thỏa thuận với nhau như sau: Một người đến điểm hẹn mà người kia chưa đến thì sẽ chờ không quá 15 phút Nếu người kia không đến thì người đó ra đi trước

2 giờ chiều Tìm xác suất để hai người gặp nhau

Giải: 15 phút = 0,25 giờ Gọi x và y theo thứ tự là thời điểm người thứ nhất và người thứ hai đến điểm hẹn Vậy điều kiện để hai người gặp nhau là

1 , 2 1 , 2

0, 25 0, 25 0, 25

 

   

       

Tập hợp những điểm M(x,y) với 1 ≤ x, y ≤ 2 nằm trong hình vuông ABCD Tập hợp những điểm M(x,y) với x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 nằm trong phần gạch chéo trong hình vẽ

Từ phân tích trên, ta phát biểu lại bài toán dưới dạng hình học như sau: Lấy ngẫu nhiên một điểm M(x,y) trong hình vuông ABCD Tìm xác suất để điểm đó rơi vào phần gạch chéo trong hình vẽ

Áp dụng công thức xác hình học, ta có xác suất để hai người gặp nhau tại điểm hẹn là

P(M) =

2

1 0, 75 1



  0,44

3) Tham số m của phương trình

x2 – (m-1)x + m2 – 1 = 0 lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-2; 2] Tìm xác suất để phương trên có nghiệm thực Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm thực là:

∆ = (m – 1)2 – 4(m2 – 1) = -3m2 – 2m + 5 ≥ 0

3 m

   Bài toán có thể phát biểu dưới dạng hình học như sau: Lấy ngẫu nhiên một điểm

M trong đoạn [-2; 2] Tìm xác suất để điểm đó rơi vào đoạn [ 5; 1

3

 ] Vậy xác suất để phương trình có nghiệm thực là

P(M) =

5 1 3

2 2





 0,67

1.2.4.Các quy tắc tính xác suất

Quy tắc I: Xác suất của tổng hai sự kiện (biến cố) xung khắc bằng tổng các xác suất của những sự kiện ấy

Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì : P(AB) = P(A) + P(B)

Tổng quát: Nếu A1, A2, , An là n biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì

P(

1

n i i

A



) =

1

( )

n i i

P A





Hệ quả 1: Nếu các sự kiện xung khắc A1, A2, ., An lập thành một nhóm sự kiện đầy đủ thì tổng các xác suất của chúng bằng 1

1

( )

n i i

P A



 = 1

Hệ quả 2: Tổng xác suất của 2 sự kiện đối lập bằng 1

P(A) + P(A) = 1

Ví dụ: Trong một cuộc xổ số tiết kiệm, tổng số phiếu là 10.000 ; có 1 giải nhất, 10 giải nhì, 100 giải ba Một người có một phiếu tiết kiệm Tính :

- Xác suất để người đó trúng giải nhì

- Xác suất để người đó trúng thưởng

- Xác suất để người đó không trúng thưởng

Giải:

Goi A1 là biến cố người đó trúng giải nhất, A2 là biến cố người đó trúng giải nhì, A3 là biến cố trúng giải ba, và A là biến cố người đó trúng một giải nào đó thì :

P(A2) = 10 1

10.000  1000

“độ đo” hình

X

“độ đo” hình

Ω

A = A1  A2 A3

Vì A1 , A2 , A3 là 3 biến cố xung khắc nên xác suất để người đó trúng thưởng là P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1

10.000 + 10

10.000 + 100 111

10.000  10.000

Xác suất để người đó không trúng giải thưởng nào là :

P(A) = 1 - P(A) = 1 - 111

10.000 = 9889

10.000 Quy tắc II: Xác suất của tổng hai biến cố ngẫu nhiên A, B bất kỳ bằng tổng xác suất của 2 biến cố A và B trừ đi xác suất của tích 2 sự kiện ấy

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Trường hợp tổng của 3 sự kiện A, B, C ta có

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) Chú ý: P(ABC) = 1 - P(A B C ) =1 - P(A B C . )

Ví dụ: Hàng năm nhà trường tổ chức tuyển sinh vào Đại học thể dục thể thao Học sinh

có thể không đạt về văn hoá với xác suất 50%, về năng khiếu với xác suất 40% Xác suất để một học sinh không đạt về văn hoá hoặc năng khiếu là :

P = 0,5 + 0,4 - 0,5.0,4 = 0,7 = 70%

1.3 Biến cố ngẫu nhiên độc lập

Hai biến cố độc lập: Biến cố B được gọi là độc lập với biến cố A nếu xác suất xảy

ra A không thay đổi dù B có xảy ra hay không xảy ra

Nếu B độc lập với A thì B cũng độc lập với A và A cũng độc lập với B và B Quy tắc III: Xác suất của tích hai sự kiện độc lập bằng tích xác suất của các sự kiện ấy

P(AB) = P(A).P(B) Trường hợp tổng quát : Nếu A1, A2, , An là các biến cố độc lập với nhau thì

P(A1 A2 An) = P(A1).P(A2) P(An)

Ví dụ 1: Có 12 vé xem bóng đá quốc tế, trong đó 3 vé loại I, 4 vé loại II, 5 vé loại III Ta ghi vào các phiếu rồi "rút thăm" hai lần, mỗi lần một phiếu Sau khi "rút thăm" lần thứ nhất, ta bỏ phiếu vào lại để cho số phiếu vẫn là 12 Tính xác suất để rút được 2 phiếu là 2 vé loại I

Gọi C là biến cố “Trúng 2 phiếu loại I liên tiếp”

A là biến cố “Trúng phiếu loại I ở lần thứ nhất”

B là biến cố “Trúng phiếu loại I ở lần thứ hai”

Rõ ràng A, B là hai biến cố độc lập với nhau

C = AB ; P(C) = P(A).P(B)

Mà P(A) = P(B) = 3 1

12  4 nên P(C) = 1 1. 1

4 4  16

Ví dụ 2: Hai người cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập vơi nhau S

xác suất bắn trúng đích của chiến sỹ A là 0,8 còn của chiến sỹ B là 0,7 Tìm xác suất

a Chiến sỹ A bắn trúng đích ngay trong 3 phát đầu

b Chiến sỹ B bắn trúng đích ngay từ phát thứ 3

c Hai người cùng bắn trúng đích khi mỗi người bắn một phát