Đề cương ôn tập Toán học kỳ II- Lớp 11 ban cơ bản

2.Goùc : a giữa đường thẳng và đường thẳng Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt song song với 2 đt đã cho b giữa đường thẳng và mặt phẳng : Là góc giữa đt đó và hình chiếu vuông góc của [r]

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 1

ĐẠI SỐ.

Chương IV: GIỚI HẠN.

I – Giới hạn dãy số.

Lý thuyết:

1) Các giới hạn đặc biệt.

1) lim

2) lim k ;

C C

C

k Z n





  

3) lim 0; 1

5) lim ;

n n k

  

  

2) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 ; 1 Với

1

u

q

 S     u1 u2 u3 u n 

3) Định lý:

lim

lim

lim

n

n n

n n

n

n n n

a

u a

u

v

u

v a



 





  



  

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

2

2

4

lim



1 limn

n

1 lim

n n





2

lim

n n





lim(n 6n5) lim 2 5 4

n



2 5

) lim

2 2009

g

3 2

2 10 ) lim

2 2009

h

n

(HD: nhân với lượng liên hợp)

k n  n n

(HD: Đặt n làm nhân tử chung)

l n  n n

1 4

n

n





1 2 4 lim

1 3 4

 

n

q  q 

Bài 2: Tính tổng:

3n

S       1 1 1 11

S       1 1 12 ( 1)1

n n

S        

Bài 3: Một cấp số nhân có 1 1; 3 1 Tính ?

16

u  u  S  u1 u2  u n

Lop12.net

II – Giới hạn hàm số.

0

1) lim

 

0 0 2) lim

x x x x

   

4) lim k

  

lim ( ) lim ( )

0

lim ( )

lim ( ) lim ( )

0

lim ( )

x x f x



g(x)

0

lim ( )

x x f x

x x g x

 lim0 ( ) ( )

x x f x g x



L>0

L<0

0

lim ( )

x x f x

x x g x

( ) lim ( )

x x

f x

g x



L>0

L<0

0

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 3

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

10

0

1

2

2

2

2

1

2

1

3

3 2

1.lim( 2009)

2 1

2.lim

2

3.lim

2

4.lim

8 3

5.lim

2 3

2 1

6

1

7 lim

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

x

lim

x















 







 

 





3 2 4

3 2 2

5 2 3 2

2

0 10

8 lim

9 lim

10 lim

11 lim

3 1

12 lim

3 1 1 13.lim 2

14 lim ( 2009)

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x x

x x















 





  

 

5 3, 1

x x





 

lim ( ); lim ( ); lim ( )

x

III – Hàm số liên tục.

Phương pháp:

* Hàm số f(x) liên tục tại xo

o

o

xlim f (x)x f (x )

* Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b).

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0:

2 2

( )

x x

x





 



Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0: ( ) 2 2 , 0 .

1, 0

x a x

f x



 



Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = 1:

2 1 , 1

, 1

x x

f x x

x a x



 



Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm thuộc (-1; 1): 4 3 2 .

x x  x   x

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1): 4 2

4x 2x   x 3 0

Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:

x  x  x 

b) sinx = x

c) cosx = x

d) sinx – x + 1 = 0

Lop12.net

Chương IV: ĐẠO HÀM.

Dạng 1: Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường cong.

Phương phỏp: Phương trỡnh tiếp tyến cú dạng: y- y0 = f’(x0)(x – x0)

Bài 1: Cho đường cong (C): y = x3 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) trong cỏc trường hợp sau: a) Tại M(-1; -1).

b) Tại điểm cú hoành độ bằng 1.

c) Biết hệ số gúc của tiếp tuyến bằng 3.

d) Tại giao điểm của (C) với trục hoành.

Bài 2 Cho hàm số f(x)=x3+2x2-3x+1 có đồ thị là (C)

a) Giải phương trình f’(x)=0

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hoành độ 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có tung độ 1

d) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đồ thị hàm số g(x)=x3

Bài 3: Cho hàm số y = 2

x  x

a) Viết cỏc phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó cho tại điểm cú tung độ 3

b) Viết cỏc phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó cho biết tiếp tuyến cú hệ số gúc bằng 3 Bài 4: Cho đường cong (C): 2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại điểm cú hoành độ

2

x y x







bằng 1.

Baứi 1: Cho haứm soỏ (C): y  f(x) x  2  2x 3  Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp vụựi (C):

a) Taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ x0 = 1

b) Song song vụựi ủửụứng thaỳng 4x – 2y + 5 = 0

c) Vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng x + 4y = 0

d) Vuoõng goực vụựi ủửụứng phaõn giaực thửự nhaỏt cuỷa goực hụùp bụỷi caực truùc toùa ủoọ

Baứi 2: Cho haứm soỏ y f(x) 2 x x2 (C)

x 1

 



a) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm M(2; 4)

b) Vieỏt phửụng trỡnh ttieỏp tuyeỏn cuỷa (C) bieỏt tieỏp tuyeỏn coự heọ soỏ goực k = 1

Baứi 3: Cho haứm soỏ y f(x) 3x 1 (C)

1 x





a) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm A(2; –7)

b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi giao ủieồm cuỷa (C) vụựi truùc hoaứnh

c) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi giao ủieồm cuỷa (C) vụựi truùc tung

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 5

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y 1x 100

2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 0

Bài 4: Cho hàm số (C): y x  3  3x 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2)

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I

Bài 5: Cho hàm số (C): y  1 x x   2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 =1.

2

b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0

Dạng 2: Tính đạo hàm dựa vào quy tắc.

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2

4 2

1

4

3 ( 1)( 2)

4 ( 1) (( 2)

1

5

y

x





2

2

2

2

1 6

2 3 7

2 1 8

2 1

2 1 9

2

y

x y x x y x

y x



















2 2 2

11 4 1

1 12.

1 1 13.

2 2 1

14.

( 1) 1

15 1 1

y x x x y x y

x x y

x x

y x x x x

  









  



 

     

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sau:

'

2 '

2 ' ' '

( ) ' '

( ) ' ' '

ku ku

uv u v uv

u u v uv

v

y y u





  

 

 



  

 

 



 

1 '

2 '

( ) '

1 2

x nx

x

x





   

 

 

1 '

2 '

( ) ' '

' 2

u

u u

u





   

 

 



2

2

(sin ) ' cos (cos ) ' sin

1 (tan ) '

cos 1 (cot ) '

sin

x

x x

x



 



 

2

2

(sin ) ' 'cos (cos ) ' 'sin

' (tan ) '

cos ' (cot ) '

sin

u u

u u u

u



 



 

Lop12.net

1 2 sin 3cos

sin cos

2

sin cos

3 cos 2 cos 3

y









2

3

2

4 (1 cot )

5 cot 2

4

6 2 tan



 

2

7 3sin 2 sin

2

9 sin

x y



( a là hằng số)

Dạng 3: Đạo hàm cấp hai.

Phương pháp: y(n) = (yn – 1)’

Bài 1: cho hàm số: y = acosx + bsinx (a; b là các hàng số tùy ý) Chứng minh: y” + y = 0 Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

2

2

1

2

1

3

3

x

y

x

y

x











2

3 2

4

5

6 .sin 2

y ax bx c

y ax bx cx d



7 sin 2

8 cos 1 9

y x







Dạng 4 : Các bài tốn giải phương trình ,bất phương trình đạo hàm

Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx   .

a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)

2

  

 

Bài 2 Giải bất phương trình f '(x) g'(x)  với:

a) f(x) x  3   x 2, g(x) 3x  2   x 2

2

f(x) , g(x) x x

x

Bài 3 Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R:

3

b) f '(x) 0 với f(x) mx3 mx2 (m 1)x 15

HÌNH HỌC

1 Cách chứng minh trong quan hệ vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Cách 1 : dùng các tính ch ất định lí Pi tago

Cách 2 :

a AB

a BC

b AC

 



Cách 3 :

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 7

//

a AB

a b

AB b

 





Cách 4 :

( )

a P   b a b

b) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cách 1 :

a AB

a ABC

b AC

 



Cách 2 :

( ) ( )

a b







cắt c nằm trong

Cách 3 :

( ) ( )

a b



   



c) Mp vuông góc v ới mặt phẳng

( )

( ) ( ) ( )



2.Góc :

a) giữa đường thẳng và đường thẳng

Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt song song với 2 đt đã cho

b) giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Là góc giữa đt đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng đã cho

c) giữa mặt phẳng và mặt phẳng :

Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Hoặc là góc lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đã cho và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

3.Khoảng cách :

a) Từ một điểm A đến đường thẳng b

là khoảng của A và H là hình chiếu của A trên b

b) Từ một điểm A đến (P)

là khoảng của A và H là hình chiếu của A trên (P)

Lop12.net

c)Tửứ giửừa hai ủt cheựo nhau a, b : Caựch 1 : Tỡm ủoaùn vuoõng goực chung Caựch 2 : + goùi (P) laứ mp chửựa b vaứ // vụựi a

+ Chieỏu a treõn (P) ủửụùc a’ vaứ a’ caột b taùi I + Tửứ I keỷ ủt vuoõng goực vụựi a vaứ caột a laùi J

=> khoaỷng caựch laứ IJ

B Bài tập:

Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đường thẳng:

Bài tập

1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B

a) Chứng minh BC (SAB)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần "$4 là trung điểm AB,

BC Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:

a) SO (ABCD)

b) IJ (SBD)

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD) Gọi 

H, I, K lần "$4 là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD

a) Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) 

b) Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)

c) Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI 

4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh: BC (AID)

5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là điểm

thuộc

mp(ABC) sao cho OH (ABC) Chứng minh rằng:

a) BC (OAH)

b) H là trực tâm của ABC

c) 1 2 12 12 1 2

OC OB

OA

6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

SC = a 2 Gọi H, K lần "$4 là trung điểm của các cạnh AB, AD

c) Chứng minh: SH (ABCD)

d) Chứng minh: AC SK và CK SD 

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 9

7.Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong

Trên

điểm đối tâm của D trên (O) Chứng minh rằng:

e) Tam giác SDE vuông ở S

Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:

1.Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các

cao BE, DF của tam giác BCD;

g) Chứng minh: AB (BCD)

h) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)

i) Gọi O và H lần "$4 là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD CM: OH (ADC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA (ABCD) 

và SA = a 6 Chứng minh:

a) (SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD) 

b) (SBC) (SDC)

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD

a) Chứng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD) 

b) Một mặt phẳng ( ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần "$4 tại B’, C’, 

D’ Chứng minh AC’ B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ đối xứng với nhau qua 

mặt phẳng (SAC)

4 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I Dựng

đoạn SD = 6 vuông góc với (ABC) Chứng minh:

2

a

a) Mặt phẳng (SAB) (SAC)

b) Mặt phẳng (SBC) (SAD)

5 Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 2 Trên

3

a

vuông góc với (P) tại giao điểm của 2

a) Chứng minh tam giác ASC vuông

b) Chứng minh: (SAB) (SAD)

6 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y Tìm hệ thức liên

hệ giữa a, b, x, y để:

a) (ABC) (BCD)

b) (ABC) (ACD)

7 Cho ABC vuông tại A Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC)

a) (ABB’) (ACC’)

b) Gọi AH, AK là các

mặt phẳng (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK)

Loại 3: Góc của 2 đường thẳng:

Lop12.net

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông góc với AB và AD, SA = 2 3 Tính góc của 2

3

a

14

2 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD

6

3 .Cho hình lập

b) Gọi M, N, P lần "$4 là trung điểm AB, BC, C’D’ Hãy tính góc giữa: MN và C’D’; BD và

Loại 4: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

*Đ/N:

* Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ():

 Tìm giao điểm O của a và ()

 Chọn A a và dựng AH  () ( H ()

 ( , ) a a = AOH

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với đáy Tính góc của:

7





14





2.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi I

là trung điểm AB

d) Chứng minh SI (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) tan 15

5





e) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Suy ra góc của SC với (SAD) 3;sin 6

a





A H O

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 11

f) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD) 

3



3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy Gọi

M, N lần "$4 là trung điểm SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600

5



Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng:

1.Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần "$4 là trung điểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (600)

2.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a

3



3.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên

và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’

4.Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD) Tính góc:

5.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc

6.Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = , vẽ SO (ABCD) và SO =

3

a

3

a

l) Chứng minh: góc ASC = 900

m) Chứng minh: (SAB) (SAD)

7.Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, DBC vuông cân tại D 

Biết AB = 2a, AD = a 7 Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (300)

Lop12.net

Loại 6: Các bài toán về khoảng cách:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng.

+ OH a d O a( , ) OH

H a

ỹ

^ ùùịýù =

ẻ ùỵ

+ OH d O( , ) OH

H

a

a a

ỹ

^ ùùịýù =

ẻ ùỵ

* Phương pháp dựng một đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

* Cách 1: - Dựng mặt phẳng () qua A và vuông góc với ()

- Xác định giao tuyến a của () và ()

- Dựng AH  a ( H a)

- SH = d(A, )

*) Cách 2:

- Chọn trong mp() một đt a và

từ A kẻ AO  a;

- Qua O kẻ đường thẳng b  a;

- Từ A kẻ AH  b;

- AH = d(A, )

* Chú ý: - Nếu có sẵn đường thẳng    thì ta chỉ cần dựng Ax  

- Nếu AB //  thì d(A, ) = d(B,)

- Nếu AB cắt  tại I thì ( , )

( , )

a

a =

* Một số bài tập áp dụng

1.Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD) và AB = a Tính k/c:

2

a

7

a

H

O

H O

A

a A

A B I

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Trang 13

2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA

= SB = b Tính khoảng cách:

2 b a

q) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB ( 5 )

5

a

2

b



3.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a SC = SA = SB = AD = a 2

Gọi I, J lần "$4 là trung điểm của AD và BC

s) Chứng minh (SIJ) (SBC)

7

a

4.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại A có 

BC = 2a, AB = a 3

2

a

7

a

w) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’

2

a

Bài tập tổng hợp

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a;

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi I, J lần lượt là trung điểm các

cạnh SB và SD ;

a) Chứng minh rằng: SAB, SAD là các tam giác vuông cân và SBC, SCD là các tam giác vuông ;

b) Chứng minh IJ vuông góc với mặt phẳng (SAC) ;

c) Chứng minh AI và AJ cùng vuông góc với SC.

Cõu 2

Cho lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A ,với AC = a ,

.Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) một gúc



1) Chứng minh rằng : AB  (AA 'C'C)

Lop12.net

2) Tính độ dài AC’ và diện tích tam giác ABC

3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

C©u 3

Cho hình chóp tam giác đếu S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a

1) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABC)

2) Chứng minh rằng : SA BC 

3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC)

C©u 4

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, giả sử SA( ABC)

a) Chứng minh : SB BC và (SAB)(SBC)

b) Vẽ đường cao AH của tam giác SAB Chứng minh rằng AH  SC

c) Cho SB = 2 SA Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD),

góc SBA bằng 30 0

a) Chứng minh SBC là tam giác vuông

b) Chứng minh (SAB)(SAD)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB