Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương III: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

[r]

CHƯƠNG III

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2

2

2

2

a cot g u b cot gu c 0 a 0≠

Cách giải:

Đặt : t sin u= hay t cos u= với t ≤1

(điều kiện

2

π

≠ + π) (điều kiện

Các phương trình trên thành: at2 +bt c 0+ =

Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t

Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u

Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002)

Tìm các nghiệm trên (0,2π) của phương trình

( )

cos 3x sin 3x

1 2sin 2x

+

Điều kiện: sin 2x 1

2

≠ −

Ta có: sin 3x cos 3x+ = (3sin x 4 sin x− 3 ) (+ 4 cos x 3cos x3 − )

3 cos x sin x 4 cos x sin x

cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x

cos x sin x 1 2sin 2x

Lúc đó: (*) ⇔ 5 sin x⎡⎣ +(cos x sin x− )⎤⎦ = +3 (2cos x 12 − )

1

do sin 2x

2

2

2cos x 5cos x 2 0

( )

1 cos x

2 cos x 2 loại

⎢

⇔ ⎢

=

⎢⎣

x

3

π

⇔ = ± + k2 (nhận do π sin 2x 3 1

= ± ≠ − )

Do x∈(0,2π) nên x x 5

Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005)

Giải phương trình: cos 3x.cos 2x cos x 0 *2 − 2 = ( )

Ta có: (*) 1 cos 6x.cos 2x 1 cos 2x 0

cos6x.cos2x 1 0

Cách 1: (**) ⇔(4 cos 2x 3cos 2x cos 2x 1 03 − ) − =

=

4 cos 2x 3cos 2x 1 0

2 2

cos 2x 1

1 cos 2x vô nghiệm

4

⎢

⎢⎣

sin 2x 0

k

2

π

2

( )

2

cos 8x cos 4x 2 0

2cos 4x cos 4x 3 0

cos 4x 1

3

2

=

⎡

⎢

⇔

⎣

=

k

2

π

Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực:

(**) cos 6x cos 2x 1

cos 6x cos 2x 1

⎡

⎣

Cách 4: cos 8x cos 4x 2 0+ − = ⇔cos 8x cos 4x 2+ =

⇔cos 8x cos 4x 1 ⇔= = cos 4x 1 =

Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)

Giải phương trình: cos x sin x cos x4 4 sin 3x 3 0

Ta có:

(*)

(sin x cos x2 2 )2 2sin x cos x2 2 1 sin 4x sin 2x 3 0

[ ]

2

1sin 2x 1 1 2sin 2x 1sin 2x 1 0

2

sin 2x sin 2x 2 0

( )

sin 2x 1

sin 2x 2 loại

=

⎡

⎣

π

π

] ]

2

4

Bài 59: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2004)

Giải phương trình: 5 sin x 2 3 1 sinx tg x− = ( − ) 2 (*) Điều kiện: cosx 0≠ ⇔ sin x ≠ ±1

Khi đó: (*) 5sin x 2 3 1 sin x( )sin x22

cos x

( ) sin x2 2

5sin x 2 3 1 sin x

1 sin x

−

2

3sin x 5sin x 2

1 sin x

+

2

2sin x 3sin x 2 0

1 sin x nhận dosin x 1

2 sin x 2 vô nghiệm

⎢

⇔ ⎢

= −

⎢⎣

±

5

Điều kiện: sin 2x 0≠

Lúc đó: (*) 2 sin 3x cos3x( ) 1 1

sin x cos x

2 3 sin x cos x 4 sin x cos x

sin x cos x

2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x

sin x cos x

+

sin x cos x

(sin x cos x 4 sin 2x) 2 2 0

sin 2x

2

sin x cos x 0

nhận so vớiđiều kiện 1

sin 2x 1 sin 2x

4 sin 2x 2sin 2x 2 0

2

= −

⎡

⇔ x= − + π ∨k 2x = +k2π ∨2x = − +k2π ∨2x = 7 +k2 , kπ ∈ ]

⇔ = ±x + π ∨ = −k x + π ∨ =k x 7 + πk , k∈ ]

= +

2

cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1

1 *

1 sin 2x

4

π

≠ − ⇔ ≠ − + π Lúc đó:

(*) ⇔ 2sin x cos x 3 2 cos x 2cos x 1 1 sin 2x+ − 2 − = +

2

2cos x 3 2 cos x 2 0

⇔ cos x = 2 hay cos x = 2 vô nghiệm

2

4

x k '2 loại do điều ki

4

π

⎡ = + π

⎢

⇔ ⎢

π

4

π

Bài 62: Giải phương trình:

( )

Ta có: (*) 1cos x cos 2x cos x( ) 1sin x cos 2x cos x( )

1 2

2

cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1

cos 2x cos x sin x 1 cos x sin x cos x

cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x

(cos x sin x cos 2x sin x)( ) 0 * *( )

(cos x sin x 1 2sin x sin x) ( 2 ) 0

2

cos x sin x

2sin x sin x 1 0

= −

⎡

⇔ ⎢

⎣

tgx 1

sin x 1

1 sin x

2

⎡

⎢

⎢

=

⎢

⎣

4

2

5

π

⎡ = − + π

⎢

⎢

π

⎢

⎢⎣

Z

2

π

Bài 63: Giải phương trình: 4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *3 + = ( )

Ta có: (*) ⇔ 4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 03 + − =

cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0

cos x 2 1 sin x⎡ 3 2 sin x 4⎤ 0

2

cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0

cos x 0

2 sin x

2 sin x 2 vô nghiệm

=

⎡

⎢

⎢

⎢

=

⎢⎣

2

4

3

Bài 64: Giải phương trình:

(*) 2cos 2x.cos 4 sin x 2 2 1 sin x( )

4

π

2 2

⇔2 sin x2 −(2 2 1 sin x+ ) + 2 0= ⎡ = ( )

⎢

⎢⎣

sin x 2 loại

1 sin x

2

⇔ x = π +k2 hay xπ = 5π +k2 , kπ ∈ ]

Bài 65: Giải phương trình : 3 cot g x 2 2 sin x2 + 2 =(2 3 2 cos x *+ ) ( )

Điều kiện: sin x 0≠ ⇔ cos x ≠ ±1

Chia hai vế (*) cho sin x2 ta được:

Đặt t cos x2

sin x

= ta được phương trình:

2

2

3

* Với t 2

3

= ta có: cos x2 2

3 sin x =

( )

2 2

3cos x 2 1 cos x

2cos x 3cos x 2 0

cos x 2 loại

1

2

⎢

3

π

* Với t = 2 ta có: cos x2 = 2

sin x

( )

⎢

⇔ ⎢

⎢⎣

π

2 2

cos x 2 loại

2

2

4

Bài 66: Giải phương trình: 4 sin 2x 6 sin x 9 3 cos 2x 0 *2 + 2 − − = ( )

cos x

Điều kiện: cos x 0≠

Lúc đó:

(*) ⇔ 4 sin 2x 6sin x 9 3cos 2x 02 + 2 − − =

( 2 ) ( )

2

4 cos 2x 6cos 2x 2 0

1 cos 2x 1 cos 2x

2

2

cos x 0 loại dođiều kiện

1 cos x nhận do cos x 0

2

2

⎢

⎢⎣

Bài 67: Cho f x( ) sin x 1sin 3x 2sin 5x

Giải phương trình: f ' x( )= 0

Ta có: f ' x( )= 0

cos x cos 3x 2cos5x 0 cos x cos5x cos 3x cos5x 0 2cos3x cos 2x 2cos 4x cos x 0

4 cos x 3cos x cos 2x 2cos 2x 1 cos x 0

⇔ ⎢

=

⎢⎣

⇔ ⎢

=

⎣

±

2 2

4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0

cos x 0

4 cos 2x cos 2x 1 0 cos x 0

8

=

=

Bài 68: Giải phương trình: sin x cos x8 8 17cos 2x *2 ( )

16

Ta có:

( )

2

2 2

2

1

8

1

8

Do đó:

( )

⎢

=

⎢⎣

π

2 2

1

8

2 sin 2x sin 2x 1 0

1 cos 4x

sin 2x

2

8

=

2

Bài 69: Giải phương trình: sin5x 5cos x.sin3 x( )*

Nhận xét thấy: cosx 0 x k2 cos x 1

Thay vào (*) ta được:

π

5

⎟

⎠, không thỏa ∀k

Do cosx

2 không là nghiệm của (*) nên:

( )* ⇔sin5x.cosx = 5 cos x.sin cos2 x x

x

2 ≠

1 sin 3x sin 2x 5cos x.sin x

2

3sin x 4 sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x

2

x

2

3 4 sin x 2cos x 5cos x sin x 0

⎪

⇔ ⎨

x

2

x

2

⎪⎪

⇔ ⎨

( ) ( 2 )

cos x 1

x

2

≠ −

⎧

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

≠ −

⎧

⎪

⎡

⎪⎢

=

⎪⎢

⎪

⎪⎢

⎪⎢

− −

⎪⎢⎣

⎩

cos x 1

cos x 1

10

10

⇔ x k2 hay x= π = ±α +k2 hay xπ = ±β +k2 , k Zπ ∈

Bài 70: Giải phương trình: sin 2x cot gx tg2x( + ) =4 cos x *2 ( ) Điều kiện: cos2x 0≠ và sin x 0≠ ⇔ cos2x 0 cos2x 1≠ ∧ ≠

Ta có: cot gx tg2x cos x sin 2x

sin x cos 2x

cos 2x cos x sin 2x sin x

sin x cos 2x cos x

sin x cos 2x

+

=

=

Lúc đó: (*) 2sin x.cos x cos x 4 cos x2

sin x cos 2x

2

2

cos x 2 cos x

cos 2x

cos 2x 1 2 cos 2x cos 2x 1

cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x

1 cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1

2

π

] ]

3

Bài 71: Giải phương trình: 2cos26x 1 3cos8x( )*

Ta có : (*) ⇔⎛⎜ + ⎞⎟+ = ⎛⎜ ⎞

2

⇔ +2 4 cos34x−3cos4x = ⎜3 2 cos⎛⎝ 2 4x 1⎞⎟⎠

Đặt t cos x điều kiện t 14 ( )

5

Ta có phương trình :

( )

2

Vậy

π

5k

5

−

A A A

π

Bài 72 : Giải phương trình tg x3 tgx 1 *( )

4

π

= − ⇔ = + (*) thành : tg t tg3 t 1 1 tgt 1 với cost 0 tgt 1

−

−

3 2tgt

tg t

1 tgt

2

tg t tg t 2tgt

tgt tg t tg t 2 0

tgt tgt 1 tg t 2tgt 2 0

tgt 0 tgt 1 nhận so điều kiện

4

π

⇔ = π ∨ = − + π ∈]

Vậy (*)

4 π

Bài 73 : Giải phương trình sin 2x cos 2x4 4 cos 4x (*)4

Điều kiện

⎧ ⎛π− ⎞ ⎛π− ⎞≠ ⎧ ⎛π− ⎞

≠

≠

±

Do :

1 tgx 1 tgx

Khi cos2x 0 thì :≠

( )

2

2 2

* sin 2x cos 2x cos 4x

1 2sin 2x cos 2x cos 4x

1

1 sin 4x cos 4x

2 1

2

2 cos 4x cos 4x 1 0

cos 4x 1

1 sin 4x 1 1

cos 4x vô nghiệm

2 sin 4x 0

2sin 2x cos2x 0

sin 2x 0 do cos2x 0

⎢

= −

⎢⎣

, k 2

cos x sin x

Điều kiện : sin2x 0≠

Ta có :

cos2x cosx

sin 2x sin x sin 2xsin x cos2x cosx sin xsin 2x

2sin x cosx 2sin x

+

=

Lúc đó (*) 48 14 14 0

cos x sin x

4 4

48

cos x sin x sin x cos x

+

48sin x cos x sin x cos x

3sin 2x 1 2sin x cos x

1

2

2 2

2

3 1

2

⎢

⇔ ⎢

⎢⎣

1 1 cos4x 1

cos4x 0

2 k

π

Bài 75 : Giải phương trình

sin x cos x 2 sin x cos x cos2x *

4

Ta có : (*)

(sin x 2sin x8 10 ) (cos x 2cos x8 10 ) 5cos2x

4

5 sin x 1 2sin x cos x 1 2cos x cos2x

4 5

sin x.cos2x cos x cos2x cos2x

4 4cos2x sin x cos x 5cos2x

2 2

cos2x 0 hay 4 sin x cos x 5

cos2x 0 hay 4 sin x cos x sin x cos x 5

1

2 cos2x 0 hay 2sin 2x 1(Vô nghiệm )

=

2

π

k

Cách khác: Ta có 4 sin x cos x( 8 − 8 )=5 vô nghiệm

Vì (sin x cos x8 − 8 )≤ ∀1, x nên 4 sin x cos x( 8 − 8 )≤ < ∀4 5, x

Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx

Lúc đó tg2x 2t 2,sin 2x 2t 2 ,cos 2x 1 t2

−

Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)

Giải phương trình

( )

+

2

Điều kiện : sin2x 0 và tgx≠ ≠ −1

Đặt t = tgx thì (*) thành :

2

2 2

1 t

−

+

2t t +

( )

2

2 2

2 2

1 t

1 t 0

−

⎡

− =

⎡

1

Vậy (*) ⇔ tgx 1 x k nhận do sin 2x 1 0( )

4

π

Bài 77 : Giải phương trình: sin 2x 2tgx 3 *+ = ( )

Điều kiện : cos x 0≠

Đặt t = tgx thì (*) thành :

2

1 t+ + =

=

⎡

⎣

π

2

2

2

t 1

4

Bài 78 : Giải phương trình

( )

2

sin 2x

Điều kiện : sin 2x 0≠

Đặt t tgx thì : sin 2x 2t2 do sin 2x 0 nên t 0

1 t

(*) thành : 1 t 8t 2 1 t2 1 t

+

+

+

+

π

π

2

2 2

1 t

1 t

Vậy (*) tgx tg

3

3

Bài 79 : Giải phương trình

(1 tgx 1 sin 2x− )( + ) = +1 tgx *( ) Điều kiện : cos x 0≠

Đặt = tgx thì (*) thành :

(1 t 1) 2t 2 1 t

1 t

+

( ) ( )

2 2

2

t 1

1 t

1

1 t

+

+

= −

⎢

⎣

⇔ = − ∨ =

Do đó (*) ⇔⎡⎢ = − ⇔ = − + ππ = π ∈

=

Bài 80 : Cho phương trình cos 2x −(2m 1 cos x m 1 0 *+ ) + + = ( )

a/ Giải phương trình khi m 3

2

= b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên ,3

2 2

π π

Ta có (*) 2 cos x2 −(2m 1 cos x m 0+ ) + =

[ ]

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩ 2

[ ]

⎪

⇔ ⎨

= ∨ =

⎪

⎩

1

2

a/ Khi m = 3 , phương trình thành

2

b/

( )

)

π

= ∉ −

3 3 Khi x , thì cos x t [ 1, 0

2 2 1

2

3

* có nghiệm trên , m 1, 0

2 2

Bài 81 : Cho phương trình

(cos x 1 cos 2x m cos x+ )( − ) =m sin x *2 ( ) a/ Giải (*) khi m= -2

b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên 0,2

3

π

2 2

=

a/ Khi m = -2 thì (*) thành :

⇔

π

2

cosx = -1

⎤

Nhận xét rằng với mỗi t trên 1 ,1

2

⎣ ⎦ ta chỉ tìm được duy nhất một x trên

2

0,

3

π

Yêu cầu bài toán ⇔2t2 − −1 m 0= có đúng hai nghiệm trên 1 ,1

2

Xét y 2t= 2 −1 P và y m d( ) = ( )

Ta có y’ = 4t

Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên 0,2

3

π

⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên 1 ,1

2

2

− < ≤

Bài 82 : Cho phương trình (1 a tg x) 2 2 1 3a 0 1( )

cos x

a/ Giải (1) khi a 1

2

= b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên 0,

2

π

Điều kiện : cos x 0 x k

2

π

2 2

4a cos x 2cos x 1 a 0

a/ Khi a 1

2

= thì (1) thành : (2cos x 1 cos x) 1 0

2

1

3

π

π

b/ Khi x 0,

2

π

⎛

∈ ⎜⎝ ⎠⎞⎟ thì cos x t= ∈( )0,1

Ta có : (1) ( )

( )

1

2 2a cos x 1 a 2

⎢

⇔ ⎢

= −

⎢⎣

Yêu cầu bài toán ⇔ (2) có nghiệm trên ( )

a 0

⎧

⎪ ≠

⎪

⎧ ⎫ ⇔ < <

−

⎪⎩

a 0

0 a 1

1

a 1

≠

⎪

−

⎪

⎩

Cách khác : dặt u =

cos x

1 , điều kiện u≥1; pt thành (1 a ( u− ) 2 −1 ) 2u 1 3a 0− + + = ⇔(1 a u− ) 2 −2u 4a 0+ =

⇔ ( u 2) [ (1 a)u 2a ] 0 − − − =

Bài 83 : Cho phương trình : cos 4x 6sin x cos x m 1+ = ( )

a/ Giải (1) khi m = 1

b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt trên 0,

4

π

Ta có : (1) ⇔ −1 2sin 2x 3sin 2x m2 + =

( )

2

t sin 2x t 1

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

a/ Khi m = 1 thì (1) thành

( )

2

t sin 2x t 1

t sin 2x t 1

3

2 k

2

= ∨ =

π

Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên [ ]0,1 ta chỉ tìm được duy nhất một

4

π

∈ ⎢⎣ ⎥⎦

Ta có : (2) ⇔ −2t2 +3t 1 m+ =

Xét y = −2t2 +3t 1 trên 0,1+ [ ]

Thì y '= −4t 3+

Yêu cầu bài toán ⇔ (d) y = m cắt tại hai điểm phân biệt trên [ ]0,1

17

2 m

8

⇔ ≤ <

Cách khác :đặt f (x) = 2t2 −3t m 1+ − Vì a = 2 > 0, nên ta có

Yêu cầu bài toán ⇔ ( )( )

m

S

Δ = − >

⎧

⎪⎪

⎪

⎪ ≤ = ≤

⎪⎩

17 8 0

0

3

2 4

17

2 m

8

⇔ ≤ <

Bài 84 : Cho phương trình

( )

4 cos x.sin x 4 sin x cos x sin 4x m 1− = +

a/ Biết rằng x = π là nghiệm của (1) Hãy giải (1) trong trường hợp đó

b/ Cho biết x

8

π

= − là một nghiệm của (1) Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa

x −3x + <2 0

( )

2 2

(1) 4 sin x cos x cos x sin x sin 4x m

2sin 2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m 2sin 2x.cos 2x sin 4x m

+

a/ x = π là nghiệm của (1) ⇒sin 42 π −sin 4π +m = 0

m 0

Lúc đó (1) ⇔sin 4x 1 sin 4x( − ) =0

π

sin 4x 0 sin 4x 1

2

b/

2

1 t 2

⎪

< <

− + <

⎩

( )

2

⇔ < < ⇔ < <

⇔ − < < − ∨ < <

( )

8

π

Lúc đó (1) thành : sin 4x sin 4x 2 02 − − =

( )

2

t sin 4x với t 1

t sin 4x với t 1

t 1 t 2 loại

⎪

⇔ ⎨

− − =

⎪⎩

⎪

⇔ ⎨

= − ∨ =

⎪⎩

2 k x

π

⇔ = − +

π

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra k = 1

Vậy (1) có nghiệm x 3

π π

= − + = π thỏa x4 −3x2 + <2 0

Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương

( )

2

4 cos x cos 3x a cos x 4 a 1 cos2x 2

2

Ta có : (1) cos 3x cos x 1 cos 2x cos 3x

cos x 1 2cos x 0

1 cos x 0 cos x

2

=

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

2

Ta có : (2) 4 cos x 4 cos x 3 cos x a cos x 4 a 2 cos x

4 cos x 4 2a cos x a 3 cos x 0 cos x 0

4 cos x 2 2 a cos x a 3 0

2

⇔ = ⎛⎜ − ⎞⎟[ + − ]=

1

2

⇔cos x 0 cos x= ∨ = 1 ∨cos x = a−

3

Vậy yêu cầu bài toán

a 3 0

a 1 a 5

−

⎢

=

⎡

⎢

⎢

⎢ < ∨ >

⎢⎣

Bài 86 : Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x (*)

a/ Giải phương trì nh khi a = 1

b/ Tìm a để (*) có nghiệm trên 0,

12

π

Ta có : ( )* cos4x 1(1 cos6x) a(1 cos2x)

2 2cos 2x 1 1 4 cos 2x 3cos 2x a 1 cos 2x

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

( )

2

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

a/ Khi a = 1 thì (*) thành :

⎩

π

2

k

2 b/ Ta có : x 0, 2x 0, Vậy cos 2x t 3,1

2 2

Xét y 4t2 3 P trên( ) 3,1

2

3

2

⇒ = > ∀ ∈ ⎜⎜ ⎟⎟