Số nghiệm phương trình 1 chính là số giao điểm của C với d nên dựa vào đồ thị kết luận nghiệm của phương trình đã cho.... Giáo viên :Ngụy Như Thái.[r]
Trang 1Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN –VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) Ta có:
a) Điều kiện đủ:
* f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)
* f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)
b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f’(x) 0 trên khoảng (a ; b)
- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) f'(x)0trên khoảng (a ; b)
2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính y’, giải phương trình y’ = 0
- Lập bảng xét dấu y’
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn
đúng
Cần nhớ: Định lí về dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c
Nếu 0 thì f(x) = ax2 + bx + c luôn cùng dấu với a
Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a
a
b x
2
Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có bảng xét dấu sau:
x - x 1 x2 +
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
Đặc biệt: +
0
0 0
)
f
+
0
0 0
)
f
+ af()0 f(x)0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < < x 2
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x0(a;b)
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) x(x0 h ;x0 h) và xx0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) x(x0 h;x0 h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0
* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
K \{x0}, với h > 0 Khi đó:
a) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x)
)
; ( , 0 ) ( '
)
; (
, 0 ) ( '
0 0
0 0
h x x x x
f
x h x x x
f
b) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)
)
; ( , , 0 ) ( '
)
; (
, 0 ) ( '
0 0
0 0
h x x x x
f
x h x x x
f
* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0 Khi đó:
a) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x)
0 ) (
"
0 ) ( '
x f
x f
b) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x)
0 ) (
"
0 ) ( '
x f
x f
Trang 2* Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
Quy tắc 1:
1 Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định
3 Lập bảng biến thiên
4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Quy tắc 2.
1.Tìm TXĐ
2 Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó
3 Tính f”(x) và f”(xi)
4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
- Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu : f(x)M,xD vàx0 D: f(x0)M
Kí hiệu : M = max f(x)
D
- Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu : f(x)m,xD vàx0D: f(x0)m
Kí hiệu : m = min f(x)
D
* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại max ( ),min ( )
] [ ]
b b
* Cách tìm :
1 Tìm các điểm x1, x2, … , xn trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
2 Tính f(a), f(x1), ……., f(xn), f(b)
3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có : M = max ( ), min ( )
] [ ]
b
4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
a) Tiệm cận đứng.
x x f x x x f x
x x f x x x f x
thì đường thẳng x = x 0 là tiệm cận đứng của (C).
b) Tiệm cận ngang.
Nếu lim f(x) y0 hoặc thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C)
5 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1)Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
1) Tập xác định: D ?
2) Sự biến thiên
Chiều biến thiên
y' ?
y' 0 x ?
(Lập bảng biến thiên sơ lượt ngoài giấy nháp để hs thuận tiện khi kết luận)
+ Kết luận về chiều biến thiên của hàm số
Cực trị
+ Kết luận về cực trị của hàm số
Các giới hạn –tiệm cận
Bảng biến thiên (đầy đủ mọi chi tiết)
Trang 32/.Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0)
Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt
2
-2
O
2
-2
Pt y’ = 0 có
2
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
4
2
3/ Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
Pt y’ = 0 có
một nghiệm
2
-2
Trang 44/ Hàm số y = ( 0, 0)
bc ad c
d cx
b ax
4
2
4
2
-2
6 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
1/ Giao điểm của hai đồ thị.
Cho hai đồ thị (C1) y=f(x) và (C2) y=g(x)
Khi đó phương trình f(x)=g(x) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm
Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (1) bằng số giao điểm của (C1) và (C2)
Nếu (1) vô nghiệm : Không có điểm chung
1 nghiệm đơn : Cắt nhau
n nghiệm : n giao điểm
1 nghiệm kép : tiếp xúc
* Đặc biệt: điều kiện tiếp xúc của (C1) và (C2) là hệ phương trình
( ) ( ) có nghiệm
'( ) '( )
f x g x
f x g x
2)Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
Giả sử cần biện luận số nghiệm của phương trình F(x,m)=0 (1) trong đó đồ thị (C) của hàm số y=f(x) đã vẽ
a Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x)=g(x,m) Thông thường y=g(x,m) là phương trình của một đường thẳng d Đặc biệt, y=g(m) là đường thẳng song song với trục Ox
và cắt Oy tại g(m)
b Số nghiệm phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) với d nên dựa vào đồ thị kết luận nghiệm của phương trình đã cho
3/ Tiếp tuyến.
a) Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C)
Phương trình là : y = y’(x0)(x – x0) + y0
b) Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M0(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là :
y = y’(x0)(x – x0) + y0 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 và y0
Trang 54)Biến đổi đồ thị:
Một số dạng hàm chứa dấu trị tuyệt đối thường gặp được suy ra từ đồ thị (C) của hàm số y f x( ).
a Đồ thị (C1) của hàm số y f x( ) được suy từ (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thi (C) ứng với y0(Phần phía trên trục Ox)
- Lấy đối xưng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y<0(phần phía dưới trục Ox)
b Đồ thị (C2) của hàm số y f x( )được suy ra từ (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x0(phân bên phải trục Oy)
- Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa giữ lại đó.
c Đồ thị (C3) của hàm số y f x( ) được suy ra từ (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với y0(phần nằm phía trên trục Ox)
- Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa giữ lại đó.
I Hàm số bậc 3 :
4 Tìm m đề pt :x33x2 m 3 0 có 3 nghiệm phân biệt
4 Viết pttt của đồ thị (C) biết tt song song với đt d : y = -9x+2011
5 Tìm m đề pt : x3 3x2 2m1 có 4 nghiệm phân biệt
3) Viết pptt của (C) biết tt vuông góc với đt d :y = (1/12)x-2100
4 ) Tìm m đề pt : 2x33x2 1 3m có 4 nghiệm phân biệt
Bài 1: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0
Bài 2 ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 m là tham số
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
Trang 6
Bài 4: (3 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 4
2 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (Cm): y = x3 – 3x2 – m cắt trục hoành
Ox tại ba điểm phân biệt.
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tâm đối xứng của đồ thị
Bài 6: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3 2 x có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành
3 Dựa vào đồ thị (C), định m để phương trình x3 3 2 x m 0 có ba nghiệm phân biệt
3
y x x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x3 6 1x2 m Bài 8: ( 3,0 điểm ) Cho hàn số y = x3 + 3x2 + 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:
x3 + 3x2 + 1 =
2
m
Bài 9 ( 3 điểm): Cho hàm số : y x3 3 x2 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2 Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo m số nghiệm phương trình:
1
3 2
x
Bài 10: (3.0 điểm ) Cho hàm số y x33x21 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình x33x2 k 0có đúng 3 nghiệm phân biệt
2.Hàm trùng phương:
Trang 7Bài 2: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 1 4 2 2 cú đồ thị (C)
1
y x x
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C)
2 Dựng đồ thị (C ), biện luận theo số nghiệm thực của phương trỡnh m
2 2 ) 1 (x2 2 m
Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2x2 +3, cú đồ thị là ( C )
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Oy
4
y= x - x +
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị( )C hàm số trờn
2 Từ( ),C tỡm m để phương trỡnh - +x4 8x2+ =m 0 cú 4 nghiệm phõn biệt
Bài 5: (3,0 điểm):
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x 42x23
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cú tung độ bằng 3
Bài 6: ( 3 điểm )
2
- x + 2x + 3 (C)
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Tìm m để Phương trình x4 - 4 x2 + =m 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: ( 3 điểm )
Cho hàm số y = x4 - 3x + 2 5 (1)
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 Bài 8: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = x + 2(m+1)x + 1 4 2 (1)
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm m để hàm số có 3 cực trị
4
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
3x 6x m 0 (*)
Bài 10: (3,5 điểm) Cho haứm soỏ y = x4 – 2x2 + 1 coự ủoà thũ (C)
1) Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ
2) Duứng ủoà thũ (C), bieọn luaọn theo m soỏ nghieọm cuỷa pt : x4 – 2x2 + 1 - m = 0
3) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (C) bieỏt tieỏp tuyeỏn ủi qua ủieồm A(0 ; 1)
3.Hàm hữu tỷ:
Bài 1
Trang 8Bài 1 : (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2, cú đồ thị là (C)
1
x y x
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cú tung độ bằng -2
1 x
x 2 3 y
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt đồ thị (C) của hàm số đó cho tại hai điểm phõn biệt
Bài 3: (3,0 điểm)Cho hàm số 2 1 (C)
2
x y x
1.Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) hàm số
2.Tỡm phương trỡnh tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) và cú hoành độ xo= 1
3
3 2
x
x y
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2 Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung Tỡm phương trỡnh tiếp tuyến của ( C ) tại A Bài 5 (3 điểm) Cho hàm số
1
1 2
x
x
1/ Khảo sỏt hàm số và vẽ (C) 2/ Viết phương trỡnh đường thẳng qua M(1 ; 0) cắt (C) tại hai điểm A, B nhận M làm trung điểm
1
x y x
1 Khảo sỏt hàm số (1) 2.Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1)
Bài 7: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y 2x 1 cú đồ thị (C)
x 1
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C)
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(2;5) Câu 8.( 3,0 điểm)
3
x y x
2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Bài 9: (3,5 điểm)
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
x
x y
1 1
2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C).Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;2) Bài 10: ( 3 điểm) Cho hàm số y3x2