Giáo án lớp Sinh học khối 8 - Bài 25: Tiêu hóa ở khoang miệng

Qua đề tài “Tỡm lời giải cỏc bài toỏn bất đẳng thức, giỏ trị lớn nhấtGTLN, giỏ trị nhỏ nhấtGTNN nhờ đánh giá dấu bằng trong bất đẳng thức Cụ-Si” tôi muốn giúp học học sinh có thêm một ph[r]

MỤC LỤC

Trang

A ĐẶT VẤN ĐỀ 2

I.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 4

Lop12.net

A.ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lớ do chọn đề tài:

Trong thực tế, khi dạy học sinh lớp 10 bất đẳng thức Cụ-Si tụi thấy học sinh rất lỳng tỳng trong việc làm bài tập hay định hướng cỏch làm đặc biệt là học sinh ở mức độ trung bỡnh

Xột bài toỏn:

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3 Chứng minh rằng: a3 b3 c33 Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cụ-Si ta cú:

3 3 3

1 1 3

1 1 3

1 1 3

  

  

   Cộng cỏc vế của cỏc bất đẳng thức trờn ta được bất đẳng thức:

a b   c a b c  a b c  a b c  

(đpcm)

a b c

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Khi đọc một bài toỏn bất đẳng thức(vớ dụ như bài toỏn trờn ) học sinh thường đặt ra những cõu hỏi “ Tại sao lại chọn được số 1”, “cú phải do đoỏn mũ khụng” Nếu khụng được giải đỏp và hướng dẫn cỏch tỡm lời giải sẽ dẫn đến tỡnh trạng học sinh ngại cỏc bài toỏn về bất đẳng thức vỡ cho rằng lời giải và đề khụng cú quan hệ lụgớc với nhau nờn khú tỡm ra lời giải cho bài toỏn Thực chất việc phỏt hiện cỏc dấu hiệu đú khụng phải là ngẫu nhiờn mà thụng qua phõn tớch giả thiết bài toỏn

Qua đề tài “Tỡm lời giải cỏc bài toỏn bất đẳng thức, giỏ trị lớn nhất(GTLN), giỏ trị nhỏ nhất(GTNN) nhờ đánh giá dấu bằng trong bất đẳng thức Cụ-Si” tôi muốn giúp học học sinh có thêm một phương pháp chứng minh bất

đẳng thức, tìm GTLN và GTNN, giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung đó là lý do tôi chọn đề tài này, khi nghiên cứu không tránh khỏi còn những hạn chế rất mong được sự góp ý của các thày cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn

II.Mục đớch nghiờn cứu:

Giúp học sinh có thể vận dụng được bất đẳng thức Cô-Si vào chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN Từ đó biết cách vận dụng sáng tạo linh hoạt giữa các bài toán

III Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về bất đẳng thức, GTLN, GTNN có thể giải được bằng bất đẳng thức Cô-Si, đặc biệt các bài toán gần gũi với những kì thi vào Cao Đẳng và Đại Học

IV Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu, tìm hiểu một số tài liệu và dựa trên kinh nghiệm giảng dạy trong

những năm qua

www.VNMATH.com

Lop12.net

B giải quyết vấn đề I.Cỏc kiến thức cần nhớ

I.1 Định nghĩa bất đẳng thức

Cỏc mệnh đề cú dạng “a<b” hoặc “a>b” hoặc “ a b ” hoặc “a b ” được

gọi là cỏc bất đẳng thức.

I.2 Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức :

Tính chất 1: a > b <=> b < a

Tính chất 2: a > b và b > c => a > c

Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c

Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c

a + c > b <=> a > b - c

Tính chất 4: a > c và b > d => a + c > b + d

a > b và c < d => a - c > b - d

Tính chất 5: a > b và c > 0 => ac > bc

a > b và c < 0 => ac < bc

Tính chất 6: a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd

Tính chất 7: a > b > 0 => a2n > b2n (n nguyờn dương)

a > b <=> a2n+1 > b2n+1 (n nguyờn dương)

Tính chất 8: Nếu b>0 thỡ a b  a  b

Tớnh chất 9: a b  3 a  3 b

I.3 Một số bất đẳng thức thông dụng :

* Bất đẳng thức Cụ-Si hai số:

Cho 2 số thực khụng õm a,b khi đú:

2

a b

ab



 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b

* Bất đẳng thức Cụ-Si ba số:

Cho 3 số thực khụng õm a,b,c khi đú: 3.3

3

a b c

abc

   Dấu = xảy ra khi a=b=c

* Bất đẳng thức Cụ-Si tổng quỏt:

Cho n số thực không âm a a a1, , , ,2 3 a n khi đó:

1 2 3

1 .2 3

n n

n

a a a a n

    

 Dấu = xảy ra khi a1 a2   a n

*Các bất đẳng thức cơ bản liên quan hay dùng:

1 a2 + b2 2ab ; Dấu = xảy ra khi a=b

2  2 ; Dấu = xảy ra khi a=b

2

a b

3 ; Dấu = xảy ra khi a=b

2

a b



4  2 2; Dấu = xảy ra khi a=-b

2

a b

ab  



5 Nếu a,b 0 thì a b 2 ab; Dấu = xảy ra khi a=b0

6 Nếu a,b>0 thì a b 2; Dấu = xảy ra khi a=b>0

b a

7 Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0

2

2

b

a

8 Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0

2

2

a

b

9 Nếu a,b > 0.thì: (a + b)( ) 4 Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b>0

b a

1

10.Nếu a,b>0 thì 1 1 4 ; Dấu = xảy ra khi a=b>0

a b  a b



11 Nếu a,b>0 thì ; Dấu = xảy ra khi a=b>0

 2

ab  a b



12 a2 + b2 + c2 ab + ac + bc Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.

13 a2 + b2 + c2  (a + b + c)2 ab + ac + bc

3

1

 Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c

14 Nếu a,b,c > 0 thì: (a + b + c)( ) 9

c b a

1 1

Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c >0

15 Nếu a,b,c > 0 thì: Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c>0

c b a c b

9 1

1 1

I.4 Phân tích tìm lời giải:

Để giải bài toán trước tiên ta dự đoán dấu “=” của bất đẳng thức hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN Từ dự đoán dấu “=”, kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc dự đoán phép đánh giá Mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên

tắc dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước phải giống như dấu ‘=’ dự đoán ban đầu.

Lop12.net

Để làm rừ, tụi xin phõn tớch cỏch suy nghĩ tỡm lời giải trong một vài vớ dụ sau:

II Một số vớ dụ:

Bài 1: Cho số thực dương a 3

Chứng minh rằng: 1 10

3

a a

 

Phân tích:

+ Dấu “=” xảy ra khi a=3; với a=3 thì 1 1

3

a  + Khi áp dụng Cụ-Si cho và Ta cần chọn sao cho khi đó



 

1 3

=9

Lời giải đỳng:

Với a 3 khi đó

 

 

8 8

2

9 3

a



Từ (1) và (2) suy ra 1 8 2 8 1 10 (đpcm)

a

Dấu “=” xảy ra

1

3 9

3

 



 



a

a a a

Bài 2: Cho cỏc số thực , , 0, chứng minh rằng:

1

x y z xyz





 



y  z  x 

  

Phân tích:

Sai lầm thường gặp:

2

2 2

(1 ) 2 1

1

(1 ) 2 1

x

y y

z z

x



  

 



               

 





  

 



Lại cú x y z   3 3 xyz    3 P 0

Nguyờn nhõn sai lầm:

1

xyz

 







          

 



+ Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x  y z 1.Vì vậy khi áp dụng Cô-Si cho

và :

2

1

x

y



1 y





    



Lêi gi¶i đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

x y

z

z x





  



 

              





  

2

2

2

1

1 ( ) 1( ) 3 3( ) 3 3

1

Dấu “=” xảy ra khi x  y z 1

Bài 3:(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang 2010-2011)

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng:

3

Phân tích:

+

b b ab bc ca  a b b c

+ Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

+ Ta cần áp dụng Cô-Si cho 3 số để chuyển a3 về

3

a b b c

a và làm mất mẫu nên:

8 4

a b b c

Lời giải đúng:

Bất đẳng thức cần chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số ta có:

3

3

3

3

(1)

3

(2)

3

(3)

a b b c

b c c a

c a a b

Từ (1),(2),(3) suy ra

Lop12.net

(4)

                 

4

a b b c b c c a c a a b

Lại có

a b c   ab bc ca     a b c ab bc ca   

Từ (4) và (5) suy ra

(đpcm)

                

4

a b b c b c c a c a a b

Dấu “=” xảy ra











  







3

3

3

1

3 , , 0

a b b c

b c c a

a b c

c a a b

a b c

ab bc ca

a b c

Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng 2009-2010) Cho các số thực

dương x, y, z và xyz=1 Chứng minh rằng: 3 z 3 x 3 y

x y z

Phân tích :

+ Dấu =xảy ra khi x=y=z=1

z xyz z x xyz x y xyz y

x  x  y  y  z  z 

+ để làm mất căn bậc 3 ta có thể áp dụng bđt Cô-Si 3 số y, x, x đảm bảo dấu

= vẫn xảy ra 3 2 3

3

y y x

y x  y y x   

Lời giải đúng :

3

Theo bất đẳng thức Cô-Si :

(1)

2

3

y z z

yz  y z z   

(2)

2

3

x x z

x z  x x z   

(3)

2

3

y y x

y x y y x  

Từ (1),(2),(3) suy ra 3 yz2  3 x z2 3 y x x y z2    (đpcm)

Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z=1

Bài 5: (Đề thi học sinh giỏi Nghệ An -2009)

Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng:

9

x   y z x y y z z x

Phân tích:

+ Dấu ‘=’ xảy ra x=y=z=1

+ Khi x=y=z=1 ta thấy

,9=1+1+1+1+1+1+1+1+1

1

x y y z z x

x y z

+ Vậy 9x y2 2 y z2 2 z x2 2gồm 12 số hạng có giá trị bằng 1và 1 1 1 có

x  y z

3 số hạng có giá trị bằng 1

Lời giải đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

(1)

3

3

x   y z xyz

(2)

9x y y z z x 12 x y y z z x 12 xyz

Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có :

 2 2 2 2 2 2

1 1 1

9 x y y z z x 36

x y z

(đpcm)

9

x y z x y y z z x

Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z=1

Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c và a+b+c=3.

Chứng minh rằng: a3b  b3c  c3a 6

Phân tích:

+ Sai lầm thường gặp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

Lop12.net

2

2

2

a b

b c

c a

 

 

 

a b c

suy ra chưa chứng minh được theo yêu cầu của đề + Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=1 khi đó a+3b=b+3c=c+3a=4 để dấu

‘=’ trong bất đẳng thức Cô-Si xảy ra thì ta cần ghép a+3b, b+3c, c+3a với 4

Lời giải đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

a b

b c

c a

 

 

 

4

a b c

a b b c  c a      Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Bài 7: Cho ba số thực dương x, y,z thoả mãn x+y+z 1

x + + y + + z + 82

Phân tích:

Dấu “=” xảy ra khi 1

3

x y z  

(81 phân số)

2

;

x

Lời giải đúng:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:

 

 

 

Suy ra

 

164

972

 

(suy ra đpcm)

x + + y + + z + 82

Dấu “=” xảy ra khi 1

3

x y z  

Bài 8: Cho a,b,c là 3 số thực dương và thoả mãn 3

2

a b c  

2

Phân tích :

+ Dấu “=” xảy ra khi 1

2

a b c   + khi đó 2 có thể tách thành 33 số hạng có giá trị bằng nhau và

a

b c

bằng 1

4

Lời giải đúng :

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 33 số dương

2

2

33

1 1

16

a

a a

           

 

chứng minh tương tự ta có

Lop12.net

12

2

1 1

16

b b

2

1 1

16

c c

Từ (1),(2),(3) ta có:

 

 

 

3 2 2 2

VT

VT

 

2

a b c

   

Bài 9: Cho 4 số thực dương a, b, c, d thoả mãn a+b+c+d=4

b  c  d  a 

Phân tích:

+ Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=d=1

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si trực tiếp không đi đến đâu nên ta sử dụng Cô-Si ngược dấu

Lời giải đúng:

b   b   b  

Chứng minh tương tự ta có :

Dấu ‘=’ xảy ra khi c=1

2

b

c  



Dấu ‘=’ xảy ra khi d=1

2

c

d  



Dấu ‘=’ xảy ra khi a=1

2

d

a  



Suy ra

2

1

a b c d ab bc cd da

a c b d

a c b d

  

(suy ra đpcm)

Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c=d=1

Bài 10: Cho 3 số thực dương a b c, , Chứng minh rằng: 5 5 5 3 3 3

a b c

b  c  a   

Phân tích:

Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c khi đó

a b c

b  c  a   

Ta cần chọn m, n phù hợp sao cho

suy ra 3m=2n nên ta chọn

m

được m=3 và n=2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 5 số ta có:

5

2 5

2 5

2

a

b b

c c

a

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có

(®pcm)

Dấu ‘=’ xảy ra khi a=b=c

Bài 11: (Đề thi học sinh giỏi Hải Phòng -2010)

Cho ba số thực dương a,b,c và a2 b2 c2 1

Chứng minh rằng: 3 3 3 6

7

a  b  c 

Phân tích:

+ Dự đoán ta chọn được bộ (a,b,c) là hoán vị của

7

; 7

; 7

p c

n b

m

7

6

; 7

3

; 7

2 (

sao cho a2 b2 c2 1 + Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi  6; 3;  2 Khi áp dụng bất đẳng

Lop12.net

14

thức Cô-Si đảm bảo dấu bằng phải xảy ra nên ta ghép và

3

, , 7

a a  

 

 

3

, ,

7

b b  

 

 

3

, , 7

c c  

 

 

Lời giải đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

 

 

3

 

           

Từ (1), (2) và (3) ta có

a  b  c          a b c

(đpcm)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi

6 7 3 7 2 7

a b c

 





 





 



Bài 12: Cho hai số thực dương x, y Chứng minh rằng:

2

9

x

      

Phân tích: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi x=3 và y=9 khi đó 3 1

x y

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 4 số ta có

3 4

3 4 3

x

     

Từ (1),(2) và (3) suy ra

(đpcm)

2

27 27

x

        

Dấu ‘=’ xảy ra khi 3

9

x y





 



Bài 13: Cho 3 số thực dương a, b, c và a+b+c=6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P3 a3b 3 b3c 3 c3a

Phân tích:

Sai lầm thường gặp:

Áp dụng Cô-Si cho 3 số ta có:

3 1.1 3

3

3 1.1 3

3

3 1.1 3

3

6 4

3

a b

b c

c a

a b c

  

  

  

Suy ra Max P=10 Nguyên nhân sai lầm:Dấu ‘=’ trong các bất đẳng thức trên không xảy ra

tức là không tồn tại a,b,c thoả mãn yêu cầu bài

 

a+3b=1 b+3c=1 Max P=10 c+3a=1

a+b+c=6 a,b,c>0

vn







 







toán để P=10

Dự đoán P đạt Max khi a=b=c=2 và khi đó a+3b=b+3c=c+3a=8 để dấu ‘=’ trong bất đẳng thức Cô-Si xảy ra thì ta cần ghép a+3b, b+3c, c+3a với 8

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

  

  

a b

b c

  

48 4

12

c a

a b c

Lop12.net

Dấu ‘=’ xảy ra

a+3b=8 b+3c=8

a+b+c=6 a,b,c>0

a b c













Vậy Max P=6 khi a=b=c=2

Bài 14: Cho 3 số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

      

Phân tích:

Sai lầm thường gặp

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có

MinP

Nguyên nhân sai lầm:

(vô lí vì a,b,c>0)

1

2

2 1

2

a

b

c

c a

 









        

 



+ Dự đoán P đạt Min khi a=b=c>0 và khi đó 1

b  c  a 

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

 

 

 

P

      

Dấu ‘=’ xảy ra

1

0

, , 0

a b c

a b c



 Vậy 27 khi a=b=c>0

8

MinP 

Bài 15: Cho 3 số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích:

+ Sai lầm thường gặp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số

2

2 2

2

2 2

2

2 2











 Suy ra P6 Vậy MinP =6

+ Nguyên nhân sai lầm :

2

2 2

2 2

2 , , 0

x y z











 







Lop12.net

www.VNMATH.com +Dự đoán P đạt min khi x=y=z>0

Lời giải đúng:

2

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:

6

                 

(1) Dấu =xảy ra khi x=y=z>0 6

x y y z z x

Lại có:

2

Vậy

x y y z z x

y z  z x  x y         x y y z z x   

(2) Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z>0

3 2

y z z x x y

Từ (1) và (2) suy ra 2.6 1 3 51

P    P

Vậy MinP=51 khi x=y=z>0

4

III Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho , , 0 Chứng minh rằng:

3

a b c

a b c





   



3a 2b 3b 2c 3c 2a  3 3 3

Bài 2: (Đề thi ĐH-CĐ Khối D-Năm 2005) Cho , , 0,

1

x y z xyz





 



1 x y 1 y z 1 z x 3 3

Bài 3: Cho 3 số dương a b c, , thỏa mãn abc 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q

Bài 4: Cho , , 0,chứng minh rằng

1

a b c abc





 

2 ( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b 

Bài 5: Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1.









 

x

1













y

1

1 1 1  64









 

z

b) T×m giá trị nhỏ nhất cña: A = 









 

x

3













y

3









 

z

3 2

Bài 6: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình –Năm 2010)

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

b  c  a   b c a

Bài 7: Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=2012 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài 8: Cho a,b,c>0 và abc=1 Chứng minh rằng:ab2 bc2 ca2   a b c

Bài 9: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: a23 b23 c23 9

b  c a  a b c

 

Bài 10: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a42 b42 c42 a b c

bc ca ab   

Bài 11: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: 3 3 3 1 2 2 2

a b c

a b b c c a   

Bài 12: Cho a,b,c>0 và abc=1 Chứng minh rằng:

3 4

b c  c a  a b 

Bài 13: Cho a,b,c>0 và abc=1 Chứng minh rằng:

2

b c a  c a b a b c 

Bài 14: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:a3 b3 c3 ab2 bc2 ca2

Bài 15: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng:

1

b c c a a b

Bài 16: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

1 2

a b c

b c a c a b  a b c   

Bài 17: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3abc Chứng minh rằng:

a c b b a c c b a 

Bài 18: Cho a,b,c>0 và abc=1 Chứng minh rằng:

2

a b c b c a c a b 

Lop12.net

Bài 19: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3abc Chứng minh rằng: 15 15 1 35

a b  c 

Bài 20: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a3 b3 c3

bc ca ab   

Bài 21: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a53 b53 c53 a3 b3 c3

b  c a  b  c  a

Bài 22: Cho a,b,c>0 và a+b+c=2010 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài 23: Cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c1

82

C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI

Đề tài này đã được bản thân tôi dạy thí điểm trên các em học sinh lớp 10A , 10B Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú chất lượng học tập của học sinh tăng nên rõ rệt Góp phần không nhỏ vào luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo của học sinh

Trước khi giảng dạy đề tài tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút

Đề bài:

Câu 1(3đ):Cho a,b là các số thực dương CMR:a b 1 1 4

a b

   

Câu 2(4đ)Cho a,b,c là các số thực dương và a+b+c=3

CMR:

3

b  c  a  Câu 3(3đ):Cho a,b là các số thực dương CMR: a b a b

b  a   Kết quả:

Điểm TB (5 đến 6,4)

Điểm khá (6,5 đến 7,9)

Điểm giỏi (từ 8 trở lên)

Đạt yêu cầu Lớp Sĩ số

Sau khi giảng dạy đề tài tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút

Đề bài: