Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài tập bất đẳng thức dành cho học sinh lớp 10

Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức ở toán lớp 10, giúp các em có được một số kỹ năng, kỹ thuật khi làm bài tập về bất đẳng thức... Ph[r]

Phần I: Đặt vấn đề

Học sinh ở khối lớp 10 chất lượng học tập nói chung là còn yếu, có thể

do bỡ ngỡ vì thay đổi môi trường ở THCS lên THPT Phải có thời gian làm quen với trường mới, bạn mới, thầy cô mới và cũng có thể là phương pháp học mới Vì vậy khi tiếp cận với các bộ môn ở THPT các em phần lớn bước đầu đều thể hiện khả năng tiếp thu chậm, học trước quên sau, đặc biệt môn Toán là môn cơ bản

Đối với chương trình toán lớp 10 khi bước sang phần bất đẳng thức là một phần toán đòi hỏi học sinh phải tư duy nhạy bén và có kỹ năng giải bài tập linh hoạt nên các em thường gặp khó khăn khi tiếp cận bài toán Nhất là khi gặp phải các bài toán chứng minh Bất đẳng thức, các em thường lúng túng không biết giải quyết vấn đề như thế nào để giúp các em giải quyết tốt phần bài tập này tôi nghĩ cần phải đưa ra một hệ thống bài tập và các phương pháp giải cơ bản trong phạm

vi kiến thức toán các em đã được học Do vậy tên đề tài là: '' Một số phương pháp giải bài tập BĐT' dành cho học sinh lớp 10”

Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức ở toán lớp 10, giúp các em có được một số kỹ năng, kỹ thuật khi làm bài tập về bất đẳng thức

Phần II: giải quyết vấn đề.

A: Nội dung

I: Cơ sở ly luận.

1/ Sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương.

a) Kiến thức:

xR , x2  0

xR , x  0

x i 0 i, 1 , 2 , , n , nN  x 1 x 2  x n 0

a b     a b 0

a b

a c

b c

 

 



 

ac bc c

ac bc c







a b c d  ,      a c b d

a b c d  ,      a c b d

a b c d  ,      a c b d

a b c d  ,      a c b d

b) Bài toán:

Bài toán 1:

Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh rằng:

a2 b2 c2d2e2  a b c d e      1

Giải:

 1  a2 b2 c2d2 e2 ab ac ad ae   0

2 2 2 2 2 2 2 2 0

0

            

Bài toán 2:

Cho a b ,  R Chứng minh rằng:

(1)

a b a b

Giải:

2 1

 2 đúng  (đpcm)

0

a b

Bài tập 3:

Chứng minh rằng:

x 2 y 2 z 2  xyyzzx ;x , y , zR

Giải:

Ta có:

x y z  2xy yz zx

2 xz 2 x z

yz 2 z y

xy 2 y x

2 2 2 2

2

2 2

2 2



































x 2 y 2 z 2 xy yzzx (đpcm)

Bài tập 4: Chứng minh rằng với a b 1

2 2 (1)

Giải:

 

0

2

0

0

0

1

b a a ab b ba

b a ab

Vì a  b  1  ab  1  ab – 1  0  (2) đúng  (đpcm)

Bài tập 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P x 2 xyy 2 3 x3 y 2000

Giải:

P x1 2  y 12 xy xy1998

x1 2  y12 xy 1  y11997

x1 2  y1 2  x1y11997

  y 1 1997

4

3 2

1 y 1

2















P 1997.Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Bài tập 6:

Cho a , b , c 0 ; 2 và abc 3 Chứng minh rằng:

a 2 b 2 c 2 5

Giải:

Đặt   































1

; 1 ,

,

0 1

c

1 b

1 a



















BĐT   2  2  2 2

Trong 3 số  ,  ,  luôn tồn tại 2 số cùng ≥ 0, hoặc cùng ≤ 0 Giả sử 2 số

đó là: ,  Khi đó:

 2  2  2  2  2 2   2  2  2 2  2 2

II: Sử dụng tam thức bậc hai.

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f x ax 2 bxc ;a0 T am thức có nghiệm khi  b 2 4 ac0

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

pa2 qb2  pqc2;p q p q, ;  1

Giải:

BĐT  pa2 1 p b 2  p1 p c 2  0; p

 f p c p2 2 a2b2c p p2  2  0; p

 a 2 b 2 c 22 4 b 2 c 2

a 2 bc2.a 2 bc2

a b c a b c a b c a b c             0

Do đó: c f p2    0 ;   p f p     0; p

Bài tập 2:

Chứng minh rằng:

19 x 2 54 y 2 16 z 2 16 xz24 y36 xy 0 ;x , y , zR

Giải:

Xét: f x 19 x 2 28 z18 yx54 y 2 16 z 2 24 y

Ta có:

'   2 2

x g y  702 y 168 y240 z



Ta lại có:

' 84 z2 702 240 z 2 161424 z 2 0



' g y 0 f x 0 Vậy ta có (đpcm)





Bài tập 3:

Cho p q a b c d2     2 2 2 2 2 0 Chưng minh rằng:

p 2 a 2 b 2 q 2 c 2 d 2pqacbd2

Giải:

Xét: ' pqacbd2 p 2 a 2 b 2q 2 c 2 d 20

Theo (gt)p a b2 2 2  q c d2 2 2 0   ít nhất một biểu thức dương, chẳng hạn:

p2 a2 b2 0

Xét: f x p 2 a 2 b 2x 2 2pqacbdxq 2 c 2 d 2

  2  2 2

d bx c

ax q



0 d

p

bq c

p

aq q

p f

2 2



























































  0 f x

q

p f.

b a

















có nghiệm Do đó ' 0 Vậy:

 2 2 2 2 2 2  2

bd ac pq d

c q b a

Bài tập 4:

Cho x , y , z là nghiệm của hệ phương trình:

















4 zx yz xy

8 z y

Chứng minh rằng:

3

8 z , y , x 3

8







Giải:

Hệ Đặt





















4 zx yz xy

16 z

y

4

t   x y z t 

Ta có:

     



























4 tx x yz

x t z y z

y x 4 yz

x t z y

2

Theo ĐL Viet thì  y , z là nghiệm của phương trình:

u 2 t xux 2 tx40

Vì  y , z luôn tồn tại nên phương trình luôn có nghiệm

   t x2 4x 2 tx403 x 2 2 tx16t 20

Mà 2 2

8

0

3

0

3

x

x

  



  



Tương tự, ta cũng có: 3 Vậy ta có (đpcm)

8 z , y 3



Bài tập5:

Tìm MGT của hàm số:

x x 4

1 x 2









Giải:

Ta có: y MGT y x 2 y 0 2x 4 y 0 1 0

0

Nếu:

2

1 x 0

y 0   

y 0  0PT (*) có nghiệm, Ta có:

19 2 4 y

15

19 2 4 4

x 8 y 15











15

19 2 4

; 15

19 2 4 : MGT

III: Bất đẳng thức Côsi:

a) Dạng tổng quát:

 1 ; 0, 0 Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi

2

a b

ab a b

b

a

 2 3 ; , , Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi

3

x y z

xyz x y z R

.

z

y

x 

  1 2 Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi

1 2

n

x x x n



n 2

b) Bài tập:

Bài toán1: (Đánh giá từ TB cộng TB nhân) Chứng minh rằng:

a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 28 a 2 b 2 c 2 ;a , b , c

Giải:

a b  b c  c a  8 a b c 8 a b c ca

2 a c

bc 2 c b

ab 2 b a

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2





































Bài tập2: (Tách nghịch đảo) Chứng minh rằng:

a 2 ; a , b 0

b b

a









Giải:

Vì a b 1 a b , cùng dấu Do đó:

b a   b a b a 

Bài tập3:(Thêm hằng số phụ) Chứng minh rằng:

a b1b a1ab ;a , b1

Giải:

2

ab 2

1 1 a b 1 1 a b 1 a b

2

ab 2

1 1 b a 1 1 b a 1 b a



















































Bài tập4: ( Ghép đối xứng) Chứng minh rằng:

bc ca ab a b c a b c; , , 0

a  b  c     

Giải:

0 c , b , a

; c b a c

ab b

ca a bc

b a

bc c

ab a

bc c

ab 2 1

a c

ab b

ca c

ab b

ca 2 1

c b

ca a

bc b

ca a

bc 2 1















































































Bài tập5: ( Đổi biến số) Chứng minh rằng:

2 ; a , b , c 0 .

3 b a

c a c

b c

b











Giải:

Đặt





























































2

z y x c

2

y z x b

2

x z y a

z b a

y a c

x c b

BĐT

2 z 3

z y x y

2

y z x x

2

x z



y 6 (*)

z z

y z

x x

z x

y y

x





























 



















Mà VT (*) 2 x y. 2 z x. 2 y z. 6

c) Một số bài tập áp dụng Bất đẳng thức Côsi:

Cho a b c, ,  0, a b c   1 chứng minh rằng:

1 b+c  16 abc

2 (1- a)(1-b)(1-c)  8abc

3 11a  1 1b  1 1c  64

4 1 a 1 b 1 c 8

       

5

2

b c a c a b

 

B: Đối tượng phục vụ xây dựng đề tài:

Học sinh khối 10 Ban tự nhiên

C: Nội dung và phương pháp nghiên cứu:

I: Nội dung: bất đẳng thức

II: Phương pháp: Các phương pháp giải toán BĐT, SGK, khảo sát trên lớp

D: Kết quả sau khi áp dụng đề tài:

Sau khi áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy chất lượng học sinh khá lên rõ rệt Qua nhiều đợt kiểm tra, kết quả cụ thể ở lớp 10A2 như sau: *) Trước: Khá=8%; TB=80%; Yếu=12%

*) Sau: Khá=10%; TB=83%:Yếu=7%

Phần III: Kết luận.

Với kết quả đạt được sau khi áp dụng đề tài tôi mong muốn đề tài này song kết quả thu được còn rất khiêm tốn, rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, góp thêm một phần nhỏ vào việc giảng dạy học sinh trên lớp

tài liệu tham khảo.

1.kỹ thuật chứng minh BĐT: trần phương

2.các bài toán BĐT cơ bản hay và khó: nguyễn đễ

3 SGK- Đại số 10