Chủ đề: Vận dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình- bất phương trình và hệ phương trình

Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi tương ứng với 3 dạng thông dụng sau đây: 1.. Lúc đó phương trình 1 có nghiệm duy nhất.[r]

Chủ đề: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH- BPT VÀ HPT

I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:

Xột phương trỡnh f x 0 1   x D  với D là một khoảng cho trước

Để vận dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh, ta cú một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thụng dụng) sau đõy:

1 Đối với loại phương trỡnh cú 3 hướng để giải quyết:

Dạng 1: Dạng ( )F x 0, với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D F x

Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng: F x( )0

Bước 2: Xột hàm số y F x ( )

Chỉ rừ hàm số y F x ( ) đồng biến hay nghịch biến trờn D

Bước 3: Đoỏn được F x 0 0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất x x 0

Dạng 2: Phương trình (1) có: ( ) đồng biến trên D hoặc ngược lại  

( ) nghịch biến trên D







F x

G x Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng : F x( )G x( ) (1)

Bước 2: Xột hai hàm số y f x( ) và y g x ( )

Chỉ rừ hàm số y F x ( ) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y G x ( ) là hàm

nghịch biến (đồng biến)

Bước 3: Đoỏn được F x 0 G x 0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất

0



x x

Dạng 3: Dạng phương trình ( )F u F v( ) (*), với ( ) hoặc đồng biến,F x

 

hoặc nghịch biến trên ; Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất a b u v

Bước 1: Đưa phương trỡnh về dạng F u( )F v( ) (1)

Bước 2: Xột hàm số: y F t ( )

Chỉ rừ hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn  a b;

Bước 3: Khi đú: ( ) F u F v( ) u v

Nhận xột:

+ Định lớ về tớnh đơn điệu trờn đoạn:

“ Nếu hàm số y f x  liờn tục trờn  a b; và cú đạo hàm f x/ 0 trờn khoảng  a b;

thỡ hàm số y f x  đồng biến trờn  a b; ”

+ Đối với bất phương trỡnh, hệ phương trỡnh, tư duy vận dụng tớnh đơn điệu hoàn toàn

tương tự như trờn

II- BÀI TẬP MINH HỌA:

Loại 1: Vận dụng tớnh đơn điệu để giải phương trỡnh

Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:

4x 1 4x  1 1 3 sin x 2 sin x 1

Hướng dẫn giải:

a) 4x 1 4x2 1 1

Điều kiện: 4 2 1 0

 





x x

1 2

 x

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số 2 và

1



y

2

 

D

2

0

2

x

Do hàm số liên tục trên 1; nên hàm số đồng biến trên

2



1

; 2



Dễ thấy 1 thỏa (1) Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là

2



2



x

b) 3 sin x 2 sin x 1 TXĐ: D R

Đặt t sinx , điều kiện t 1

Khi đó phương trình có dạng : 3 t 2 t 1 3  t 1 2t (2)

Dễ thấy:

+ Hàm số f t( ) 3t là hàm đồng biến trên D  1;1

+ Hàm số g t( ) 1  2t là hàm nghịch biến trên D  1;1

Từ (*) suy ra : f t( )g t( ) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy t1 là thỏa phương trình (2), do đó: sin 1 2

2

   

TXĐ: D 1; 

Xét hàm số f x( ) x1 có / 1 nên hàm số đồng biến trên



Và hàm số g x( )  x3 4x5 Đạo hàm : y/  3x2 4 0   x D hàm số nghịch biến

trên D

Phương trình (3) có dạng f x( )g x( ) Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm

đó là duy nhất Ta thấyx1 thoả mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x 1

Điều kiện:







 

    



x y

O 1 2 1

Đồ thị y 4x 1 4x2  1 1

+ Với

2 2

0

1 0 1

0 1

  







       



  





x

x

0 0





 x x  x

2 2

1 0

1 0

1 0

   







         





x

x

1 1

 



   x x  x D R

Biến đổi phương trình về dạng : x x2   x 1 1 (x 1) (x1)2(x 1) 1

 x x    x x x  x  x  x  Xét hàm số f t( ) t t2 t 1 Miền xác định D R

2

2 /

( )

f t

Nhận xét :

2 t     t 1 2t 1 4t     4t 4 2t 1 (2t1)    3 2t 1 2t   1 2t 1 0

hàm số đồng biến trên D

/( ) 0

 f x   x

Khi đó: (*) f x( ) f x(    1) x x 1 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

2 3

1

5

 

 

 

x x

2x 2x x  x1

c) 8sin 5 4 sin 1 1 1

Hướng dẫn giải:

2

3

1

5

 

 

 

x x

Điều kiện: x23x 2 0 1 Đặt

2





  



x

x u x23x2 u0

3x x   1 1 u

2

1 3

1

5



 

 

u

u

2

1 3

1 ( ) log ( 2)

5



 

 

x

Đạo hàm : / 1 1 2 ,

( 2)ln3 5



x

Suy ra hàm số đồng biến trên D

Mặc khác: f(1) 2 Do đó (2) có dạng : f u( ) f(1)  u 1: 3 5 3 5

b) 2x12x2x (x1)2 TXĐ: D R

Biến đổi phương trình về dạng : 1 2 2 (2)

2x   x 1 2x x x x

Xét hàm số f t( ) 2 t t Miền xác định : D R

Đạo hàm : f t/( ) ln 2.2 t  1 0  t D Suy ra hàm số đồng biến trên D

Từ (2) có dạng f x(  1) f x( 2x)   x 1 x2  x x 1

Vậy x 1 là nghiệm của phương trình

c) 8sin 5 4 sin 1 1 1 Điều kiện:

1 sin

4 5 sin

8







x x

Biến đổi phương trình về dạng: 8sin 5 1 4 sin 1 1 (3)

Xét hàm số f t( ) e t 1 Miền xác định:

Đạo hàm : / Suy ra hàm số đồng biến trên D

2

1 ( ) t 0  

t

Từ (*) có dạng : f 8sinx5  f 4sinx1 8sinx 5 4sinx1

8sin 5 4sin 1 8sin 5 1 4sin





sin 1

1 sin

2











x x

2 2

5

  



 



Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:

a) x 9 2x 4 5 b) x2 2x 3 x26x11 3 x x1

Hướng dẫn giải:

a) x 9 2x 4 5 (1) Điều kiện: 9 0 2

 



  



x

x x

Xét hàm số y f x( ) x 9 2x4 Miền xác định : D   2; 

Đạo hàm / 1 1 Suy ra hàm số đồng biến trên

Để ý rằng: f(0) 5 , do đó:

+ Nếu x0 thì f x( ) f(0) x 9 2x 4 5, nên x 0 là nghiệm bpt

+ Nếu   2 x 0 thì f x( ) f(5) x 9 2x 4 5 nên   2 x 0 không là nghiêm bpt

Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là T 0;

2 2

1 0

   



 



  



x x

x

Biến đổi bất phương trình:  x22x 3 x 1 x26x11 3x

Xét hàm số f t( ) t2 2 t Ta thấy hàm số đồng biến trên  1;3

Từ (3) ta có (f x 1) f(3x)     x 1 3 x x 2

Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là T 2;3

Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình

Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:

3 4

1







2

2







c)







Hướng dẫn giải:

3 4

1













4

1



 



 x   x x  x

Ta thấy hàm số f x( ) x1 là hàm đồng biến trên 1;

Xét hàm số g x( )  x3 x22x2 Miền xác định: D 1; 

Đạo hàm g x/( ) 3x22x 2 0  x D Suy ra hàm số nghich biến trên D.

Từ (1) ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm  1;0

2

2







0 0





 



x y

Ta có (II)

2

2



 



Cộng vế theo vế ta có: 3x2 3 x 3 3y2 3 y3 (2)

( ) 3 3 3

2

3

2 3



t

t t

Từ (*) ta có ( )f x  f y( ) x y

3x  x 3

+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D

+ VP (3) là hàm hằng trên D

Ta thấy x1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)

Suy ra phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm  1;1

c)







Xét hàm số f t( )   t3 3t 3 lnt2 t 1

Lúc đó hệ có dạng: Miền xác định:

( ) ( ) ( )









f x y

f y z

f z x



D R

2



 

t

Ta giả sử x y z; ; là nghiệm của hệ và x max , ,x y z khi đó ta suy ra:

y f x f y z z f y f z x x y z x     x y z

 x  x  x   x

Ta thấy x1 là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R)

Vậy hệ có nghiệm 1;1;1

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 3 x x2  2 x x2 1 b) x   3 x3 3x2 x 12

x x

e) 2m x2 624x3m 4m x2 3m6 f) log tan 2

tanx2.3 x 3

4 sin sin cos

sin

2 x 2 x x  x 32 sinx33sinx10 3 sinx2 3 sinx0

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) x  x2 1 1 b) x 1 x2 1 x1 3 x

c) x  1 1 2x x 2x3 d) x 3 x  3 9 x

Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:

12





x y y x

x xy y

2 2







2

2







 





y x

sin 2 2 sin 2 2









x y

2

3 2

3 2

3

2 6.log 6

2 6.log 6

2 6.log 6













sin sin

5 , 4

















x y x e

y

x y