Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ..[r]
Trang 1ĐỀ THAM KHẢO THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010
Thời gian làm bài: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2.0 điểm ) Cho hàm số 4 2
y x m x m (1), với m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m0
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng
Bổ đề:
2
0
0 0 1
0 2
NX: Khi t 0 có hai giá trị x đối nhau, khi t0 có một giá trị x0 Do đó:
(1) có 4 nghiệm thực phân biệt x x x x1, 2, 3, 4x1 x2 x3x4và lập thành một cấp số cộng
(2) có hai nghiệm dương phân biệt t t1, 20 t1 t2và thỏa t2 9t1
2
2
0 0
9 100
b S a c P a
Áp dụng bổ đề:
+ Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2
(1)
2 2
0 2( 2) 2 3 0 2
+ Ta có: 2 2
' m 2 2m 3 m 1
, S 2m2, P2m3 + (1) có 4 nghiệm thực phân biệt x x x x1, 2, 3, 4x1x2 x3 x4và lập thành một cấp số cộng
(2) có hai nghiệm dương phân biệt t t1, 20 t1 t2và thỏa t2 9t1
2
1 0 ' 0
m
1
9 14 39 0
m
+ Vậy 3, 13
9
Câu II ( 2.0 điểm )
1 Giải phương trình s in5x 3 cos 5x2s in15x4 (1)
+ Ta có: (1) 2 sin 5 1 cos 5 3 2sin15 4
sin 10 cos 5 1
(2)
+ Đặt 5 5
, ta có: sin 10 sin 2 cos 2 2 cos2 1
2cos t 1 cost 1 2cos t cost 1 0 cost 1 t k2 k
Trang 2+ Vậy phương trình có nghiệm là 2
30 5
k
2 Giải phương trình 2 3
2 x 3x2 3 x 8 (1) + ĐK: 3
u x u v x x v Khi đó 2 2 2
3 2
x x v u
(1)
2 2
2
0
0
0
2 0
2
u
t
t
t
2 2 4 2 2 3 13
3 13
x
x
(thỏa điều kiện x 2)
Câu III ( 1.0 điểm )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
2 4 2
x
y và y x2 4
+ Phương trình hoành độ điểm chung:
2
2 2
2
2
2
2
2
x
x
x
Trang 3+ Diện tích cần tìm là
4 2
2 4
2
x
+ Ta có
2
2 ( ) 4, ( ) 4 2
x
f x g x x là các hàm số chẵn trên đồ thị của chúng nhận trục Oy
làm trục đối xứng Do đó diện tích cần tìm
4 2
2 0
2
x
+
1
x
4 2
16
x
64 3
S
Câu IV ( 1.0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a và SO vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối Tính tỉ số thể tích của hai khối đó
+ Gọi I là trung điểm của AO, suy ra góc của MN và (ABCD) là 0
+ Theo định lý cosin trong ION, ta có
2
2 cos135
+ Tính 2 2 3 30
2
a
+ Dựng mặt phẳng trung trực của SA, cắt SO tại J Suy ra J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Khi đó 8
30
a
RJS + Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác BCKM, với K là trung điểm SD Ta có:
.
SBCKM SBKM SBCK
S ABCD SBDA SBCD
+Vậy tỉ số thể tích khối chứa đỉnh S với thể tích khối còn lại là 3:5
Câu V ( 1.0 điểm )
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm thực x0;1 3
m x x x x (1)
+ Đặt t x22x2,t0 Ta có:
2
1 '
2 2
x t
; t' 0 x 1
+ Lập bảng biến thiên của hàm số t trên đoạn 0;1 3và suy ra t 1; 2
+ Khi đó (1) 2 2
1
t
t
+
2 2
2 2
1
t
là hàm số đồng biến trên [1;2]
+ Vậy: (1) có nghiệm x0;1 3 (2) có nghiệm t 1; 2
1;2
2 max ( ) (2)
3
t
Trang 4II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a ( 2.0 điểm )
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 1; 2 , đường trung tuyến kẻ từ
B và đường phân giác trong kẻ từ C có phương trình lần lượt là 2x y 1 0 và x y 1 0 Viết phương trình đường thẳng BC
+ Ta có CCD x: y 1 0 C x C;1x C trung điểm của AC là 1 3;
+ MBM: 2x y 1 0 2x M y M 1 0 x C 7 C7;8
+ Kẻ AK CD tại I và KBC, ta có: AK x: y 1 0 Khi đó BC là đường thẳng qua C và K + KQ: 4x3y 4 0
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là
2 2 5 0
x y z và x2y2z130 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, điểm
5; 2;1
A đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)
+ Gọi I a b c ; ; là tâm và Rlà bán kính của (S), từ giả thiết ta có:
, ( ) , ( ) , ( )
, ( ) , ( )
+ Ta lại có:
10 4 2 30
OI AI OI AI a b c (1)
3
, ( ) , ( ) 2 2 5 2 2 13 2 2 4
+ Từ (1) và (3) suy ra 17 11 ; 11 4
b a c a (4) + Từ (2) và (3) suy ra 2 2 2
9
a b c (5) + Từ (4) và (5) suy ra a2 hoặc 658
221
a + Vậy có hai mặt cầu thỏa đề bài
2 2 2
x y z và
9
Câu VII.a ( 1.0 điểm )
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z thỏa mãn 1 3 2
1
z i
+ Giả sử z a bi a b , Ta có: 2 2
2
2 2
0 3 3
2
10
1 10
b
2 Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b ( 2.0 điểm )
Trang 51 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): 1
16 9
và điểm K 2;1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm K, cắt elip (E) tại hai M, N sao cho K là trung điểm của đoạn thẳng MN
+ phương trình đường thẳng d có dạng 2 2 2
1
+ phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 2
2
+ Vì (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu t t1, 2 và K là trung điểm của MN nên
2 2 0 0
8 9
t t
+ Do 2 2
a b a b : 2 8
1 9
d
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình lần lượt là
và
Tìm tọa độ điểm M trên d1 và điểm N trên d2 sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
1
1 2 : 3 3 1 2 ;3 3 ; 2 2
2
5 6
5 5
+ Khi đó: MN4 6 t22 ; 3 4t1 t23 ; 5 5t1 t22t1, vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d1
và d2 lần lượt là u1 2; 3; 2 , u2 6; 4; 5
+ MN ngắn nhất
1
2
303
233 0
403
t
t
+ Vậy: 1009 300 606; ; , 617; 932 3180;
403 403 403 403 403 403
Câu VII.b ( 1.0 điểm )
Giải hệ phương trình
2
2 2 3.2 (1)
+ Ta có: (2)
1 1
0
1 3
x x
x
+ Với x0thì từ (1) log2 8
11
y
+ Với y 1 3x thì từ (1) ta có: 23x12(3x1)6 (3)
Đặt 3 1 1
2
4
x
t t
, khi đó
3
t
, y 2 log 3 2 22