Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng số phức để tính tổng của các Ckn

Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dun[r]

1

-LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Ta biết sự ra đời của

số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức eiπ10) Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán

để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên

có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ

Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học

để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn đề

tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các C k n ” trên cơ sở

khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton

Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung của các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác

Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 5 năm 2009

Người thực hiện

Lê Hồng Thái

NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:

1- Khai triển nhị thức Newton:

Với mọi x và với mọi nN* ta có:

(1 + x)n = C0n xC1n x2C2n  xn-1Cnn-1xnCnn

2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:

* Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/

* z = r(cos + isin)  zn = [r(cos + isin)]n = rn(cosn + isinn)

* Giải phương trình: x3 – 1 = 0

Ta được các nghiệm là x1 = 1; i;

2

3 2

1 2

2

3 2

1 3

x  

Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1

Đăt: i và có các tính chất sau:

2

3 2

1

2

3 2

1 2

ε  

1) ε + ε2 = -1

2) ε3 1

3) ε3k 1

4) ε3k1ε

5) ε3k2 ε2

(k – nguyên)

3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các C n k ?

Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng của các Ckn khi tổng này có hai đặc điểm:

* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư

3

-4- Các tổng của C n k được tính như thế nào ?

* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là ,

6





, ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai 4





3



 cách tính

* Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

* Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị Cộng vế theo

vế các đẳng thức thu được Suy ra giá trị của tổng cần tìm

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các C n k trong tổng Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?

II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:

Dạng 1:Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

Ví dụ 1:

Tính tổng A = C 0 2009 C 2 2009 C 4 2009 C 6 2009  C 2004 2009C 2006 2009C 2008 2009

B = C 1 2009C 3 2009C 5 2009C 7 2009 C 2005 2009C 2007 2009 C 2009 2009

Xét khai triển:

(1 + x)2009 = C02009 xC12009x2C22009 x2008C20082009 x2009C20092009

Cho x = - i ta có:

(1 – i )2009 = C02009iC12009i2C22009  i2008C20082009i2009C20092009

= (C02009C22009C42009C62009 C20042009C20062009C20082009) +

+ (C12009C32009C20095 C72009 C20052009C20072009C20092009)i

Mặt khác:





























































4

2009π isin

4

2009π cos

2009 ) 2 (

2009 4

π isin 4

π cos 2009 ) 2 ( 2009

i)

(1

2

2 i 2

2 2009 ) 2 ( 4

π isin 4

π cos 2009

)

2

























So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:

2009 C

2006 2009 C

2004 2009 C

6 2009 C

4 2009 C

2 2009 C

0

2009

2009 C

2007 2009 C

2005 2009 C

7 2009 C

5 2009 C

3 2009 C

1

2009



Ví dụ 2:









C 0 503C 2 503 2 C 4 50 3 23 C 46 503 24 C 48 503 25 C 50 50 50

2 1

Giải:

Xét khai triển:









































50 C 50 ) 3 (i

49 50 C 49 ) 3 (i

2 50 C 2 ) 3 (i

1 50 )C 3 (i

0 50

C 50 2 1

50 i

2

3

2

1























50

50 ) 3 (

48 50 C 48 ) 3 (

46 50 C 46 ) 3 (

4 50 C 4 ) 3 (

2 50 C 2 ) 3 (

0

50

C

50

2

5

-+ 3C150 ( 3)3C350 ( 3)5C550 ( 3)47C4750 ( 3)49C5049 i

50

2

1











Mặt khác:

2

3 i 2

1 3

100π isin

3

100π cos

50 3

2π isin 3

2π cos

50 i 2

3 2











































































So sánh phần thực của trong hai cách tính trên ta được:

50 i 2

3 2

1





















C =

2

1 50

50 C 25 3

48 50 C 24 3

46 50 C 23 3

4 50 C 2 3

2 50 3C

0 50

C

50

2











Ví dụ 3:

Tính tổng: D = 3 10 C 0 203 9 C 2 203 8 C 4 203 7 C 6 20 3 2 C 16 203C 18 20C 20 20

Giải:

Xét khai triển:

=

20 C

19 20 C 3 i

18 20 C 2 ) 3 (

2 20 C 18 ) 3 (

1 20 C 19 ) 3 i(

0 20 C 20 ) 3 (

20

i

= (310C02039C220 8C42037C620 32C16203C1820C2020) +









( 3)19C120( 3)17C320 ( 3)3C1720 3C1920

Mặt khác:







































6

20π isin 6

20π cos 20 2

20 6

π isin 6

π cos 20 2

20 2

1 i 2

3 20 2

20

i

3

i 3 19 2 19 2 i 2

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

4π

cos

20

























So sánh phần thực của  20 trong hai cách tính trên ta có:

i

3

20 C

18 20 3C

16 20 C 2 3

6 20 C 7 3

4 20 C 8 2 20 C 9 0

20

C

10

Dạng 2: Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những

số phức thích hợp

Ví dụ 1:

Tính tổng: D = C 1 303C 3 305C 5 307C 7 30 25C 25 3027C 27 30 29C 29 30

E = 2C 2 304C 4 306C 6 308C 8 30  26C 26 3028C 28 30 30C 30 30 Giải:

(1 + x)30 = C300 xC130 x2C302 x3C330 x28C3028x29C3029x30C3030

Đạo hàm hai vế ta có:

30(1 + x)29 = C130 2xC2303x2C330  28x27C283029x28C302930x29C3030

Cho x = i ta có:

30(1 + i)29 = (C1303C3305C5307C730 25C253027C273029C3029) +

+ (2C302 4C304 6C306 8C830 26C302628C302830C3030)i

Mặt khác:























4

29π isin 4

29π cos

29 2 30

29 4

π isin 4

π cos

29 2 30

  i 15.215 15.215i

2

2 2

2 29 2













So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:

30 29C

27 30 27C

25 30 25C

7 30 7C

5 30 5C

3 30 3C

1

30

30 30C

28 30 28C

26 30 26C

8 30 8C

6 30 6C

4 30 4C

2

30

Ví dụ 2:

Tính tổng S = 2.3C 2 204.3 2 C 4 206.3 3 C 6 20 18.3 9 C 18 2020.3 10 C 20 20

7

-Giải:

Xét khai triển:

(1 + 3x)20 =

= C020( 3x)C120( 3x)2C220( 3x)3C320  ( 3x)19C1920 ( 3x)20C2020

Đạo hàm hai vế ta có:

20 3(1 3x)19 =

= 3C120 2.3xC2203.( 3)3x2C320  19.( 3)19x18C192020.310x19C2020

Cho x = i ta có: 20 3(1 3i)19=









20 C

19 3 19

17 20 C

17 3 17

5 20 C

5 3 5

3 20 C

3 3 3

1

20

C

3

i

20 20 C 10 20.3

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

2

20



































3

π isin 3

π cos 19 2 3 20

19 i 2

3 2

1 19 2 3 20

i 19 30.2 19

.2 3 10

i 2

3 2

1 19 2 3 20

3

19π isin 3

19π cos 19

.2

3

























So sánh phần ảo của 20 3(1 3i)19trong hai cách tính trên ta có:

20 C 10 20.3

18 20 C 9 18.3

6 20 C 3 6.3

4 20 C 2 4.3

2

20

Ví dụ 3:

Tính các tổng sau: M = C 15 0 3C 15 2 5C 15 4 7C 15 6  13C 12 1515C 14 15

N = 2C 1 154C 15 3 6C 15 5 8C 15 7  14C 13 1516C 15 15 Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)15 = C150 xC115x2C152 x3C153  x13C1315x14C1415 x15C1515

Nhân hai vế với x ta có:

x(1 + x)15 = xC150 x2C115x3C152 x4C153  x14C1315x15C1415 x16C1515

Đạo hàm hai vế ta có:

(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =

15 15 C 15 x 16

14 15 C 14 x 15

13 15 C 13 x 14

3 15 C 3 x 4

2 15 C 2 x 3

1 15 xC

2

0

15



Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =









C150 3C152 5C154 7C156  13C121515C1415









2C1154C153 6C155 8C157  14C131516C1515

Mặt khác:

(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =         





















4

π isin 4

π cos

14 2 15i

15 4

π isin 4

π cos

15 2



































2

2 2

2 15 2 4

14π isin 4

14π cos i 7 15.2 4

15π isin 4

15π cos

15

2

i 7 2 8 7.2 i 7 2 7 14.2 7

15.2 i

7

2

7





So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:

15 15C

12 15 13C

6 15 7C

4 15 5C

2 15 3C

0

15

15 16C

13 15 14C

7 15 8C

5 15 6C

3 15 4C

1

15

Dạng 3: Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị

Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc

ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):

Giải phương trình: x3 – 1 = 0

9

-Ta được các nghiệm là x1 = 1; i;

2 2 2

2 2 3

x  

Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1

Đăt: i và có các tính chất sau:

2

3 2

1

2

3 2

1 2

ε  

1) ε + ε2 = -1

2) ε3 1

3) ε3k 1

4) ε3k1ε

5) ε3k2 ε2

(k – nguyên)

Sử dụng các tính chất trên của ta có thể tính được các tổng sau:ε

Ví dụ 1:

Tính tổng: S = C 0 20C 3 20C 6 20  C 3k 20  C 15 20 C 18 20

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)20 = C020xC120x2C220 x3C320 x18C1820 x19C1920x20C2020

Cho x = 1 ta có:

220 = C020 C120C220C320 C1820C1920 C2020 (1)

Cho x = ta có:ε

(1 + )ε 20 = C020 εC120ε2C220C320  C1820εC1920 ε2C2020 (2) Cho x = ε2 ta có:

(1 + ε2)20 = C020ε2C120εC220 C320 C1820 ε2C1920 εC2020 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:

220 + (1 + )ε 20 +(1 + ε2)20 = 3S.

Mặt khác: (1ε)20 (ε2)20 ε40 ε; (1ε2)20 (ε)20 ε20 ε2

Do vậy: 3S = 220 – 1 Hay S =

3 1 20

2 

Ví dụ 2:

Tính tổng T = C 1 20 C 4 20C 7 20 C 3k 201 C 16 20 C 19 20

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)20 = C020xC120x2C220 x3C320 x18C1820 x19C1920x20C2020

Nhân hai vế với x2 ta có:

x2(1 + x)20 = x2C020 x3C120x4C220 x5C320  x20C1820 x21C1920x22C2020

Cho x = 1 ta có:

220 = C020 C120C220C320 C1820C1920 C2020 (1)

Cho x = ta có:ε

2

ε ε ε2C020 C120εC220 ε2C320 C420 ε2C1820 C1920εC2020

Cho x = ε2 ta có:

ε ε2 ε C020C120 ε2C220 εC320 εC1820 C1920ε2C2020

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:

220 + ε2(1 + )ε 20 + (1 + ε ε2)20 = 3T

Mặt khác: ε2(1 + )ε 20 = ε42 1; (1 + ε ε2)20 = ε211

Do vậy: 3T = 220 + 2 Hay: T =

3 2 20

2 

11

-Ví dụ 3:

Tính tổng: P = C 0 203C 3 20 6C 6 20  3kC 3k 20  15C 15 20 18C 18 20

Giải:

Xét khai triển:

(1 + x)20 = C020xC120x2C220 x3C320 x18C1820 x19C1920x20C2020

Đạo hàm hai vế ta có:

20(1 + x)19 = C1202xC220 3x2C320  18x17C182019x18C1920 20x19C2020 (*) Nhân hai vế (*) với x ta có:

20x(1 + x)19 = xC1202x2C2203x3C320  18x18C1820 19x19C1920 20x20C2020

Cho x = 1 ta được:

20.219 = C120 2C220 3C320 4C420  18C1820 19C1920 20C2020 (1) Cho x = ta có:ε

20 (1 + )ε ε 19 = εC1202ε2C2203C3204εC420 18C182019εC192020ε2C2020 (2) Cho x = ε2 ta có:

20ε2(1 + ε2)19 = ε2C1202εC220 3C320 4ε2C420 18C1820 19ε2C192020εC2020 (3) Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:

20[219 + (1 + )ε ε 19 + ε2(1 + ε2)19 ] = 3P - C020

Mặt khác: (1 + )ε ε 19 = ε(ε2)19 ε39 1

ε2(1 +ε2)19 = ε2(ε)19 ε211

Vậy 3P = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 Suy ra P = 13

3 20 10.2 

III- MỘT SỐ BÀI TẬP:

1- Tính các tổng sau:

30 C

29 3 29

27 30 C

27 3 27

5 30 C

5 3 5

3 30 C

3 3 3

1

30

C

3

1

30 30 C 15 30.3

28 30 C 14 28.3

6 30 C 3 6.3

4 30 C 2 4.3

2

30

2.3C

2

Hướng dẫn: Xét khai triển:  30 Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực,

x 3 1

phần ảo của hai số phức

ĐS: A1 = 15 3.229; A2 = - 45.229

2- Tính các tổng sau:

24 25 23.24C

22 25 21.22C

8 25 7.8C

6 25 5.6C

4 25 3.4C

2 25 2C

0

25

C

1

25 25 24.25C

23 25 22.23C

9 25 8.9C

7 25 6.7C

5 25 4.5C

3 25 2.3C

1

25

C

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau

ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)

3- Tính các tổng sau:

20 20 21C

18 20 19C

16 20 17C

6 20 7C

4 20 5C

2 20 3C

0

20

C

1

19 20 20C

17 20 18C

15 20 16C

7 20 8C

5 20 6C

3 20 4C

1

20

C

2

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế Cho x = i

ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210

4- Tính các tổng sau:

99 100 C 2 99

97 100 C 2 97

95 100 C 2 95

7 100 C 2 7

5 100 C 2 5

3 100 C 2 3

1

100

C

2

1

100 100 C 2 100

98 100 C 2 98

96 100 C 2 96

8 100 C 2 8

6 100 C 2 6

4 100 C 2 4

2

100

C

2

2

2

Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D = - 50.100.250; D = -50.250

13

-5- Tính tổng sau:

E = 2C2255C5258C825 20C202523C2325

Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)25 Đạo hàm hai vế Sau đó nhân hai vế với x2 Cho

x lần lượt bằng 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta tìm được E

ĐS: E =

3 1) 24 25(2 

6 – Tính các tổng sau:

40 40 C 2 40

37 40 C 2 37

10 40 C 2 10

7 40 C 2 7

4 40 C 2 4

1

40

C

1

38 40 C 2 38

35 40 C 2 35

11 40 C 2 11

8 40 C 2 8

5 40 C 2 5

2

40

C

2

2

2

39 40 C 2 39

36 40 C 2 36

9 40 C 2 9

6 40 C 2 6

3 40 C 2 3

0

40

C

3

Hướng dẫn: Xét khai triển của ( 1+ x)40 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế

Để có F1 ta cho x lần lượt là 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được

Làm thế nào để có F2, F3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !

ĐS:

3 1) 38 40.41(2

1

3

1) 38 39.40(2 1)

39 40(2 2

3

1 2) 38 39.40(2 1)

39 40(2

3

7- Tính các tổng sau:

39 40 40C

36 40 37C

33 40 34C

9 40 10C

6 40 7C

3 40 4C

0

40

C

1

40 40 41C

37 40 38C

34 40 35C

10 40 11C

7 40 8C

4 40 5C

1

40

C

2

2

38 40 39C

35 40 36C

11 40 12C

8 40 9C

5 40 6C

2

40

C

3

3

Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)40 Nhân hai vế với x Đạo hàm hai vế

Để có G1 ta cho x lần lượt là 1, ε,ε2(ba căn bậc ba của 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được

Làm thế nào để có G2, G3 mong độc giả cùng tìm tòi một chút !

ĐS: G1 = 7.240 + 13; G2 = 7.240 – 27; G3 = 7.240 + 28