Giáo trình thuật toán và kỹ thuật lập trình Pascal

Kiến thức : Hư ớng dẫn hs vận dụng: - Khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hà m sốtrên một tập D, quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hà m sốtrên một trên một khoảng vàmột đoạ[r]

Tieât 25 : GIAÙ TRÒ LÔÙ N NHAÂ T VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÂ T CỤ A HAØ M SOÂ

Ngaøy dáy:

I Múc tieđu baøi dáy.

1 K ieân thöùc : Höôùng daên hs phaùt hieôn vaø naĩm vöõng:

- Khaùi nieôm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ tređn moôt taôp D

- Quy taĩc tìm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ tređn moôt tređn moôt khoạng vaø moôt ñoán

2 K ó naíng : Reøn luyeôn cho hóc sinh kyõ naíng tìm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ.

3 Giaùo dúc : Giaùo dúc hóc sinh tính caơn thaôn, coù suy luaôn, khạ naíng tính toaùn.

4 Tr óng tađm : - Quy taĩc tìm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ tređn moôt tređn moôt khoạng vaø moôt ñoán.

II Chuaên bò cụa giaùo vieđn vaø hóc sinh

- Giaùo vieđn: Soán baøi, dúng cú giạng dáy, phaân maøu

- Hóc sinh: Soán baøi, laøm baøi taôp ôû nhaø, dúng cú hóc taôp

III Tieân tr ình baøi dáy.

Hoát ñoông 1 Höôùng daên hs phaùt

hieôn vaø naĩm vöõng k haùi nieôm GTLN,

GTNN cụa haøm soâ

- GV đưa ra hình vẽ và đặt câu hỏi dẫn

dắt đến khái niệm GTLN, GTNN

<H>  x  [a, b], nhận xét gì về f(x)

và f(b), f(x2) ?

Ta nói hàm số đạt GTLN trên đoạn

[a, b] bằng f(b), và đạt GTNN trên

đoạn đó bằng f(x2)

- Giaùo vieđn đưa ra khái niệm GTLN

và GTNN của hàm số

Hoát ñoông 2 Höôùng daên hs phaùt

hieôn caùch giại baøi toaùn tìm Giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

một khoảng

* x  [a, b], f(x2) f(x) f(b)

1.Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

a) Số M được gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:

 x  D: f (x)  M

 xo  D: f (x0) = M

K ý hiệu: M = max

D

f(x) b) Số m được gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:

 x  D: f (x)  m

 xo  D: f (x0) = m

K ý hiệu: m = min

D

f(x)

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoản g.

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) (a có thể là -, b có thể là +) Tìm Max

b) (

f(x) vàmin

) ( b

f(x) (nếu tồn tại)

x y

M

2

x 2 f(x)

M

1

f(x)

x

1

CMQui Trang49

Ta đã biết quy tắc tìm các khaỏng tăng

giảm của hàm

<H> Để tìm GTLN, GTNN của hàm

số trên (a, b) ta làm ntn ?

<H> Nếu trên (a; b) hàm số có một

cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực

tiểu) thì gt cực đại (gt cực tiểu) đó là gì

?

<H> Hãy tìm GTLN, GTNN của hàm

số y = f(x) = x - 5 +

x

1 trên (0, +)

Tương tự GV hướng dẫn hs giải Ví dụ

2

Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt

(0 < x <

2

a

)

<H> Thể tích khối hộp: V(x) = ?

Xét hàm số V(x) = x(a - 2x)2 trên

(0,

2

a

)

<H> V'(x) = ?

V'(x) = 0 ?

<H> Cạnh hình vuông bị cắt bằng bao

nhiêu thì thể tích của khối hộp lớn

nhất ?

* Lập BBT của hàm số trên (a; b)

* Căn cứ vào BBT kết luận

* Là M ax f(x) hoặc là min f(x) trên khoảng (a; b)

* Ta có:

y ' =

x

x

2

2

1

 ; y ' = 0 

x = 1; x = -1 (loại)

Lập bảng biến thiên của hàm số

ta thấy min

) , 0 (  f(x) = - 3, Max

) , 0 ( 

f(x) không tồn tại

* V(x) = x(a - 2a)2

* V'(x) = 12x2- 8ax + a2 V'(x) = 0 x =

6

a, x =

2

a

(loại)

* Vậy cạnh hình vuông bị cắt bằng

6

a

thì thể tích của khối hộp

Cách giải:

 Lập BBT của hàm số trên (a; b)

 Căn cứ vào BBT kết luận

Chú ý: Nếu trên (a; b) hàm số có 1 cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thì gt cực đại (gt cực tiểu) đó là M ax f(x) hoặc là min f(x) trên khoảng (a; b)

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x - 5 +

x

1 (x > 0)

) , 0 ( 

f(x) vàmin

) , 0 (  f (x)

Giải: Xét hàm số y = x - 5 +

x

1 trên (0, +)

y ' =

x

x

2

2

1

 ; y ' = 0  x = 1; x = -1 (loại) Bảng biến thiên:

y

-3 Qua BBT: min

) , 0 (  f(x) = - 3 , Max

) , 0 (  f(x) không tồn tại

Ví dụ 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt bỏ ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau rồi gập lại được một hình hộp không nắp Tìm cạnh hình vuông bị cắt đi sao cho thể tích khối hộp lớn nhất

Giải:

Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt (0 < x <

2

a

)

Thể tích khối hộp: V(x) = x(a - 2a)2 (0 < x <

2

a

)

Xét hàm số V(x) = x(a - 2x)2 trên (0,

2

a

)

V'(x) = 12x2- 8ax + a2

Hoát ñoông 3 Höôùng daên hs phaùt

hieôn caùch giại baøi toaùn tìm Giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

một đoạn

<H> Nếu hs f(x) liên tục trên [a, b] ta

kết luận gì ?

<H> Để tìm GTLN, GTNN của hàm

số trên [a, b] ta làm ntn ?

<H> Nếu f(x) không có điểm tới hạn

nào trên [a; b] thì ta kết luận gì về

f '(x) ? Suy ra điều gì ?

* Giả sử hàm số có các điểm tới hạn

liên tiếp x1,x2 xn củaf(x) trên [a,b]

<H> Trên mỗi khoảng (xi, xi+1) dấu

của f’(x) ntn? Từ đó ta có thể kết luận

điều gì ?

<H> Suy ra quy tắc tìm GTLN, GTNN

trên đoạ [a, b] ?

Hướng dẫn hs tìm giải ví dụ 3

Cụng coâ :

 Học thuộc dấu hiệu tìm cực trị

của hàm số

Bài tập 1, 2, 3, 4 trang 52, 53

lớn nhất

Vậy

* Hàm số luôn tồn tại GTLN, GTNN trên đoạn đó

* Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn đó rồi kết luận

* f '(x) giữ nguyên một dấu trên đoạn đó, do đó hsố đồng biến hoặc nghịch biến GTLN và GTNN là các giá trị tại đầu mút

a và b

* Trên mỗi khoảng (xi, xi+1) dấu của f’(x) không đổi nên hs đạt GTLN, GTNN trên đoạn [xi,

xi+1] là f(xi), f(xi+1)

* Quy tắc tìm Max

b] [

f(x) , min

] [ b

f(x)

o Tìm các điểm tới hạn

x1,x2 xn củaf(x) trên [a,b]

V'(x) = 0 x =

6

a

, x = 2

a

(loại)

-V(x)

27

2 3

a

Vậy cạnh hình vuông bị cắt bằng

6

a

thì thể tích của khối hộp lớn nhất

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Bài toán: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a , b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn Hãy tìm Max

b] [

f (x) , min

] [ b

f (x)

Cách 1: lập BBT của hsố trên [a; b](như trên) rồi dựa vào đó kết luận

Cách 2:

* Nếu f(x) không có điểm tới hạn nào trên [a; b] thì f '(x) giữ nguyên một dấu trên đoạn đó, do đó hsố đồng biến hoặc nghịch biến GTLN và GTNN là các giá trị tại đầu mút a và b

Quy tắc tìm Max

b] [

f(x) , min

] [ b

f(x)

o Tìm các điểm tới hạn x1,x2 xn củaf(x) trên [a,b]

o Tính f (a) , f (x1) ,f(x2) , f (xn) , f (b)

o Tìm số lớn nhất M , số nhỏ nhất m trong các số nói trên : Max

b] [

f(x) = M ,

min

] [ b

f(x) = m

Ví dụ 3: Tìm GTLN , GTNN của hàm số f(x) = 2x3+ 3x2- 1 trên các đoạn:[ 2;

-2

1 ] , b)

[-2

1

; 1] c) [1; 3)

Giải:Ta có: f '(x) = 6 x2 + 6x f '(x) = 0  x = 0; x = -1

CMQui Trang51

o Tính f (a) , f (x1) ,f(x2) ,

f (xn) , f (b)

* Tìm số lớn nhất M , số nhỏ nhất m trong các số nói trên :

Max

b] [

f(x) = M , min

] [ b

f(x) = m

a) -1  [ 2;

-2

1 ], 2) = -5; 1) = 0;

f(-2

1 ) = -2

1

] 2

1 , 2 [ ]

2

1 , 2 [















x f x

f Max

b) 0

[-2

1

;1]; f

(-2

1 ) = -2

1 , f(0) = -1, f(1) = 4 ( ) 4 , min ( ) 1

1

; 2

1 1

; 2















Max

c) Trên nửa khoảng [1; 3 ) f(x) không có điểm tới hạn nào

f '(2) = 36 > 0 f '(x) > 0 trên [1; 3)

) 3

; 1 [

minf(x) = f(1) = 4

M ax f(x) không tồn tại (Gviên giải thích)

Tieât 26.BAØ I TAÔ P GIAÙ TRÒ LÔÙ N NHAÂ T VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÂ T CỤ A HAØ M SOÂ

Ngaøy dáy:

I Múc tieđu baøi dáy.

1 K ieân thöùc : Höôùng daên hs vaôn dúng: - Khaùi nieôm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ tređn moôt taôp D, quy taĩc tìm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm

soâ tređn moôt tređn moôt khoạng vaø moôt ñoán, ñeơ giại baøi taôp caùc baøi taôp sgk

2 K ó naíng : Reøn luyeôn cho hóc sinh kyõ naíng tìm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ.

3 Giaùo dúc : Giaùo dúc hóc sinh tính caơn thaôn, coù suy luaôn, khạ naíng tính toaùn.

4 Tr óng tađm : - Quy taĩc tìm giaù trò lôùn nhaât, nhoû nhaât cụa haøm soâ tređn moôt tređn moôt khoạng vaø moôt ñoán.

II Chuaên bò cụa giaùo vieđn vaø hóc sinh

- Giaùo vieđn: Soán baøi, dúng cú giạng dáy, phaân maøu

- Hóc sinh: Soán baøi, laøm baøi taôp ôû nhaø, dúng cú hóc taôp

III Tieân tr ình baøi dáy.

Hoát ñoông 1 Höôùng daên hs laøm baøi

taôp 1 sgk

Gói hs giại baøi taôp 1

<H> Neđu caùch tìm GTLN, GTNN

cụa haøm soâ tređn moôt khoạng

* Cách giải:

 Lập BBT của hàm số trên (a;

b)

 Căn cứ vào BBT kết luận

Baøi taôp 1.a TXÑ: D = R.

y’ = 8 - 4x, y’ = 0 x = 2; f(2) = 9

y 9 Vaôy

D x

y



min = 9.

Hoát ñoông 2 Höôùng daên hs laøm baøi

taôp 2 sgk

Gói hs giại baøi taôp 2

<H> y = 1 + 8x -2x2 y’ = ?

Hoát ñoông 3 Höôùng daên hs laøm baøi

taôp 3 sgk

<H> Neđu quy taĩc tìm GTLN, GTNN

cụa haøm soâ tređn moôt ñoán?

<H> Ñeơ timg GTLN, GTNN cụa haøm

soâ y = | x2- 3x + 2| tređn ñoán [ -10,10]

ta laøm ntn ?

 Cụng coâ :

 Học thuộc dấu hiệu tìm điểm

cực đại, cực tiểu của hàm số

Giải các bài tập còn lại

* y’ = 8 -4x

o * Tìm các điểm tới hạn x1,x2 .xn củaf(x) trên [a,b]

o Tính f (a) , f (x1) ,f(x2) , f (xn) , f (b)

o Tìm số lớn nhất M , số nhỏ nhất m trong các số nói trên :

Max

b] [

f(x) = M , min

] [ b

f(x) = m

* Ta xeùt daâu tam thöùc x2- 3x +

2 roăi xeùt haøm soâ naøy tređn 3 ñoán [-10, 1], [1,2] vaø [2,10]

b TXÑ: D = R

y’ = 12x2- 12x3, y’ = 0 x = 0 hoaịc x = 1; f(1) = 1

x - 1 +

y 1

D x y

max 1

Baøi taôp 2 a Tređn taôp D = (0, +  )

y’ = 1 42

x

 , y’ = 0 x = 2; f(2) = 8

x 0 2 + y

8 Vaôy

D x

y



min = 9.

b Tređn taôp D = (0, + ), y’ = 2

2 2 2

x

x 

; y’ = 0 x = 1

3 Vaôy

D x

y

 min = 3

Baøi taôp 3 a Tređn taôp D ta coù y’ = 3x2-6x-9, y’ = 0 x = -1 hoaịc x = 3 f(-4) = -41, f(-1) = 40, f(3) =8, f(4) = 15 Vaôy 

D

x y

D x

y



min = -41

b Tređn taôp D1= [-10, 1] ta coù y’ = 2x - 3, y’ = 0  x =

2 3

, f(-10) = 132, f(1) = 0, Vaôy

1

max

D x

y



= 132,

1

min

D x y= 0

Tređn taôp D2 = [1, 2] ta coù y’ = 2x - 3, y’ = 0 x =

2 3

f(1) = 0, f(2) = 0, f(

2

3 ) = -4

9 Vaôy

2

max

D x

y



= 0,

2

min

D x

y



=

-4 9

CMQui Trang53

Trên tập D3 = [2, 10] ta có y’ = 2x - 3, y’ = 0 x =

2 3

f(2) = 0, f(10) = 72Vậy

3

max

D x

y

  = 132,

3

min

D x

y

 = -

D x y

D x

y



min = 0

Ngày dạy:

I Mục tiêu bài dạy.

1 K iến t hức : - Khái niệm lồi, lõm và điểm uốn Qui tắc tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn

2 K ĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng ứng dụng thành thạo các qui tắc đã học váo việc giải quyết của bài tập cụ thể

3 Giáo dục : Giáo dục học sinh tình cảm yêu thích bộ môn qua việc giải quyết các bài toán có tính thực tiễn.

4 Tr ọng tâm : Định nghĩa và định lí nhận biết tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.

II Chuẫn bị của giáo viên và học sinh

- Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu

- Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập

III Tiến tr ình bài dạy.

1/ K iểm tr a bài cũ- Phát biểu các qui tắc tìm cực trị của hàm số Áp dụng : Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số  2

3 ( )

1





x

y f x

x

2/ Nội dung bài mới:

Hoạt động 1 Hướng dẫn hs phát

hiện khái niệm khoảng l ồi lõm, điểm

uốn của đồ thị hàm số

<H> Nhận xét gì tiếp tuyến tại mọi

điểm thuộc đồ thị hàm số trên (a, c)?

<H> Nhận xét gì tiếp tuyến tại mọi

điểm thuộc đồ thị hàm số trên (c, b)?

GV đưa ra khái niệm khoảng lồi, lõm

và điểm uốn của ĐTHS

Hoạt động 2 Hướng dẫn hs phát

* Tiếp tuyến tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số trên (a, c) luôn nằm trên ĐTHS

* Tiếp tuyến tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số trên (c, b) luôn nằm dưới ĐTHS

 Nội dung bà i mới:

1 Khái niệm lồi, lõm và điểm uốn :

c

B

b

M

A

M C

a

hiện dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn

của ĐTHS

* GV đưa ra định lý về dấu hiệu lồi,

lõm và điểm uốn của ĐTHS

Cho hàm số y = f(x) liên tục trong

lân cận của x và có đạo hàm cấp 20

trong lân cận ấy (có thể tại điểm

0

x ) <H> Nếu f’ ’ (x) đổi dấu từ âm

sang dương khi x đi qua x thì điểm0

M(x , f(0 x )) có đặc điểm gì ?0

Hướng dẫn hs làm vd 1

Hướng dẫn hs làm vd 2

 Củng cố :

Nắm vững khái niệm khoảng lồi, lõ

của ĐTHS, dấu hiệu lồi, lõm của

ĐTHS và làm các bài tập SGK

* Điểm M(x , f(0 x )) là điễm0 uốn của đồ thị hàm số đã cho

Vì khi x < x0 thì f’ (x) > f’ (x0) =

0 nên ĐTHS lồi bên trái M

Tương tự ĐTHS lõm bên phải tại M

Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên cung AC ta nói cung AC là một cung lồi.Nếu a là hoạnh độ của A, c là hoành độ của C thì

ta nói (a, c) là một khoảng lồi

Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung CB ta nói cung CB là một cung lõm.Nếu c là hoạnh độ của C, b là hoành độ của B thì

ta nói (c, b) là một khoảng lõm

Điểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng lõm của đồ thị thì ta gọi là điểm uốn

2 Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn : Định lí 1 :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong ( a , b )

Nếu f’ ’ (x) < 0  x (a,b) thì đồ thị hàm số lồi trong ( a, b )

Nếu f’ ’ (x) > 0  x (a,b) thì đồ thị hàm số lõm trong ( a , b )

Định lí 2 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của x và có đạo hàm cấp 20 trong lân cận ấy (có thể tại điểm x ) Nếu f’ ’ (x) đổi dấu khi x đi qua0 x thì0 điểm M(x , f(0 x )) là điễm uốn của đồ thị hàm số đã cho 0

QUI TẮ C TÌM ĐIỂ M UỐ N :

1) Giải phương trình f’ ’ (x) = 0 2) Lập bảng dấu của f’ ’ (x) Hoành độ điểm uốn là các nghiệm của phương trình f’ ’ (x) = 0 mà tại đó f’ ’ (x) đổi dấu

* Ví dụ1: Tìm các khoản lồi, lõm và điểm uốn của đố thị hàm số y 3x

* Ví dụ2 : Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :

y f (x) x  2x  1