Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất trừu tượng, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ và nhìn hình khô[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A Đặt vấn đề:
Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được chuẩn kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn
Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phân môn của toán học phổ thông,trong đó vấn đề giảng dạy và kỹ năng giải toán hình học
không gian cổ điển của thầy và trò còn nhiều điều cần nghiên cứu Chương Khối đa
diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất trừu tượng, có
nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập toán còn nhiều hạn chế
…
Xuất phát từ thực tế trên và qua nhiều năm giảng dạy môn hình học không gian cổ điển tương đối có kết quả , nay tôi xin đề nghị một phương pháp để dạy luyện tập bài tập chương khối đa diện trong các tiết bài tập và tự chọn trên lớp hay tăng tiết của lớp (trên cơ sở chuẩn kiến thức và bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỹ năng giải toán
về khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh ,nhất là học sinh trung bình - yếu kém lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất
I Cơ sở lí luận:
Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy các
tiết dạy luyện tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện
Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản hình học của lớp dưới ,các kỹ năng phân tích đề bài và hình vẽ không gian để từ đó suy luận ra quan hệ giữa kiến thức củ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẻ làm , hình thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo
Các tiết dạy bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh , kích thích óc tìm tòi , sáng tạo của học sinh
Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức
cơ bản nhất nhất , và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài toán Từ đó học sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với môn hình học không gian
II.Cơ sở thực tiển:
Trong quá trình giảng dạy hình học không gian, tôi thấy đa số học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu ,thậm chí không vẽ được một hình đơn
giản Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình
hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó,
đặc biệt quá phức tạp đối với học sinh trung bình ,yếu kém dẫn đến học sinh có tư tưởng
Trang 2Do đó dạy bài tập toán, đặc biệt với chương này giáo viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẩn,sinh động , gây hứng thú cho học sinh ,giáo viên cần tìm tòi, sáng tạo để soạn bài tập trên cơ sở chuẩn kiến thức và sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rỏ ràng và giải thuật ngắn gọn hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức
cơ bản của bài học, hình thành phương pháp, kĩ năng, kỹ xảo giải các bài toán hình không gian và lĩnh hội kiến thức mới bền vững , từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong các kỳ thi
Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương, phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện đều Tất cả học sinh rèn được kỹ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản Trên cơ sở
đó học sinh nắm được kiến thức cơ bản và rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện
Thời gian thực hiện:
Các tiết bài tập theo phân phối chương trình và tự chọn ( hay các tiết bồi dưỡng,
phụ đạo , )
Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo chương trình chuẩn hay nâng cao
Các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh:
+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác và tứ giác,
+ Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 còn rất hạn chế
+ Kỹ năng tư duy phân tích giã thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian và hình học phẳng còn quá yếu
+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian quá kém
III Phương pháp luyện tập tổng quát môn hình học không gian cổ điển:
1 Mục đích yêu cầu:
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác thường, tam giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân, hình vuông, chữ nhật …
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng đã học ở lớp 11
+ Hệ thống bài tập được phân loại theo khối đa diên và các dạng thông dụng trong các kỳ thi : bài tập được soạn ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để và tinh giản các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp soạn thêm bài tập bằng cách sắp xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp trên cơ sở yêu cầu của chuẩn kiến thức
+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài ta cần thay đổi một số giả thiết :về độ dài của một cạnh,về góc giữa đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng và góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng .để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó phải bổ sung thêm những câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư duy phức tạp của bài toán hoặc soạn lại đơn giản hơn theo yêu cầu bài tập đó
+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước
từ đơn giản đến phức tạp có mục đích cũng cố trọng tâm của bài học
Trang 3+ Dạy xong các dạng bài tập ,giáo viên giao bài tập vừa sức, tương tự về nhà cho các học sinh tự rèn luyện các kỹ năng xây dựng hình không gian và các giải thuật toán học
Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu
cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có
hứng thú trong môn học hình không gian cổ điển và đạt kết quả tốt trong các
kỳ thi cuối năm
2 Phương pháp luyện tập đối với một bài tập hình học không gian :
Giáo viên dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh đối với bài tập, để từ đó có bước ôn tập các kiến thức cần thiết cho học sinh trước khi giáo viên hướng dẩn học sinh thực hiện giải bài luyện tập
Giáo viên hướng dẩn luyện tập học sinh phân tích đề bài để dựng hình
Trên cơ sở hình đã vẽ,giáo viên hướng dẩn ,luyện tập học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ hơn,đơn giản hơn và phải thực hiện giải thuật theo một thứ tự hợp suy luận logic của hình đã vẽ
Sau khi thực hiện xong một bài tập, giáo viên phải củng cố các kiến thức toán học quan trọng nào của bài tập yêu cầu học sinh khắc sâu và để vận dụng cho các bài tập khác
Trang 4c b
a
M
B A
B Nội dung thực hiện:
I Ôn tập kiến thức cơ bản:
ÔN TẬP 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABCvuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago : BC2 AB2 AC2
b) BA2 BH.BC; CA2 CH.CB
c) AB AC = BC AH
AC AB
AH
e) BC = 2AM
f) sinB b, osc B c, tanB b,cotB c
g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = ,
sin cos
B C
b = c tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
* Định lý hàm số Sin: 2
R
3 Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
2
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
2
a b c
p
Đặc biệt :*ABC vuông ở A : 1 ,* đều cạnh a:
2
S AB AC ABC
2 3 4
a
S
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn)1
2 d/ Diện tích hình thang : 1(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
S e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn : S R2
Trang 5ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt
phẳng gọi là song song
với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung
a/ /(P) a (P)
a
(P)
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường
thẳng a nằm trên mp(P)
thì đường thẳng d song
song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
d
a (P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a
song song với mp(P) thì
mọi mp(Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a
a / /(P)
(P) (Q) d
d
a (Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau cùng song song
với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng
song song với đường
thẳng đó
(P) (Q) d (P) / /a d / /a (Q) / /a
a d
Q P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi
là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung
(P)/ /(Q) (P) (Q)
Q P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì
(P) và (Q) song song với
nhau
a,b (P)
a / /(Q),b / /(Q)
I b a
Q P
Trang 6ĐL2: Nếu một đường
thẳng nằm một trong hai
mặt phẳng song song thì
song song với mặt phẳng
kia
(P) / /(Q) a / /(Q)
a (P)
a
Q P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) song song thì
mọi mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì phải cắt (Q) và
các giao tuyến của chúng
song song
(P) / /(Q) (R) (P) a a / /b (R) (Q) b
a R
Q P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được
gọi là vuông góc với một
mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó
a mp(P) a c, c (P)
a
II Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b
cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc
với mp(P)
d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P) a,b caét nhau
d
P
ĐL2: (Ba đường vuông
góc) Cho đường thẳng a
không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng b
nằm trong (P) Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b
vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu
a’ của a trên (P)
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
a'
a
b P
Trang 7§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900
II Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt
phẳng chứa một đường
thẳng vuông góc với một
mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc
với nhau
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
Q
P a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đường
thẳng a nào nằm trong
(P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt
phẳng (Q)
(P) (Q)
a (P),a d
P a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm
trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)
(P) (Q)
A a
a (Q)
A
Q
P a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng
cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba
(P) (Q) a
(Q) (R)
a
R
Q P
Trang 8§3.KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a H
O
H
O
P
2 Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P)
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó
A
b a
Trang 91 Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng
phương với a và b
b' b
a' a
2 Góc giữa đường thẳng a không
vuông góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên mp(P)
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng a và mp(P) là 900
a
3 Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với
giao tuyến tại 1 điểm
b a
Q P
4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì
S' Scos
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng
(P),(P’)
B A
S
Trang 10h
a b c
a a a
B h
ƠN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với B : diện tích đáy
h : chiều cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
V= Bh 1
3 với B : diện tích đáy
h : chiều cao
3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta cĩ:
SABC
SA ' B' C '
C'
B' A'
C B
A
S
4 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
V hB B' BB'
3
với B, B' : diện tích hai đáy
h : chiều cao
B A
C
C'
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a 2,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d = a2 b2 c2 ,
Trang 113a
C' B'
A'
C
B A
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
II/ Bài tập:
Nội dung chính
Bài tập soạn trong các tiết dạy được phân loại theo các dạng thông dụng trong các
kỳ thi tốt nghiệp THPT và trên cơ sở chuẩn kiến thức đối với học sinh trung bình yếu,
đi từ dễ đến khó để đạt được yêu cầu thi tốt nghiệp THPT
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại
A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập:
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ đứng tam giác
+ Học sinh không xác định được cạnh tam giác vuông cân
+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tam giác vuông đáy ABC hay A'B'C'
+ Dựng các cạnh bên lăng trụ đứng
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích từ V = B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
+Tìm diện tích đáy ABC thì phải dùng công thức nào ? tìm cạnh nào ? tại sao ?
+Tìm chiều cao AA' của lăng trụ phải dùng tam giác nào bởi định lí gì ?
a 2
Lời giải:
Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng AA' AB
AA'BAA' A'B AB 8a
AA' 2a 2
Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23