Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng công thức tường minh cho các biên khung dưới tối ưu, biên khung trên tối ưu trong không gian Hilbert tổng quát và đưa ra ví dụ áp [r]
Trang 196 Tăng Tấn Đông
VỀ BIÊN KHUNG TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
ON THE OPTIMAL FRAME BOUNDS IN A HILBERT SPACE
Tăng Tấn Đông
HVCH Toán giải tích K34, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng; tangtandong@gmail.com
Tóm tắt - Một dãy các vectơ ={fk}k=1 trong không gian
Hilbert được gọi là khung của không gian này nếu tồn tại các
hằng số Avà B, 0 AB sao cho
1
k
=
A B trên tương ứng được gọi là biên khung dưới và biên khung
trên Ta gọi biên khung dưới tốt nhất là supremum của tất cả các biên
khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất là infimum của tất cả các
biên khung trên Các biên khung tốt nhất này có ý nghĩa rất quan
trọng Trong bài báo này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho
các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ví dụ áp dụng
Abstract - A sequence {f k}k 1
= = of elements in Hilbert space
is a frame for if there exist constantsAand B, 0 AB so
1
k
=
A B are called lower frame bound and upper frame bound The optimal lower frame bounds are in the supremum over all lower frame bounds, and the optimal upper frame bounds are in the infimum over
all upper frame bounds Evidently frame bounds optimal have very important meaning In this article, we construct formulae of the optimal bounds for a frame in a Hilbert space and give an example to apply these formulae
Từ khóa - Khung trong không gian Hilbert; khung; biên khung;
Không gian Hibert; biên khung tốt nhất Key words - Frame in a Hilbert space; Frame; Frame bound; Hilbert space; optimal frame bounds
1 Mở đầu
Một trong những khái niệm quan trọng nhất của không
gian vectơ là cơ sở, vì mỗi vectơ của không gian đều được
biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các
phần tử thuộc cơ sở này Chẳng hạn như, ta xét không gian
vectơ hữu hạn chiều Nếu{f k k}N=1là một cơ sở của không
gian , thì mỗi vectơ f đều có biểu diễn dưới dạng
1
( )
N
k k
k
=
và các hệ số c k( )f này là duy nhất, chúng chỉ phụ thuộc
f Chính vì vậy, hệ các vectơ cơ sở của không gian tuyến
tính thường được xem như là các khối xây dựng cơ bản
(elementary building blocks) Tuy nhiên, yêu cầu của một
hệ vectơ tạo thành một cơ sở lại quá chặt chẽ, mà đòi hỏi
cơ bản nhất của nó là phải độc lập tuyến tính Thậm chí nếu
là không gian Hilbert thì người ta còn đòi hỏi chúng phải
là cơ sở trực chuẩn, vì từ cơ sở (hệ độc lập tuyến tính cực
đại) ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt
rồi chuẩn hóa để được cơ sở trực chuẩn Khái niệm "khung"
xuất hiện nhằm làm giảm thiểu các yêu cầu khắt khe của
sự độc lập tuyến tính của một hệ vectơ, nhờ đó mà có được
nhiều ứng dụng hơn Ta nói một dãy các vectơ ={f k k}=1
trong không gian Hilbert được gọi là khung (frame) của
không gian này, nếu tồn tại các hằng số A và B ,
0A B sao cho
1
,
| , k |
k
=
Các hằng sốA B , 0trong (2) tương ứng được gọi là
biên khung dưới và biên khung trên Rõ ràng rằng các biên
khung này không duy nhất Ta gọi biên khung dưới tốt nhất
(the optimal lower frame bound) là supremum của tất cả
các biên khung dưới, còn biên khung trên tốt nhất (the
optimal upper frame bound) là infimum của tất cả các biên
khung trên
Hiển nhiên, biên khung tốt nhất có một ý nghĩa rất quan trọng, bởi vì một mặt ta thu được các hệ số tính toán "tiết kiệm" nhất, mặt khác các giá trị này cho biết một dãy
1 {f k k}=
= trong không gian Hilbert có là khung hay không Thật vậy, nếu ta kí hiệu biên khung trên tốt nhất và biên khung dưới tốt nhất lần lượt là up và low thì khi một trong hai điều kiện up = hoặc 0 low= xảy ra, lúc
đó dãy không thể là khung
Trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2] và [3], đã đưa ra các định nghĩa biên khung tốt nhất, nhưng chưa thấy tài liệu nào xây dựng công thức cho các biên khung tốt nhất này dưới dạng tổng quát Trong nghiên cứu này, tác giả sẽ giới thiệu công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ra các ví dụ áp dụng
2 Biên khung tốt nhất
Ta thấy rằng, biên khung trên tốt nhất up phải thỏa 0 mãn hai điều kiện sau và hai điều kiện này được gọi là hai
điều kiện đặc trưng của biên khung trên tốt nhất
1
j
(b) Nếu có B 0thỏa mãn
1
j
Như vậy, biên khung trên tốt nhất up của dãy khung là
1
j
=
Trang 2ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 1.1, 2019 97 Tiếp theo, biên khung dưới tốt nhất của dãy khung
0
low , phải thỏa mãn hai điều kiện sau và hai điều kiện
này được gọi là hai điều kiện đặc trưng của biên khung
dưới tốt nhất
1 |
j
=
(d) Nếu có A 0thỏa mãn
1
, |
j
=
Và ta cũng có biên khung dưới tốt nhất của khung là
1
j
=
Định lý 1 Nếu ={f j}j=1là một khung trong không
gian Hilbert , thì:
(a) Biên khung trên tốt nhất của khung là
( )
2
2
2 1
1
| 1
3
sup{ , | }
|
|
j j
j j
f
j
f f
f f f
f f
=
=
=
=
(b) Biên khung dưới tốt nhất của khung là
( )
2
2
2
4
, |
{ , | }
|
|
j j
j
f j
f f
f f f
f f
=
‖ ‖
Chứng minh:
(a) Theo tính chất (a) về đặc trưng của cận trên tốt nhất,
1
, |
j
Từ đó
2 1
j
up
f f
f f
Vì vậy
up
( )
5
1
1
j
f
=
=
= Ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức
1
|
j f f j B f f
Nếu bất đẳng thức (6) đúng, thì từ tính chất (b) về đặc
trưng biên khung trên tốt nhất up, ta suy ra B up và khi đó (5) thực sự là một đẳng thức, và ta sẽ có đẳng thức (3) cần chứng minh
Như vậy, ta chỉ cần kiểm tra tính chất (6) Nếu f =0 thì bất đẳng thức (6) hiển nhiên, còn nếu f 0 thì ta cũng
có (6) do
f
f
1
j
=
f Từ đó
2 1
2
|
0
j j
low
f f
f f
Vì vậy
( )
||
low
=
=
1 1 inf | , j |
f j
= =
= ta sẽ kiểm tra bất đẳng thức
1 , |
j
=
Nếu bất đẳng thức (8) đúng, thì từ tính chất (d) về đặc
trưng biên khung dưới tốt nhất lowta suy ra A lowvà khi đó (7) thực sự là một đẳng thức, và ta sẽ có đẳng thức (4) cần chứng minh
Vậy ta chỉ cần kiểm tra công thức (8) Nếu f =0thì bất đẳng thức (8) hiển nhiên, còn nếuf 0 thì ta cũng có (8) do
f
f
Như vậy, định lý được chứng minh hoàn toàn
3 Kỹ thuật tìm biên khung tốt nhất
Từ các công thức tính các biên khung tốt nhất (3) và (4) ứng với upvà low nói trên, ta thu được một thuật toán tính chúng như sau
3.1 Tìm up
Để chứng minh rằng up = ta thường làm như sau (i) Trước hết ta chứng minh
1 , |
j
Trang 398 Tăng Tấn Đông
Theo (b) ta sẽ có up
(ii) Tiếp theo ta tìm g với ‖ g =‖ 1mà
2
1
j
từ (3) ta suy ra up Từ hai bất đẳng
thức trên ta thu được up =
3.2 Tìm low
Để chứng minh rằng low =ta thường làm như sau
(i) Trước hết chứng minh
1 , |
j
=
‖ ‖
thì từ (d) suy ra low
(ii) Tiếp theo ta tìm h với ‖ ‖h =1mà
2
1
,
j
từ (4) suy ra low.Từ hai bất đẳng
thức trên ta sẽ thu được low=
4 Ví dụ áp dụng
Giả sử
/ 2
2 1 , , , },
2
k k
n n n
=
ở đây { }e k k=1 là một cơ sở trực chuẩn của Do Fchứa
cơ sở trực chuẩn { }e k k=1 của và một tập con thực sự của
cơ sở này, nên Flà một khung Ta có
1
2
Rõ ràng rằng
1
1
2 1
2
k k k
=
và
1
2
|
| ,
|
k k
=
cho nên
1
3 2
k
=
Nghĩa là F ={f k}k=1là một khung của với các biên khung dưới và trên là 1 và 3 / 2tương ứng Vậy thì
3 2
1 và
low up
Ta sẽ chỉ ra rằng biên dưới tốt nhất là F low =1và biên trên tốt nhất là F up =3 / 2 Thật vậy, với f =e1thì 1
f =
1
k
nên theo định nghĩa supremum ta có F up 3 / 2và kết hợp với (9) ta suy ra F up =3 / 2
Tiếp theo, nếu f =e n với n thì ‖ f ‖=1và
1
1 2
k n n n n n
Do đẳng thức trên đúng với mọi n nên từ định nghĩa infimum ta suy ra rằng F low 1 Vậy khi kết hợp với (9) ta có F low =1
5 Kết luận
Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng công thức tường minh cho các biên khung dưới tối ưu, biên khung trên tối ưu trong không gian Hilbert tổng quát và đưa ra ví
dụ áp dụng cho công thức này
Lời cám ơn: Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS
Nguyễn Nhụy, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã đưa ra các chỉ dẫn để viết bài báo này
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Christensen, H., What is a Frame?, Notices the AMS, Volume 60,
Number 6, 2016
[2] Christensen, O., An Introduction to Frame and Riesz Bases, Second
Edition, Birkhaeuser, 2015
[3] Hernandez, E., Weiss, G., A First Course on Weiveles, Boca Raton,
New York, 1996
[4] Heuser, H., Functional Analysis, Wiley, New York, 1982 [5] Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2015
[6] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, Đại học Quốc gia Hà Nội,
2003
(BBT nhận bài: 24/12/2018, hoàn tất thủ tục phản biện: 25/01/2019)