Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau h[r]
Trang 1I Các bài toán về Chỉnh hợp, Tổ hợp và phép đếm
A Kiến thức cần nhớ:
1 Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân
2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)
a) Hoán vị
của n phần tử đó
Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: Pn
Pn = n! = n(n-1)… 2.1
P1 = 1; 0 = 0! = 1
b) Chỉnh hợp
ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
(của tập A)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: k
n A
*
!
k
n
n
0
1
n
c) Tổ hợp
Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: k
n C
!
k
n
1
;
B Bài tập
Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số P n ; k;
n
n A
Bài 1 Giải các PT, BPT:
a) 4 5 6 ĐS: n = 6
1
3
c) 4 3 4 ĐS: n = 5
1
23A n 24(A n C n n )
Bài 2 Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0
ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3)
2 5
3
60
k n
n
P
A
M
n
Bài 4 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A
bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A ĐS: A có 18 phần tử
Trang 2Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
Bài 5 Có 6 phong bì 4 khác nhau và 5 tem 4 khác nhau (4Z+ ta chọn và dán 3 tem lên
ba bì 4 mỗi bì 4 gián một tem Hỏi có bao nhiêu cách làm 4 thế? ĐS: 1200 cách
Bài 6 (ĐH K D - 2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi
gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra
Bài 7 (ĐH K B - 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 4Z+ gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có
Bài 8 (ĐH K D- 2006)
Đội thanh niên xung kích của một S4Z phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp
T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 vậy? ĐS: 225 cách
Bài 9 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam Lập một đoàn công tác
gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách?
ĐS: 90 cách
Bài 10 Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu
vàng đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
ĐS: 64 cách
Bài 11 Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 4Z+ sao cho mỗi 4Z+ nhận
ĐS: 150 cách
Bài 12 Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh 4 tú (trong đó có một nam sinh tên là
4Z và một nữ sinh tên Hoa) Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và 4Z Hỏi có bao
Bài 13 Cho hình thập giác đều
tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50 tam giác
khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau ĐS: 360 số
Bài 15 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế (4Z+ ta muốn xếp
chỗ ngồi cho 6 học sinh S4Z A và 6 học sinh S4Z B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi S4Z hợp sau:
1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác S4Z
2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác S4Z
ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6!
Trang 3II Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton
A Kiến thức cơ bản
Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên M4f ta có:
(1)
0
n
n k
Số hạng thứ k+1 là Tk+1 = C a bn k k n k 0 k n (2)
1 x n Cn C xn C xn C xn n n
B Bài tập
Các bài tập về hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Bài 16 (ĐH KB - 2007)
Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng
3nCn0 3n1C1n 3n2Cn2 3n3Cn3 ( 1)nCn n 2048 ĐS: n = 11, hsố = 22
Bài 17 (ĐH KD - 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320
Bài 18 (ĐH KA - 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 7 , biết
4
x x
rằng C21n1 C22n1 C23n1 C2n n1 220 1 ĐS: n =10, hsố = 210
Bài 19 (ĐH KA - 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
P = 1 x2(1 x ) 8 ĐS: 238
Bài 20 (ĐH KD - 2004)
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
với x > 0 ĐS: 35
7 3
4
1
x x
Bài 21 (ĐH KD - 2003)
Với n là số nguyên M4f gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n ĐS: n = 5
Bài 22 Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển ( 3 3 2) 9 ĐS: 8 và 4536
Bài 23 Xét khai triển (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + …+a9x9 Tìm Max{ai, i = 1, 9} ĐS: a5=a6
Bài 24 Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 + …+anxn Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10
Trang 4III Xác suất
A Tóm tắt lí thuyết (SGK)
B Bài tập
Bài 25 Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh Lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất trong hai S4Z hợp sau:
ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220
Bài 26 Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4
nữ (4Z+ quản lí chọn ngẫu nhiên 6 4Z+ Tính xác suất để
1) Có 4 khách nam và 2 khách nữ
2) Có ít nhất hai khách nữ ĐS: 1)3/7; 2) 27/42
Bài 27 Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi 4Z+ độc
lập với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa Tính xác suất để 1 toa có 3 4Z+ 1toa có 1 4Z+ hai toa còn lại không có 4Z+ nào trong 4 4Z+ đó ĐS: 3/16
Bài 28 Một 4Z+ bỏ ngẫu nhiên ba lá 4 khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ
Tính xác suất để ít nhất có một lá 4 bỏ đúng phong bì của nó ĐS: 2/3
Bài 29 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ Tính xác suất để tích
của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn ĐS: 13/18
Bài 30 (4Z+ ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn sách
khác loại Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo Tìm xác suất để hai bạn đó có
Bài 31 Có hai hộp đựng bi Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6 viên bi
màu trắng, 4 viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi Biết kết quả lấy bi ở mỗi
1) A = “ hai bi cùng màu”
2) B = “ hai bi khác màu” ĐS:
Bài 32 Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng 4c Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất để có
hai vé trúng 4c
Bài 33 Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi Biết khả năng đỗ của mỗi 4Z+ 4f
ứng là 90% và 70% Tìm xác suất của các biến cố sau:
1) Cả hai đều đỗ
2) Có ít nhất một 4Z+ đỗ
3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga S4 ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%
và 0,9 Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10
xác suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng M4B+ 8 điểm là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm (các vòng bắn độc lập với nhau) ĐS: 0,0935