Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình H giới hạn bởi trục 0x và đồ thị C khi H quay quanh truïc 0x.[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán )
Hàm số bậc ba : y ax 3bx2cx d
Hàm số bậc bốn : y ax 4bx2c Hàm số y ax b
cx d
c0,ad bc 0
Tập xác định : D = R
Đạo hàm : y’=
y’= 0 x = ?
Bảng biến thiên :
Các khỏang đồng biến , nghịch biến , điểm
cực đại , điểm cực tiểu
y’’=
y’’= 0 x = ?
Bảng xét dấu y’’:
Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn
Vẽ đồ thị :
Tập xác định : D = R\ d
c
Đạo hàm : y’=
ad bc
cx d
y' 0 ( hoặc y’<0 ) , x D
y’ không xác định x d
c
Tiệm cận :
Tiệm cận đứng : x d
c
.Tiệm cận ngang : x a
c
Bảng biến thiên :
Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) Hàm số không có cực trị
Vẽ đồ thị :
Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số :
a/ y= x32x2 x 1 b/ y= x3 3x23x1 c/ y= 1 4 3 2 d/ y=
4x 2x
x x
e/ y= 4 f/ y = g/ h/
2 x
3 2
x x
2 2 2 1
y
x
1
x x y
x
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Chú ý :
y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 )
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a
Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) =
a
1
Bài tập :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2tại giao điểm của nó với trục hoành
1
x x
3/ Cho hàm số y = 2 3 1 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
3
2
3
x
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ;y0 ) là:
y – y 0 = y’ (x 0 ) ( x – x 0 )
Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) Nếu biết một trong ba số đó
ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 )
Trang 2a/ Tại điểm có hoành độ x0 =
2 1
b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1
4/ Cho hàm số y = x42x23 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung
b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1
Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) ,
Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).
Cách giải :
Bài 1: Cho hàm số :y=x3-3x2+3mx+3m+4, có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C0), khi m=0
2) Dựa vào đồ thị (C0), biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x3-3x2+4-a=0
3) Tìm m để (Cm) cắt trục 0x tại 3 điểm phân biệt Đs:m ( ;0) \ 3
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C0) tại M, biết xM=3 Đs:y=9x-23
5) Viết phương trình tiếp của (C0), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (a):y=9x+2
Đs: y=9x-23, y=9x+9
BTVN: : Cho hàm số :y= -x3+mx2+(m-3)x-4, có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C3), khi m=3
2) Dựa vào đồ thị (C3), biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x3-3x2+4-a=0
3) Tìm m để (Cm) cắt trục 0x tại 3 điểm phân biệt Đs:m<-5 hoặc m>3 và m 6
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C3) tại M, biết xM=3 Đs:y= -9x+23
5) Viết phương trình tiếp của (C3), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (a):y= x+2.1
9
Đs: y= -9x+23, y= -9x-9
6) Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục 0x Đs: m= -6, m= -5, m=3
7) Một đường thẳng (d) đi qua N(-1;0) và có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C3) Bài 2 Cho hàm số y=x4-4x2+3, có đồ thị (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Tìm a để y= -2x2 +a tiếp xúc (C)
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x
4 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-4x2-m2+3m+4=0
BTVN: Cho hàm số y= -x4+4x2-3, có đồ thị (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2) Tìm a để y= -2x2 +a tiếp xúc (C)
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x
Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m)
Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả :
( Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn
Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm
Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ).
Trang 34) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-4x2-m2+3m+4=0
5) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình (H) giới hạn bởi trục 0x, đồ thị (C) quay quanh trục 0x
Bài 3: Cho hàm số 1 4 2,(C)
4
y x x
1 Khảo sát và vẽ (C)
2 Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4-4x2+4a2-4=0
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục 0x
4 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình (H) giới hạn bởi trục 0x và đồ thị (C) khi (H) quay quanh trục 0x
Bài4:Cho hàm số y= 2 ,( )
mx
C
x m
1 Khảo sát và vẽ (C0), khi m=0
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C0), biết tiếp tuyến vuông góc với (a):2x-y+3=0
3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng (H) giới hạn bởi (C0), x= ( <0), x=0, trục 0x
quay quanh trục 0x Tìm để V 0x=2
4 Tìm m để (Cm) giảm trên từng khoảng xác định
BTVN: Cho hàm số y=mx 2,(C m)
mx m
1 Khảo sát và vẽ (C1), khi m=1
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C1) được kẻ từ A(-3;0)
3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), biết tiếp tuyến vuông góc với (a):x+3y+2005=0
4 Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C1) được kẻ từ M(-1;1)
5 Chứng minh đồ thị nhận điểm M làm tâm đối xứng
6 Tìm m để (Cm) tăng trên từng khoảng xác định
5 Tìm m để (Cm) tăng trên khoảng (-1;+ ).
Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài toán: Tìm giátrị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên
Tính y’
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
Kết luận :
;
a b y y
hoặc
;
min CT
a b y y
Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 a b;
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , kết luận :
;
max
a b y M Chọn số nhỏ nhất m , kết luận :
;
min
a b y m
Bài tập
5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng :
a/ f x 2x33x212x1 trên 2;5 b/ trên
2
c/ 1 4 trên e/ trên
2
f x x
x
2
; 0
f/ y (x2) 4x2 trên tập xác định g/ y = x3 + 3x2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ] h/ y = x + 2 1 trên m/ y= trên
1
2