Ôn tập Bất đẳng thức và cực trị

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá...  an xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau..[r]

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

I Sử dụng một số BĐT cơ bản:

Các  " % & '( là  Cô-Si: /0 n  không âm  kì: a a1; 2; (a n n  2)ta luôn có:

1 2

( )

n n

n

a a a I n

a a  a

 Bunhiacôpxki: /0 hai   =  kì ( ;a a1 2; ),( ; ; )a n b b1 2 b n ta luôn có:

;

(a b a b   a b n n) (a a   a n)(b b   b n)( )II

n

a

a a

a b c  ab bc ca III a  b c

2

n

IV

a  a   a  a a a

Bài 1: Cho a  b 0

b  a 

Bài 2: Cho a > 1; b > 1 a b 1 b a 1 ab

Giải: Theo  (I) ta có: ( 1) 1 ;

1

2

ab

b a 

Bài 2’: a,b,c là ba ab bc ca abc 8 / 27.

Giải: Theo  (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2

1 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc 8 / 27

a = b = c =1/3.

Bài 3: Cho ba a3 b3 c3 a2 bc b2 ca c2 ab.

Giải: Theo  (I) ta có: 3 3 3  3 4 3 3 2 ;

6

4b  c a 6b ca;4c a b 6c ab

Bài 3’: Cho ba (x y z) /6 xy z2 3  432.

Bài 4: Tìm GTNN J 3  P (x y) /9 x y3 6trong

Giải: Theo  (I) ta có:

9

x y



   

   

Bài 5: Ba  = a,b,c [ mãn ]  6 6 6 Hãy tìm GTLN J 3 

3

a b c 

S  a b c

Giải: Theo  (I) ta có: 6 2 6 2 6 2

Bài 6: x,y là các  = [ mãn các `3 1] 0 x 3;0 y 4 Tìm GTLN J 3 

.

A x  y x y

Giải: Theo  (I) ta có: 3 (6 2 ) (12 3 ) (2 3 )

3

3

Bài 7: x,y,z là các

.

P  xyz x y y z z x

m n m n m n

a b c m n N

n

Chú ý: WI3 m  n 1 thì ta !M  a2 b2 c2 a b c

Bài 9: Cho 3

b c a c a b a b c

 

3

;

Bài 10: Các x  y z 6 Tìm GTNN J 3 .

.

S

y z x z y x

Bài 11: Cho ba a  b c 6 Tìm GTNN J 3 .

.

P

Bài 12: Cho x,y,z là ba  = % mãn ]  x  y z 0

Giải: Theo  (I) ta có: 3 4 x  1 1 1 4   x  4 44 x 2.2x/ 4

6 7

3

3 4 y  2.2y ; 3 4 z  2.2z  S 2(2x 2y 2z ) 2.3 2 x y z  6

Bài 13: Cho hai

.

S

2

/Y( khi x = y = 1/2.

2 3

3

Bài 14: Cho ba a  b c 3 Tìm GTNN J 3 

.

S

Bài 15: Cho 3 a2 b2 c2 1

.

3

ab bc ca

S

Bài 16: Cho 3

.

3 2

xy z  yz x  zx y 

Giải: Do xy z xy z x(  y z) (x z y)(  z) nên theo  (I) ta có:

1

2

;

1 2

1 2

.

1/ 3

x  y z

Bài 17: Cho hai x y 6 Tìm GTNN J 3 .

x y

Giải: Theo  (I) ta có: 3 6 8 3 3 2 3 6 2 .8 3.6

P

/Y( MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.

   

Bài 18: Cho 3 2 xy  xz 1 Tìm GTNN J 3 

S

Giải: Theo  (I) ta có: S yz xz 2 yz xy 3 xy xz 2z 4y 6x

/Y( MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.

2(x z) 4(x y) 4 xz 8 xy 4

Bài 19: Cho hai  = không âm x,y [ mãn các `3 1] x y 4;3x y 6

Tìm GTLN J 3  P 9.3 x 4 y

  a3b 3 &a b 2 / 3 a (2 33) / 2 &b  (9 2 3) / 6

/Y( MaxP  9 4 3 khi x 1& y 3.

Bài 20: Cho 3

.

;

1

2

a bc

1 2

a b c

a  b c

Bài 21: Cho hai

ab  a b  ab  a b 

ab  a b  ab  ab  a b 

1/ 2

a  b

Bài 22: Cho a,b,c là các a  b c 3/ 2

Bài 23: Ba x2  y2  z2   x y z.

2

3

x y z

x  y  z     x y z

.

3

3

x y z

x y z xyz x y z

1

x   y z

Chú ý: i  trên ta suy ra  a22 b22 c22 a b c

Bài 24: Cho a  c 0;b  c 0 c b c(  )  c a( c)  ab.

ta !M.

( c; ac) & ( b c ; c)

2

( c b c(  )  c a( c))   (c a c b c)(   c) ab

ab c ab

Bài 25: Cho 4 a  x a;   b x y

x y a b x y a b



ta

x y a b x y

x y a b x y

2

x y a b x y x a x

x y a b x y

Bài 26:   = a,b,c,d [ mãn ]  a2 b2 c2 d2 1; x là

minh:

(x axb) (x cxd) (2x 1)

(x axb) (x  x 1 )(x a b );

(x axb) (x cxd) 

(2x 1)(x a b  x c d ) (2x 1)

py qz  pz qx  px qy  p q

Giải: Theo  (III) ta có: x py( qz) y pz( qx) z px( qy) (pq xy)(  yz zx)

2

py qz pz qx px qy

ta !M.

( x py( qz); y pz( qx); z px( qy))

x py qz y pz qx z px qy x y z

py qz pz qx px qy

.

pyqz  pzqx  pxqy

2

b c  a c  b a 

b c  d c  d a  a b 

3/

2

b c a c b a

 

4/ ;0 a,b,c là  dài ba K  J  tam giác.

a b c

5/ a b c 3 ;0 a,b,c là  dài ba K  J  tam giác.

b c a  a c b  b a c 

Bài 28: Cho các  = x,y,u,v [ mãn `3 1] x2  y2 u2  y2 1

u x y v x y 

u x y v x y  u v  x y  x y   x  y 

u x y v x y

Bài 29: Cho a,b,c là 3 a2 b2 c2 1

1 2

b c  a c  b a 

Giải: Theo  (II) ta có: a3 b3 c3 a b( c) b a( c) c b( a)

b c a c b a

(a b c ) (a b c ) ab bc ca

9%( ra khi a   b c 3 / 3.

Bài 30: Ba  x,y,z [ mãn `3 1] x x(  1) y y(  1) z z(  1) 4 / 3

.

    

Giải: i `3 1] ta suy ra: (x1/ 2)2 (y1/ 2)2  (z 1/ 2)2  25 /12 Áp

!M

1.(x1/ 2) 1.( y1/ 2) 1.( z1/ 2) 3 ( x1/ 2) (y1/ 2)  (z 1/ 2)   25 / 4

6 7#

.

4 / 3

x  y z

Bài 31: Hai  a,b [ mãn `3 1] a2 b2 16 8a6b

a  a b b b a

Giải: a/ i `3 1] ta suy ra: (a4)2  (b 3)2 9 Áp

4(a 4) 3(b3)  (a4)  (b 3) (4 3 ) 9.25 4a3b25 15

 a = 16/5, b = 6/5.

Bài 32: Ba  x,y,z [ mãn `3 1] 2 2 2 Tìm GTNN và GTLN J

x  y  z  x z 

3 .

S  x y z

Bài 33: Cho a,b,c là ba  không âm [ mãn ]  a  b c 3.Tìm GTNN J 3 .

.

S  a ab b  c cb b  a acc

Giải: Theo  (II) ta có:

c cb b  cb

/Y( MinS = 3 khi

II.Sử dụng phương pháp đánh giá:

Bài 34: Cho 3

3 3 3 3 3 3

2

a

a b abc c b abc a c abc abc

a b c b

 

a b abc  ab a ab b abc  ab ababc ab a  b c

c

a b abc ab a b c abc a b c

;

c b abc  abc a b c c a abc  abc a b c

a  b c

2

bc b c

a bc a bc

a bc a bc abc abc





;

b ac abc c ab abc

a  b c

Bài 35: Cho 3 2 2 2 Tìm GTNN J 3 .

3

x  y  z 

P

S

Bài 37: Cho 3 1/a1/b1/c 3. Tìm GTLN J 3 .

3ab 3 3cb 3 3ac 3

S

Bài 38: Cho ba

2

2

x  y  z  x  y  z   x y z  

 (I) ta !M

4

.4

xyz

S     x  y  z    xyz  

/Y( khi

1

0

Bài 40: Cho 3

S

Bài 41: Cho 3

S

III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị bằng phương pháp đổi biến:

Bài 42: Cho các ab bc ca abc

.

3

S

Giải:  x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì `3 1] :& thành: x  y z 1 và  :& thành:

Theo  (II) ta có:

S  x  y  y  z  z  x 

6 7#

S  x y  y z  z  x  x y z 

hay

1/ 3

Bài 43: Cho 3

S

x y z y x z z y x

Giải:  x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì `3 1] :& thành: abc 1 và  :& thành:

.Áp

3 2

S

b c a c b a

2

a b c a b c S

a b c

 

hay

1

Bài 44: Cho 3 1/x1/y1/z 1

.

x yz  y xz  z yx  xyz  x  y  z

Giải:  x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì `3 1] :& thành: a  b c 1 và  :& thành:

Ta có:

1

abc  bac  cab   ab  bc  ca

có: bac  b ac; cab  c ab

hay

1/ 3

Bài 45: Cho hai  = x,y khác 0 và [ mãn `3 1] x2  y2 2x y2  y x2 Tìm GTNN và GTLN J 3  S 2 /x1/ y

Giải:  u 1/ &x v 1/y thì `3 1] :& thành:

Theo  (II) ta có:

u v  u v u  v 

(S 2)  2(u1/ 2) v 1 (2 1 ) ( u1/ 2)  (v 1)   25 / 4 5 / 2  S 2 5 / 2

/Y( MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2 MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3.

Bài 46: Hai  = x,y [ mãn các `3 1] y 0 &x2   x y 12. Tìm GTNN và GTLN

J 3  A xy x 2y17

Giải: i `3 1] ta suy ra: y  x2  x 12    0 4 x 3;

A f x  x  x  x

i BBT J hàm  ta suy ra:

MaxA Maxf x( ) f( 3)  f(3) 20

4;3

MinA Minf x  f  

4;3

Bài 47: Cho hai 2 2 Tìm GTNN J 3 .

1

x  y 

S  x  y  y  x

Bài 48: Cho các  = x,y [ mãn `3 1] x2  y2 1 Tìm GTNN và GTLN

J 3  4 2 2 2 1

x xy T

xy y



Giải: i `3 1] ta suy ra: 3 22 2 22 WI3 WI3 

x xy y T

x xy y



2

(*) không có

2

2 2

t t

t t

 

 

/0 T 1,(*) có  ' (T  1)( 2T 4) 0 khi   2 T 1 ?I M ;0 trên ta có:

MinT=-2 khi x  10 /10;y  3 10 /10 MaxT=1 khi x 1 và y = 0.

Bài 49: Cho hai x y 5 / 4 Tìm GTNN J 3 

4 / 1/ 4

S  x y

Bài 50: Cho hai

.

S   x   y

x -4 -3 1 3 f’(x) + 0 - 0 +

f(x)

20 20

13 -12

Giải: Ta có:



f x   x  x  x  x  x   x  

(1 x) (1 x ) x  (1 x)   x (1 x) x  (1 x)  0

.

( Vì x và 1 x không P x1( ) 0;P x2( ) 0 )

Do f(0)  f (1) 1  2; (1/ 2)f  2 1 1/ 2 2008  MaxS  1 2;MinS  2 1 1/ 2 2008

Bài 41: Cho

S

III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến:

Bài 42: Cho ab bc... .

S  x y z

Bài 33: Cho a,b,c ba  không âm [ mãn ]  a  b c 3.Tìm GTNN J 3 .

.... z) 4(x y) xz 8 xy 4

Bài 19: Cho hai  = không âm x,y [ mãn `3 1] x y 4;3x y 6

Tìm