Giáo án Giải tích 12 nâng cao - Chương 3: Nguyên hàm- Tích phân và ứng dụng

BÀI 4 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I> Mục tiêu:Qua bài học này học sinh cần đạt được tối thiểu sau đây: 1-về kiến thức : + giúp học sinh hiểu và nhớ công thức 1 và 2 trong sgk là [r]

 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ  

Bài 1: NGUYÊN HÀM

I M

1/ Ki ến thức : khái  nguyên hàm, các tính # $ nguyên hàm, % &  $ nguyên hàm, '

nguyên hàm $ các hàm   ( )*!

2/ K ỹ năng: bi+ cách tính nguyên hàm $ ,  hàm  - '

3

/+  0 KT-KN 4 56 KT-KN quen  ,9

-

-

II : #- /

GV :

HS : 1+  C 56 E hàm

II Ph ng pháp:

- Thuy+t gi'ng , k+t hp th'o lu:n nhóm và hLi đáp

III N +i dung và ti0n trình lên l1p:

1/

2/ Kiểm tra bài cũ : (10 phút)

Câu ; 1 : Hồn thành ' sau :

(GV treo ' * H lên yêu  HS hồn thành , GV N O và P Q )

C

x

lnx

ekx

ax (a > 0, a  1)

cos kx

sin kx

tanx

cotx

Câu

3/ Nội dung bài mới:

10 / HĐI : Giới thiệu k/n nguyên

hàm

Bài tốn mO u (sgk)

H

(ng i c c$a viên n bNn

c t giây , v(t) là v:n tc c$a

viên  ti th(i im t thì quan

h gi0a hai i lng D nh th+

nào ?

2) Theo bài tốn ta cn ph'i

tìm gì?

DXn dNt +n khái nim nguyên

hàm

* Cho hàm số y = f(x) thì bằng

* HS

Trị B' @(

v(t) = s/(t)

Tính s(t) + s/(t)

Bài tốn mO u (sgk)

10 /

5 /

10 /

caùc quy taĩc ta luođn tìm ñöôïc ñáo

haøm cụa haøm soâ ñoù Vaân ñeă ñaịt

ra laø :” Neâu bieât ñöôïc f’(x) thì ta

coù theơ tìm lái ñöôïc f(x) hay

khođng ?

* Giôùi thieôu ñònh nghóa.Ghi lín

b'ng

* Cho HS

Cho ví dú : Tìm nguyeđn haøm cụa

:

a/ f(x) = x2

b/ g(x) = 54 x 

x

2 cos

1

;

2 2

 

c) h(x) = xtrín

0;

*G

P Q vă ghi lín '

C$ng c : Cho HS th%c hin Hb

2: (SGK)

G

* GV nh:n xĩt vă chPnh s$a

HLi : Neâu bieât F(x) laø moôt

nguyeđn haøm cụa f(x) thì ta coøn

chư ra ñöôïc bao nhieđu nguyeđn

haøm cụa f(x)

2c D ta có d lý 1

G 3: bd lý 1

* Ghi d lý 1 lín '

JL 1 : Em hêy f% văo tính

# F’(x) = f (x) O E , trín

 C minh *  a $ d lý

5c níu

Trò B' @(

a/ F(x) =

3

3

x

b/G(x) = tanx c)H(x) = x x

3 2

Thực hiện HĐ1

F1(x) = - 2cos2x lă nguyín hăm $ hăm 

f(x) = 4sin2x

F2(x) = - 2cos2x + 2 lă nguyín hăm $ hăm 

f(x) = 4sin2x

HS trả lời Vô số, đó là : F(x) +C, C là hằng số

Đứng tại chỗ trả lời

a/ Định nghĩa :

* Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu:

x K ta có: F’(x) = f(x)

  Chú ý : Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên [a,b] nếu F '(x)f (x), x (a, b)

vàF/(a) = f(a) ; vàF/(b) = f(b)

Ví dụ:

a F(x) = là một nguyên

3

3

x

hàm của f(x) = x2 trên R

b G(x) = tgx là một nguyên hàm của g(x) = trên

x

2 cos 1









  2

; 2





c) H(x) = x xlà một nguyên

3 2

hàm của h(x) = x trín

0;

b/ Định lý:1

Nếu F(x) là một nguyên hàm

T 2

10 /

JL 2 : 3+ f/(x) = 0 , có : xĩt

gì 56 hăm  f(x)

Xĩt  / = G/(x) – F/(x)

) ( ) (x F x

G 

= f(x) – f(x) = 0 ,

=C (C lă n  )

Gv 4   54 Hs *  C

minh SGK, trang 137,  Hs 

rõ , dung d lý 5c níu

Cho HS lăm ví fH 2 ( Trang 138,

sgk)

* GV : xĩt vă P Q

GV ghi ' *  : xĩt (sgk)

* F4   cho HS : K% &  $

nguyín hăm:

Ta  c : d lý sau:

(Gv ghi ' )

JE , 4 :

Hêy hoăn thănh ' sau:

* JE, nhóm

*

băy ,

xĩt , GV P Q

2c D có ' nguyín hăm

* Giới tiệu bảng các nguyên

hàm cơ bản.(treo bảng phụ lín)

Cho ví dụ áp dụng

Tìm nguyên hàm của các hàm

số sau : (GV ghi lín bảng)

: xĩt vă P Q

Hoạt động 5 : Tính chất của

nguyín hăm

* Ghi tính chất của nguyín hăm

lín bảng

f(x) lă hăm hằng

HS lín ' trình băy

2 'E @: nhóm  hoăn thănh ' nguyín hăm

W cho vă lăm câc ví fH sau



của f(x) trên K thì:

a) Với mọi hàng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên K

b)Ngược lại với mọi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K

Chứng minh: (sgk)

Ví dụ:Tìm nguyín hăm $ hăm 

trín R  E' mên 6 2

f (x)3x



F(1) = - 1

3x dxx C



F(1) = - 1 nín C = - 2

2 – 2 Tóm @! ta có: 3+ F lă ,

nguyín hăm nguyín hăm $ f trín K 6 có f F(x) + C , C R

Vđy F(x) + C lă nguyín hăm $ f trín K , kí  f(x)dx



f x dxF x C



G4 f(x)dx lă vi phđn $

nguyín hăm F(x) $ f(x), vì dF(x)

= F’(x)dx = f(x)dx

nguyín hăm trín K”

2) H câc nguyín hăm ?@A E+!

IJ hăm IJ !K L5

* Treo bảng câc nguyín hăm cơ bản (trang 139)

Ví dụ : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

1) 4x 4dx = x5 + C

5 4

2)  xdx = 3 + C

3 2

x

10 /

10 /

12

Gv 4   54 Hs *  C

minh SGK, trang 140,  Hs 

rõ , dung tính # 2 5c níu

@ ?J : Cho ví dụ áp dụng

Tìm nguyên hàm của các hàm

số sau : (GV ghi lân bảng)

* Gọi HS lín bảng trình bay , GV

hướng dẫn , chỉnh sửa

* Hướng dẫn HS lăm băi

x

x

3  Hỏi : Để tìm nguyên hàm của

hàm số f (x) 3x 2 x ta làm

x





như thế nào ?(x > 0)

HĐ 6 ) : Củng cố băi học

Phât phiếu học tập

Treo bảng phụ ghi nội dung

phiếu học tập

Đại diện nhóm lín bảng trình

băy , Gv nhận xĩt , chỉnh sửa

HS trình băy

Chi a tử cho mãu x



x

x

dx x

x

1 3 1 2



= ( x 2x 2)dx=

1 3



 + C 2 1 3 1

4x

= 33 x4 x+ C

2 'E @: nhóm

3) cosx/2 dx =2sin + C

2

x

3 Các tính chất của nguyên hàm

3+ f vă g lă hai hăm  liín H trín K thì :

a) [ ( )f x g x dx( )]  f x dx( )  g x dx( )

kf x dxk f x dx k

Ví fH :

1) ( )dx =

x

2 

=

dx x dx

1 2

1

2 2

1

+ C

x

x 4 3

1 3 

2) (x – 1) (x 4 + 3x ) dx=

dx x x x

( 5 4 4 



C

x x x x









2

3 5

6

2 3 5 6

3) 4sin 2xdx = 2(1cos2x) dx

= 2x – sin2x + C

x

x

= (

dx x

x

1 3 1 2

1 3





1 3 1

4x

4 @ ?J :

+ Gv N @ câc khâi  vă quy N trong băi  Hs  N sđu +  C9

V 1 &N O? băi P nhă vă ra băi !R5 P nhă

+ Hoăn thănh câc băi :* 1 4 SGK, trang 141

+ Xem B4 băi : t,  * - phâp tìm nguyín hăm

I/  ? tiíu

9G6 +  C

-

2 G6 A z

- Giúp

3 G6  duy thái ,

- Phát B t duy linh E9

II/ #- / ?@A giáo viên và O? sinh

1 Giáo viên:

2

III  pháp: F O 5# áp

IV/ 0 trình bài O?

,X 1

1/ ~ d @4*

2/ 1 tra bài = (5 phút)

Câu L a/ Phát  d  A nguyên hàm

b/ ? C minh Bn hàm  F(x) = là , nguyên hàm $ hàm 

5

) 1 2 ( x2  5

f(x) = 4x(2x2 +1)4

Cho

3/ Bài 4

=>! *+ 1: Xây &Z phng pháp *[ 0 IJ$

5’

5’

- 3+ ) u = 2x2 + 1, thì

=

4x(2x2 1)4dx

(2x2 1)4(2x2  )'dx

=u4du= + C =

5

5

u

+ C 5

) 1 2

( x2  5

- Thông qua câu L b/ , h4

fX hsinh i + ph-ng pháp

y + 9

=

4x(2x2 1)4dx

=(2x2 1)4(2x2  )'dx

.3+ ) u = 2x2 + 1, thì 

 C O trên BO thành nh  + nào,

+ 7' ra sao?

- Phát  d lí 1 -bd lí 1 : (sgk)

7’

- HS suy  A cách + y 56

f

 f[u(x)]u'(x)dx

- b1:   dx=

x

x

3 2 1 2

(x 1)3(x2  )'dx

1 2

H1:Có   + y   dx

x

x

3 2 1 2

56 f  f[u(x)]u'(x)dx 

không? 2c ó suy ra 7'

Vd1: Tìm   dx

x

x

3 2 1 2

Bg:

=

x

x

3 2 1 2

(x 1)3(x2  )'dx

1 2 b) u = x2+1 , khi ó :

6’

b) u = x2+1 , khi ó :

=

(x 1)3(x2  )'dx

1 2

u3du

1

= u + C = (x2+1) + C

2

3 32

2

- HS suy  A cách + y 56

f

 f[u(x)]u'(x)dx

b2:2xsin(x2  dx1) =

sin(x2 1)(x2  )'dx

b) u = (x2+1) , khi ó :

=

sin(x2 1)(x2  )'dx

sinudu

= -cos u + C = - cos(x2+1) +C

-HS suy  A cách + y 56

f

 f[u(x)]u'(x)dx

b3:ecosxsinxdx=

= - ecosx(cosx)'dx

b) u = cos x , khi ó :

=

-ecosxsinxdx ecosx(cosx)'dx

= -e u du= -eu +C = - ecosx +C

- 3 : xét và + @:9

H2:Hãy + y

56 f

2xsin(x2  dx1)

? 2c ó suy ra

 f[u(x)]u'(x)dx

7'

- 3 : xét và + @:9

H3:Hãy + y ecosxsinxdx

56 f  f[u(x)]u'(x)dx ? 2c

ó suy ra 7'

- 3 : xét và + @:9

=

(x 1)3(x2  )'dx

1 2

u3du

1

= u + C = (x2+1) + 2

3 32

2

C

Vd2:Tìm2xsin(x2  dx1) Bg:

=

2xsin(x2  dx1)

sin(x2 1)(x2  )'dx

b) u = (x2+1) , khi ó :

=

sin(x2 1)(x2  )'dx

sinudu

= -cos u + C = - cos(x2+1) +C

Vd3:Tìmecosxsinxdx

Bg:

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

b) u = cos x , khi ó :

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

= -e u du= -eu + c = - ecosx + c

* chú ý: có   trình bày cách khác:

=>! *+ 3: @ ?J ( 10 phút) =>! *+ nhóm.

Bài !R5 (% nhà: 6, 7 trang 145

 4 ?:

TI XT 2

5’

8’

b:

(u.v)’= u’.v + u.v’

 (u )' v dx u'vdx u ' v dx

 u dv (uv)'dx v du

= uv

- u dv v du

b:b) u = x, dv = sinxdx

Khi ó du = dx, v = -cosx

Ta có :

=- x.cosx +

xdx

x

= - xcosx + sinx + C

H: Hãy N @ công  C E hàm

, tích ? Hãy = ?

dv u



- GV phát  d lí 3

- Lu ý cho HS: ) u, dv sao cho tính f‚ h-n

du v

- H: 2c lí 3 hãy cho + ) u và dv

nh  + nào? 2c ó fX + kq?

- yêu  , HS khác ' n cách ) u = sinx, dv = xdx  Q kq

nh  + nào

-bd lí 3: (sgk) u dv = uv -v du

-Vd1: Tìm xsinxdx

Bg:

b) u = x,dv = sinxdx Khi

ó du =dx,v =-cosx

Ta có :

=- x.cosx +

xdx x

= - xcosx + sinx

xdx

cos + C

=

-ecosxsinxdx

) ( cos

osx c d

e x



= - ecosx + C

10’

- Các nhóm :* trung '

- Theo dõi *  trình bày

$ nhóm  và rút ra

: xét và y sung

- Cho HS h nhóm  %  * +

HT1

-

- b f nhóm khác cho : xét

- GV : xét và + @:9

* Chú ý: by +  nh

 + nào ó  a bài toán có f O ' nguyên hàm

Tg JE , $ giáo viên Ghi '

5’

5’

5’

2’

7’

-

h

b :b) u = x ,dv = exdx

du = dx, v = ex

Suy ra :

= x ex -

dx

xe x

= x.ex – ex + C

b: b) u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

Khi ó:

=x2.ex

-dx

e

x x

= x2.ex-x.ex- ex+C

- b: b) u = lnx, dv= dx

du = dx, v = x

x

1

Khi ó :

= xlnx -

dx

x

= xlnx – x + C

- bzt u = lnx, dv = x2dx

du = dx , v =

x

1

3

3

x

b :Không 9

Tr4 + :

b) t = x dt = dx

x

2 1

Suy ra sin x dx=2tsint dt

b) u = t, dv = sint dt

du = dt, v = - cost



=-t.cost+

 tsint dt cost dt

= -t.cost + sint + C

H :- ƒ% vào d lí 3, hãy ) u, dv nh  + nào ? Suy ra + 7' ?

H : Hãy cho + ) u, dv nh  + nào ? Suy ra 7' ?

- Lu ý :Có   dùng c *  6

@  tìm nguyên hàm

- H : Cho + ) u và dv nh  + nào ?

- Thông qua vd3, GV yêu  HS cho

+  54 x2lnx dx

thì ta ) u, dv nh  + nào

H : Có   Q fH ngay pp c * 

 không ? ta * ' làm nh  + nào ? + F ý : dùng pp y +  tr4! )

t = x

- Vd2 :Tìm xe x dx

Bg : b) u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex

Suy ra :

= x ex -

dx

xe x

= x.ex – ex + C

Vd3 : Tìm I=x2e x dx

Bg :b) u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

Khi ó:

=x2.ex

-dx e

x x

dx e

x x



= x2.ex-x.ex- ex+C

Vd4 :Tìm lnx dx

Bg : b) u = lnx, dv= dx du = dx, v = x

x

1

Khi ó :

= xlnx -

dx x

= xlnx – x + C

Vd5: Tìm sin x dx

b) t = x dt =

x

2 1

dx Suy ra sin x dx=2

dt t t

b) u = t, dv = sint dt

du = dt, v = - cost



Suy ra:

=

dx x

sin

= -2 x.cos x+2sin x+C

* Lu ý cho HS các f th( Q

fH pp c * 9

,

dx x x f

dx e x

) u = f(x), dv Z@9

, ) u = lnx,dv =f(x) dx

dx x x f

=-t.cost+

 tsint dt

= -t.cost + sint +

dt t

cos C Suy ra:

=

dx x

sin

= -2 x.cos x+2sin x

+C

* =>! *+ 6 : @ ?J

(Giáo viên dùng H 5 ^ ?H 415 cùng chú ý phát D<

V Bài !R5 (% nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146

I/

9G6 +  C

-

2 G6 A z

- Giúp

3 G6  duy thái ,

- Phát B t duy linh E9

II/ #- / ?@A giáo viên và O? sinh

1 Giáo viên :- Bài

2

III  pháp:

IV.0 trình bài O?

1/

2/

Câu L 1: Hãy phát  ph-ng pháp y +   tìm nguyên hàm?

Áp fH Tìm  2 cos dx

1

1

Câu

Áp fH Tìm (x+1)e dx x

8’

- ?' @4* :* trung '

- Theo dõi *  trình bày

$  và rút ra :

xét và y sung

- Treo ' * H và yêu  ' @4* chú

ý

-

- GV : xét và + @:9

Yêu  , HS khác : xét, y sung.

Gv + @: và cho 9

3/ bài

2 (

gian

JE , $ giáo viên Ghi '

5’

5’

- Hs1: Dùng pp y + 

b) u = sin2x

- Hs2: b) u = sin2x

du = 2cos2xdx

Khi ó: sin 2x cos2xdx = 5

2 1

u du = u 6 + C

12 1

= sin 6 2x + C

12

1

-Hs1: Dùng pp *[ 0 IJ

GL! u = 7-3x 2

- Hs2:) u=7+3x 2du=6xdx

Khi ó :

dx =

3 7

2

1

1

2

1 3

2 23

3

3

7 x

Thông qua , dung  tra bài =

Giáo viên #  thêm %

khác nhau trong 5 5: fH hai ph-ng pháp

- cách khác trình bày cách '9

cách khác trình bày cách '9

Bài 1.Tìm

3

x

3

x

Bg:

b)[sin

3

x 

du= cos dx 3

1 3

x

Khi ó: sin 5 cos dx =

3

x

3

x

u du

3

1

18

1

18

1 3

x

=L?

3

x

3

x

3

1

3

x

3

x

18

3

x

Bài 2.Tìm

dx

3 7

Bg:

b) u=7+3x 2du=6xdx Khi ó :

dx =

3 7

2

1

1

2

1 3

2 23

9’

c * 9

b) u = lnx, dv = xdx

du = dx , v = x



x

1

3

2 23

Khi *ó:

lnxdx =

3

2 23

3

2

3

x

1

3

2 23

3

2 3

2 23

3

2 23

G:Dùng pp *[ 0 IJ^ sau *ó

dùng pp !a 5b$

GL! t = 3x9 t =3x-92

2tdt=3dx



Khi ó: e 3x 9dx = te

3

2

dt

GL! u = t, dv = e t dt

du = dt, v = et



Khi ó: te dt=te t t - e t dt

= t e t - e t + c

Suy ra:

e dx= te t - e t + c

 3x 9

3

2

3 2

H:Có   dùng pp y + 

 không? Hãy 6 ;# cách

'

H:Hãy cho + dùng pp nào

 tìm nguyên hàm?

- 3+ HS không B' @( 

thì GV  ý

by +  tr4! sau ó c

* 9

3

3

7 x

Bài 3 Tìm

lnxdx

Bg:

b) u = lnx, dv = xdx

du = dx , v = x



x

1

3

2 23

Khi *ó:

lnxdx =

3

2 23 3

2

3

x

1

3

2 23

3

2 3

2 23

3

2 23

Bài 4 Tìm  e 3x 9dx

Bg:GL! t = 3x9 t =3x-2 9

2tdt=3dx

 Khi ó: e 3x 9dx = te

3

2

dt GL! u = t, dv = e t dt

du = dt, v = et

 Khi ó: te dt=te t t -

dt

e t



= t e t - e t + c Suy ra:

e dx= te t - e t + c

 3x 9

3

2

3 2

=>! *+ 7: ?$ 9MUhS

G4 bài toán  f(x)dx, hãy ghép , ý O , trái 54 , ý O , * '   ,

 6 úng

1/ f(x) = cos(3x+4)

2/ f(x) =

) 2 3 ( cos

1

2 x

3/ f(x) = xcos(x2)

4/ f(x) = x3ex

a/ by + 

b/ 2c * 

c/ by + 

5/ f(x)= 12 sin cos

1

x

e/ 2c * 9

V Bài !R5 (% nhà:

Tìm  f(x)dx trong các tr( * trên

§3 TÍCH PHÂN

I

1/ Về kiến thức : khái  tích phân, f tích hình thang cong, tính # $ tích phân,

 $ , 5:9

- Phát   d  A tích phân, d lí 56 f tích hình thang cong

- G+  các   C f‚  tính # $ tích phân

2/

vào  % ‚  tính f tích hình thang cong , ' các bài toán tìm quãng (   $ , 5:

3/ G6  duy và thái , :

-Thái , tích c% xây f% bài, $ ,,sáng E trong quá trình +* : tri  C 4

- 2 duy: hình thành t duy logic, @:* @: ) ‰! và linh E trong quá trình suy  A9

II  pháp :

III

+

IV 0 trình !0! &>' :

$3 */ 415 :

6$CkE tra bài ?l : 5’

G+ công  C tính nguyên hàm $ ,  hàm  hàm   ( )*9

Tính :(x  dx1)

GV N công  C :      

0

0 0

'

0

lim

x x

x f x f x

f

x







3 bài E1

=>! *+ 1: Tìm  khái  tích phân qua bài toán f tích hình thang cong

T

g

I/Khái niệm hình thang cong

y

7 B

H

f(t)=t+1

3 A

1 D G C

-1 x

O 2 t 6

/+  0 KT-KN 4 56 KT-KN quen  ,9

-

-

II :  #- /

GV :...

Bài 1: NGUYÊN HÀM

I M

1/ Ki ến thức : khái  nguyên hàm, tính # $ nguyên hàm, % &  $ nguyên hàm, ''

nguyên hàm $ hàm ... F(x) gọi nguyên hàm f(x) K nếu:

x K ta có: F’(x) = f(x)

  Chú ý : Hàm F(x) gọi nguyên hàm f(x) [a,b] F ''(x)f (x), x (a, b)

vàF/(a) = f(a) ; vàF/(b)