Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” aNếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với [r]
Trang 1ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC
CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG – QUY NẠP
A Tóm tắt lý thuyết
1 Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng
Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “xX , P(x) Q(x)”
2 Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” Khi đó
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
3 Chứng minh phản chứng đinh lý “xX , P(x) Q(x)”:
Giả sử Q(x) sai, Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến P(x) sai (mâu thuẫn gt)
4: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” Khi đó P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
Ví dụ:
1 Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ”
a) Hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc
b) Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
c) Nếu a b 0 thì ít nhất một trong 2 số a, b là số dương
2 Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Cho n là số nguyên dương Nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
b) Với n là số nguyên dương , nếu n2 là số lẻ thì n là số lẻ
c) Nếu bỏ 25 quả bóng vào 6 cái rổ thì có ít nhất 1 cái rổ đựng nhiều hơn 4 quả bóng
HD: a) Giả sử n không chia hết cho 3 không chia hết cho 3(!)
n 3 3k 2k 1
n 3k 1
2 n
b) Giả sử n 2k n2 4k2 n2là số chẳn(!)
c) Giả sử không có rổ nào chứa nhiều hơn 4 quả bóng cả 6 rổ chứa tối đa 24 quả bóng (!)
3 Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c) Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau
B Chứng minh quy nạp: Chứng minh mệnh đề r(n)đúng với n p; n;p N Gồm các bước:
1 Chứng tỏ mệnh đề đúng với n p
2 Giả sử mệnh đề r(k) đúng (ta được xemr(k)là giả thiết trong quá trình chứng minh )
3 Cần chứng minh mệnh đề r(k 1) đúng
Ví dụ:
1 Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có:
a) n 3 11n chia hết cho 6 b)1.2 2.5 n(3n 1) n n 1 2
2 Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n 2 ta có:
HD: 1.a) Đặt r(n) n 3 11n
- Khi n 1 , ta thấy r(1) 12 6
- Giả sử r(k)đúng, tức là k3 11k 6 hay k3 11k 6q (*)
- Cần chứng minhr(k 1) đúng, tức là cần chứng minh 3
k 1 11 k 1 6
r(k 1) k 1 11 k 1 k 3k 3k 1 11k 11 k 11k 3k k 1 12 6 q 2 3k k 1
Mà k k 1 2 nên 3k k 1 6
Lop11.com
Trang 21.b) - Khi n 1 , ta thấy (*) 2 2
- Giả sử (*) đúng với n k 2 , tức là 1.2 2.5 k(3k 1) k k 1 2
- Cần cm (*) đúng với n k 1 đúng, tức là cần cm: 1.2 2.5 k(3k 1) k 1 (3k 2) k 1 2 k 2
1.2 2.5 k(3k 1) k 1 (3k 2) k k 1 k 1 (3k 2) k 1 k 3k 2 k 1 k 2
2.a) - Khi n 2 , ta thấy 1 1 2
2
- Giả sử (*) đúng với n k , tức là 1 1 1 1 k
- Cần cm (*) đúng với n k 1 đúng, tức là cần cm: 1 1 1 1 1 k 1
2.b) - Khi n 2 , ta thấy 1 1 2
2
- Giả sử (*) đúng với n k 2 , tức là 1 1 1 k1 k
- Cần cm (*) đúng với n k 1 đúng, tức là cần cm: 1 1 1 k1 k 11 k 1
Thật vậy 1 1 k1 k 11 k k 11 k 1(do 1)
1 1; k 2
2 1
Lop11.com
Trang 3BÀI TẬP
1 Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c) số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d) Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau
2 Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu abc thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
d) Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó đều chia hết cho 3
e) Nếu a.b.c 0 thì ít nhất trong 3 số a, b, c có một số dương
f) Trong 16 số nguyên tùy ý phân biệt luôn có ít nhất 2 số sao cho hiệu của chúng chia hết cho
15
g) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng định lý : Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n2+5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5
3 Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, khi đó phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”
4 Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có:
1 2 n
4
1 2 n
6
c) 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1) 2 d) 1 1 1 n
1.2 2.3 n(n 1) n 1
e) n 3 2nchia hết cho 3 f) 3 2n 1chia hết cho 8
g) 4 n 15n 1 chia hết cho 9 h) Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 i) 1 3 5 (2n 1) n 2 j)2 4 6 2n n(n 1)
Lop11.com
Trang 4HD:
2.a) Giả sử: a2 +b2 + c2 ab + bc + ca 2 2 2
2.b) Giả sử cả a, b đều không chia hết cho 7 a 7p n a.b 7k m.n, với
b 7q m
Ta thấy m.n 7h r , trong đó r 1;2;4;6 nên a.b không chia hết cho 7(!)
2.d) TH1: Giả sử có ít nhất 1 số không chia hết cho 3
2 2
a 3k 2 a 3n 1
(!)
a b 3m 1 9l 3n 1
a b 3n 2 9l 3h 1
TH2: Giả sử cả 2 số a, b đều không chia hết cho 3 thì a ,b 2 2đều có dạng 3m 1 nên a 2 b 2 3n 2 (!)
2.f) NX: Ta thấy nếu 2 số nguyên khi chia cho 15 có số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết
cho 15 Thật vậy: Nếu a 15k r a b 15(k l) 15
b 15l r
Giả sử không có 2 số nguyên nào mà hiệu của chúng chia hết cho 15, có nghĩa là trong 16 số nguyên đó không có 2 số nào có số dư bằng nhau khi chia cho 15
Mà một số chia cho 15 có số dư có thể là: 0, 1, , 14 nên có 15 số dư khác nhau (trái gt do ta có 16 số) Vậy phải có ít nhất 2 số nguyên có số dư bằng nhau khi chia cho 15
Lop11.com