Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm Đây là một trong những bài toán phức tạp, cần có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng các phương pháp giải linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề.[r]

Ph ần I ĐẶT VẤN ĐỀ

Môn toán là môn khoa hc t nhiên không th thiu trong i

sng con ngi, v"i m#t xã h#i mà khoa hc k& thu't ngày càng phát trin nh hi*n nay thì môn toán l,i càng óng vai trò quan

trng trong vi*c nghiên c0u khoa hc, toán hc có v1 trí 3c bi*t trong vi*c nâng cao và phát trin dân trí, toán hc không ch7 cung

c8p cho hc sinh nh9ng k& n:ng tính toán c;n thit mà còn là i<u

ki*n ch= yu rèn luy*n kh? n:ng t duy lôgíc, m#t ph@ng pháp

lu'n khoa hc

Trong vi*c d,y toán hc thì vi*c tìm ra nh9ng ph@ng pháp

d,y hc và gi?i bài t'p toán òi hCi ngi giáo viên ph?i chn lc

h* thng bài t'p, sD dEng úng ph@ng pháp d,y hc, góp ph;n hình thành phát trin t duy c=a hc sinh, rèn luy*n cho hc sinh tính sáng t,o, linh ho,t trong vi*c gi?i bài t'p 3c bi*t là gi?i toán

b8t Gng th0c

Trong quá trình gi?ng d,y b# môn H c8p THCS b?n thân tôi

hiu Lc tâm lý c=a hc sinh khi g3p nh9ng bài toán v< b8t Gng

th0c hc sinh thng ng,i, li suy nghN, ít có h0ng thú tìm cách

gi?i quyt v8n < vì v'y: phát trin n:ng lc t duy cho hc sinh thông qua vi*c gi?i toán b8t Gng th0c là r8t c;n thit P khQc

phEc nh9ng khó kh:n và áp dEng gi?i toán b8t Gng th0c b?n thân tôi nghiên c0u, tìm hiu tích lu& Lc nh9ng kinh nghi*m v<:

“ Ph ương pháp giải các bài toán bất đẳng thức”.

PTng thi thông qua ó giúp các em nQm v9ng m#t cách có h*

thng các ph@ng pháp c@ b?n và v'n dEng thành th,o các ph@ng

pháp ó  gi?i bài t'p b8t Gng th0c thành th,o góp ph;n nâng cao ch8t lLng giáo dEc

Ph ần II

I M ỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC:

1 Định nghĩa:

Cho hai s a và b ta nói:

a nhC h@n b, ký hi*u a < b nu a - b < 0

a l"n h@n b, ký hi*u a > b nu a - b > 0

2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

2.1 a > b  b < a

2.2 a > b, b > c  a > c

2.3 a > b  a + c > b + c

2.4 C#ng t]ng v c=a 2 b8t Gng th0c cùng chi<u Lc b8t

Gng th0c m"i cùng chi<u v"i b8t Gng th0c ã cho

a > b ; c > d  a + c > b + d 2.5 Tr] t]ng v c=a 2 b8t Gng th0c ngLc chi<u Lc b8t

Gng th0c m"i cùng chi<u v"i b8t Gng th0c b1 tr]

a > b ; c < d  a - c > b - d 2.6

a/ Nhân hai v b8t Gng th0c v"i cùng m#t s d@ng

a > b ; c > 0  a c > b c b/ Nhân hai v b8t Gng th0c v"i m#t s âm và di chi<u

b8t Gng th0c

a > b ; c < 0  a c < b c

2.7 Nhân t]ng v c=a hai b8t Gng th0c cùng chi<u mà hai

v không âm

a > b 0

c > d 0

2.8 Nâng lên lu& th]a b'c nguyên d@ng hai v c=a b8t Gng

th0c

a > b > 0  an > bn

a > b  an > bn v"i n = 2k ( k N )

2.9 So sánh hai lu& th]a cùng c@ s v"i s mk nguyên

d@ng

Nu m > n > 0 thì a > 1 a m > bn

a = 1  an = bn

0 < a < 1  am < bn

2.10 L8y ngh1ch ?o hai v và di chi<u b8t Gng th0c nu hai v cùng d8u

a > b > 0 ho3c b < a < 0 

a

1  b 1

(*) B ất đẳng thức quan trọng:

1- B ất đẳng thức Cô-si:

hay

b a 2

b

a 2 









  a  b2  4 a b

2- B8t Gng th0c Bunhia Côpski:

 2 2 2 2 2

y x b a by

b8t Gng th0c không ch3t (a b) t0c là a > b ho3c a = b.

Trong các tính ch8t nêu trên nhi<u tính ch8t d8u “ > ”(ho3c

d8u “ < ”) có th thay bHi d8u “ ” (ho3c d8u “ ”). 

3 Các h ằng bất đẳng thức cần nhớ:

a c > b d



3.1 a2 0 ; - a 2 0 X ?y ra d8u Gng th0c khi a = 0.

3.2 a  0 X?y ra d8u Gng th0c khi a = 0

3.3 - a  a  a X?y ra d8u Gng th0c khi a = 0

3.4 a  b  a + b X?y ra d8u Gng th0c khi a.b 0.

3.5 a  b  a - b X?y ra d8u Gng th0c khi a.b 0 ;  a  b

( Các i<u ki*n này có th dion ,t là a b 0 ho3c a b 0   

1 a2 + b2 2.a.b

2 V"i a , b > 0

b a

4 b

1 a

1







3 2 V"i a.b > 0

a

b b

a





II, M ỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ THƯỜNG DÙNG:

1 Phương pháp dùng định nghĩa:

1.1 C ơ sở toán học:

P ch0ng minh: A > B , ta xét hi*u A - B và ch0ng minh A - B >

0

A < B , ta xét hi*u A - B và ch0ng minh A - B < 0

1.2 Ví d ụ minh hoạ:

y x y x

Gi?i:

- Xét hi*u 2 v: 2 2  2 2 2 2 2

y xy 2 x y 2 x y x y x

 x 2  2 xy  y 2

 ( x  y ) 2  0

V'y 2 2  2

y x y x

xy 2 2

) y x ( y x

2 2

2    

+ Xét hi*u:

2

y xy 2 x y 2 x 2

) y x ( y x

2 2

2 2 2 2









2

) y x ( 2

y xy 2

x2  2   2 



2

) y x ( y x

2 2





2

) y x ( 2

xy 4 y xy 2 x xy 2 2

) y x (  2   2  2    2 

V'y 2 xy

2

) y x





X?y ra Gng th0c khi và ch7 khi x = y

1.3 Bài t ập tự giải.

Ch0ng minh rsng v"i các s h9u tt a, b, c tuu ý, ta có:

a,

2

b a 2

) b a ( ab

2 2

2  





b, a2 + b2 + c2 ab + bc + ac.

c, a2 + b2 ab

d, a2 + b2 + c2 + a + b + c

4

3 

e, a4 + b4 + 2 4ab

2 Ph ương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức:

2.1 C ơ sở toán học:

- Xu8t phát t] m#t b8t Gng th0c ã bit rTi v'n dEng các tính

ch8t c=a b8t Gng th0c  suy ra b8t Gng th0c ph?i ch0ng minh

- Thng là áp dEng nh9ng tính ch8t c@ b?n c=a b8t Gng th0c ( ã nêu H ph;n 2)

2.2 Ví d ụ minh hoạ:

Ch ứng minh rằng nếu a > b ; c > d thì a + c > b + d.

Gi?i:

V'n dEng tính ch8t liên h* gi9a th0 t và phép c#ng vào b8t

Gng th0c a > b ta có:

a + c > b + c (1)

T@ng t, v"i b8t Gng th0c c > d ta có:

b + c > b + d (2)

SD dEng tính ch8t bQc c;u vào (1), (2) ta Lc:

a + c > b + d (pcm)

a/ Nu a > 0 và b > 0 thì a2 < b2 b/ Nu a < 0 và b < 0 thì a2 > b2

Gi?i:

T] a < b ta suy ra a – b < 0 (1)

Nu a > 0 và b > 0 thì a + b > 0

Nhân 2 v c=a (1) v"i a + b ta Lc:

(a + b)(a - b) > 0 hay a2 - b2 > 0 hay a2 > b2

Ch ứng minh rằng:











  











1 b

1 a

1 2 c p

1 b p

1 a

p

1

V"i

2

c b a

p  

Gi?i:

Tr"c ht ch0ng minh b8t Gng th0c: v"i x > 0, y > 0

y x y

x  

4 1 1

Áp dEng b8t Gng th0c này ta có:

c

4 b a p

4 b

p

1 a

p

1















a

4 c b p

4 c

p

1 b

p

1















b

4 a c p

4 a

p

1 c

p

1















C#ng theo t]ng v các b8t Gng th0c trên ta Lc pcm

2.3 Chú ý:

Khi sD dEng các b8t Gng th0c ta c;n tránh sai l;m sau:

a a > b

c > d

b a > b

c > d (Nhân v v"i v b8t Gng th0c mà cha bit 2 v có không âm hay không)

c Bình ph@ng hai v c=a 1 b8t Gng th0c mà cha bit 2 v không âm

a > b  a2 > b2

d KhD myu mà cha bit d8u c=a chúng

ad > bc

d

c

b

2.4 Bài t ập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a ( a > 0 , b > 0 )

b a

4 b

1 a

1







b a2  b2  c2 d2  4 abcd

c V"i a > 0 và b > 0 , Ch0ng minh a  b  a  b

d Cho a + b = 1 Ch0ng minh rsng:

8

1 b

a 4  4 

3 Ph ương pháp biến đổi tương đương:

3.1 C ơ sở toán học:

- P ch0ng minh bQt Gng th0c A B ta bin di t@ng @ng 

(da vào các tính ch8t c=a b8t Gng th0c)

A B   C D

và cui cùng ,t Lc b8t Gng th0c úng ho3c hin nhiên là C 

D

Vì các phép bin di <u là t@ng @ng nên A B 

- P dùng các phép bin di t@ng @ng lu ý:

a - c > b - d



ac > bd



(A B) 2 = A2  2AB + B2

(A + B +C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2CA

3.2 Ví d ụ minh hoạ:

Gi?i:

Ta có : x2 – x + 1 > 0

4

3 ) 4

1 2

1 x 2 x

4

3 ) 2

1 (x 2   

ab 2

b a





(B8t Gng th0c Co-si: “Trung bình c#ng c=a hai s không âm nhC h@n trung bình nhân c=a chúng”)

Gi?i:

2

b

(a + b)2 4ab

(a - b)2 0

B8t Gng th0c cui cùng luôn úng nên ta có i<u ph?i ch0ng minh, d8u Gng th0c x?y ra khi a = b

3 3

3

2

b a 2

b a











 





V"i a > 0 , b >0 Gi?i:

(1) 4(a3 + b3) (a + b)3

3 3

3

2

b a 2

b

a











 



4(a + b)(a2 – ab + b2) (a + b)(a + b)2

4a2 – 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2

3a2 - 6ab + 3b2 0

3(a - b)2 0 (2)

B8t Gng th0c (2) úng và các phép bin di <u t@ng @ng nên b8t Gng th0c (1) úng

3.3 Chú ý:

- S{ mQc sai l;m nu trong li gi?i trên thay các d8u “ ” 

bsng các d8u “ ”.

Th't v'y, nu (1) (2) mà b8t Gng th0c (2) úng thì cha 

th kt lu'n Lc b8t :ng th0c (1) úng hay không

- Khi sD dEng phép bin di t@ng @ng, hc sinh thng bC các bin di t@ng @ng có i<u ki*n dyn n không ch3t ch{ Vì

v'y c;n lu ý các bin di t@ng @ng có i<u ki*n

ChGng h,n: a2 > b2  a > b V"i a, b > 0

m > n  am > an V"i m, n Z + , a > 1

C;n ch7 rõ các i<u ki*n 8y khi bin di t@ng @ng

3.4 Bài t ập tự giải:

Bài 1: So sánh 2 s A = 3 3 - 3 và B = 2 2- 1

(Không dùng máy tính bC túi)

Bài 2: Ch0ng minh b8t Gng th0c:

2 2

2 2 2

2

) d c ( ) b a ( d c

b

Bài 3: V"i a > 0 , b > 0 Ch0ng minh b8t Gng th0c:

a

b b a b

a







Bài 4: CMR: a, b, c R Ta có:

a/ a4 + b4 a 3b + ab3

b/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ac

4 Ph ương pháp phản chứng:

4.1 C ơ sở toán học:

Gi lu'n < c;n ch0ng minh là lu'n < : “A B” Phép toán 

m*nh < cho ta: A  B  A  B  A  B  A B

Nh v'y mun ph= 1nh m#t lu'n < ta ghép t8t c? các gi? thit c=a lu'n < ph= 1nh kt lu'n c=a nó

Ta thng dùng 5 hình th0c ch0ng minh ph?n ch0ng nh sau: a.1 Dùng m*nh < ph?n ?o B  A

a.2 Ph= 1nh lu'n < rTi suy ra i<u trái v"i gi? thit

a.3 Ph= 1nh lu'n < rTi suy ra hai i<u trái nhau

a.4 Ph= 1nh lu'n < rTi suy ra m#t i<u trái v"i i<u úng a.5 Ph= 1nh lu'n < rTi suy ra kt lu'n c=a AB  B

4.2 Ví d ụ minh hoạ:

Gi?i: Gi? sD ( a  b ) 2  4 ab thì a 2  2 ab  b 2  4 ab

 a 2  2 ab  b 2  0

 ( a  b ) 2  0

B8t Gng th0c cui là sai V'y ph?i có ( a  b ) 2  4 ab

CMR ít nh8t m#t trong hai b8t Gng th0c sau là úng

x2 a ; y 2 b

Gi?i: Gi? sD x2 < a ; y2 < b  x2 + y2 < a + b = 2xy

x2 + y2 -2xy < 0



(x - y)2 < 0 Vô lý



V'y có ít nh8t m#t trong hai b8t Gng th0c: x2 a ; y 2 b là 

úng

4.3 Bài t ập tự giải:

Bài 1: Cho a > b >0 và 1

b a

ab 1







CMR: Không th có a < 1 ; b< 1

Bài 2: Cho a > 2 ; b > 2 Ch0ng minh ab > a + b

Bài 3: Ch0ng minh b8t Gng th0c abc V"i a, b, c 0

3

c b













  



5 Ph ương pháp quy nạp toán học:

5.1 C ơ sở toán học:

N#i dung c=a ph@ng pháp này là ti<n < quy n,p toán hc Cho m*nh < phE thu#c vào s nguyên d@ng n Nu:

+ M*nh < úng v"i n = 1

+ T] gi? thit v"i n = k (k  N) suy ra Lc m*nh < ckng

úng v"i n = k +1 Th thì m*nh < úng v"i mi s nguyên d@ng Nh v'y  ch0ng minh m#t m*nh < T úng v"i mi s nguyên d@ng bsng ph@ng pháp quy n,p toán hc ta ph?i tin hành 3 b"c:

+ B1: Ch0ng minh T ( 1 ) úng(kim tra m*nh < úng v"i n=1) + B2: - Gi? sD m*nh < T( k ) úng

- Ta ch0ng minh m*nh < T( k + 1 ) ckng úng

+ B3: Kt lu'n m*nh < úng v"i mi s nguyên d@ng (n)

5.2 Ví d ụ minh hoạ:

Trong ó n là s nguyên d@ng b8t ku

Gi?i:

+ V"i n = 1, ta có b8t Gng th0c úng 1 + x 1 + x

+ Gi? sD b8t Gng th0c úng v"i n =k t0c là (1 + x)k 1 + 

kx

Ta ph?i ch0ng minh b8t Gng th0c ckng úng v"i n = k + 1

T0c là ph?i ch0ng minh (1 + x)k + 1 1 + (k + 1)x

Th't v'y, theo gi? thit 1 + x > 0

Ta có: (1 + x)(1 + x)k (1 + kx) (1 + x)

(1 + x)k + 1 1 + (k + 1)x + kx2

Mà kx2 > 0 nên 1 + (k + 1)x + kx2  1 + ( k + 1)x

T] ó suy ra b8t Gng th0c pcm

D8u Gng th0c x?y ra x = 0.

5.3 Bài t ập tự giải:

Bài 1: CMR  n  3 ta có 2n > 2n + 1

Bài 2: CMR : 2n > n3 V"i s t nhiên n 10 

6 Phương pháp biến đổi:

B1: P3t bin m"i da theo bin ck

B2: Bin di b8t Gng th0c theo bin m"i, ch0ng minh b8t

Gng th0c theo bin m"i

B3: Kt lu'n và tr? v< bin ck

6.2 Ví d ụ minh hoạ:

a2 + b2 + c2

3

1



Gi?i:

P3t a = + x , b = + y , c = + z

3

1

3

1

3 1

Do a + b + c =1 nên x + y + z = 0

Ta có: a2 + b2 + c2 = ( + x)2 + ( + y)2 + ( + z)2

3

1

3

1

3 1

































3

2 9

1 y

y 3

2 9

1 x

x 3

2 9 1

z y x z y x 3

2 3

=

3

1 z y x 3









X?y ra d8u Gng th0c  x = y = z = 0 a = b = c =

3 1

6.3 Bài t ập tự giải:

Bài 1: Cho a, b, c là s o các c,nh c=a tam giác

c b a

c b

c a

b a

c b

a



















Bài 2: Cho a, b, c là các s d@ng

CMR:

2

c b a b a

c c

2 a

b c

b

2 2 4 2

4 2

2











A M ột số định lý, bất đẳng thức cần dùng:

Nu tdng các s thc d@ng x1, x2, ., xn bsng m#t s cho

tr"c, thì tích c=a chúng l"n nh8t khi : x1 = x2 = = xn

Nu có n s thc d@ng x1, x2, ., xn có tdng bsng S không

di thì tích P = x1.x2 xn có giá tr1 l"n nh8t khi:

n

n 2

2

1

1

m

x m

x m

x









Trong ó mi là các s h9u tt d@ng

Nu tích c=a các s d@ng x1, x2, ., xn bsng m#t s cho

tr"c thì tdng c=a chúng bé nh8t khi: x1 = x2 = = xn

* P1nh lý 2: Nu n s thc d@ng x1, x2, , xn có tính ch8t:

P = x1.x2 xn

S = x1 + x2 + + xn

Có giá tr1 bé nh8t khi :

n

n 2

2

1

1

m

x m

x m

x









Trong ó: mi(i = 1, 2, , n) là các s h9u tt d@ng cho

tr"c

(1)

n 2

1 n 2

1 a a a a a

D8u “=” x?y ra  ai cùng d8u (a1, a2, , an 0)

P3c bi*t: a 1  a 2  a 1  a 2

1 Tìm c ực trị của hàm số Biểu thức đại số:

2 2

) 1994 x

( ) 1993

x

(

Gi?i:

Do th8y hàm s xác 1nh v"i mi x

Ta có: y = x  1993  x  1994 = x  1993  1994  x

Áp dEng b8t Gng th0c: a 1  a 2  a 1  a 2 Ta Lc:

y  x  1993  1994  x  1  y  1

D8u “=” x?y ra  (x - 1993)(x - 1994) 0

1993 x 1994

Do ó ym i n = 1

1994 x

x

x1  2   1993 

Hãy tìm giá tr1 nhC nh8t c=a biu th0c:

M= x1 1  x2  1   x1993 1

Gi?i: Áp dEng b8t Gng th0c (1), ta có:

1 x 1

x1  1 

1 x 1

x2  2 

1 x 1

x1993  1993 

C#ng t]ng v b8t Gng th0c trên ta Lc:

M  x1  x2   x1993  ( 1  1  1   1 )  1994  1993  1

V'y M nhC nh8t bsng 1

2 Dùng b ất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:

* Bài 1: Gi?i ph@ng trình x2  x  1  x2  x  2  3 (1)

Gi?i:

Áp dEng b8t Gng th0c (1), ta có:

3 x x 2 1 x x x x 2 1 x x 2 x x 1 x

x2   2   2     2  2     2 

X?y ra (1) khi và ch7 khi:

0 ) x x 2 )(

1 x

x

( 2     2   ( x 2  x  2 )  0

(x + 1)(x - 2) 0

-1 x 2















 1 y x

1 y x

4 4

3 3

Gi?i: T] ph@ng trình: x 4  y 4  1

Suy ra x  1 , y  1

- Nu x  1 thì ph@ng trình x 3  y 3  1

Suy ra: y 0

T@ng t : x 0

- Nu 0 < x <1 thì : x3 > x4 ; y3 > y4

>

3

3 y

x  x 4  y 4

Nh v'y trái v"i ;u bài V'y ch7 có th:

(x = 0 , y = 0) ho3c (x = 1 , y = 0)



























) 2 ( 1 ) 6

z 3

y 2

x )(

z 6

1 y

1 x

1

(

) 1 ( 14 z y

V"i x, y, z là ‚n s d@ng

Gi?i: (2)   x 2 y z 36

z

1 y

2 x

3





















