V Phương pháp đồ thị : Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện các bước sau : * sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phư[r]
Trang 1Chuyên đề phương trình, Bất phương trình
Phần I Phương trình có chứa căn thức
A Một số phương pháp giải
I.Phương pháp biến đổi tương đương
1.Kiến thức cơ bản
a
f x = g(x)
f(x) = g(x)
b f (x) g(x) f (x) 0,(g(x) 0)2
f (x) g(x)
Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước khi biến đổi.
2.Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: Giải phương trình sau:
x2 x 1 2 x (1)
Pt (1) 2 2 0 2
1 ( 2)
x
2
1 1
x
x x
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
3x 4 2x 1 x3 (2)
ĐK :
1
2
3 0
x
x
Pt (2) 3x 4 2x 1 x3 3x 4 ( 2x 1 x3)2
(2x1)(x 3) 1 2 (do x = -2 loại)
2
1
2 2
x
x
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
2(1x x) 22x 1 x2 2x1 (3)
Pt(3)( x22x 1 2 )(2x x22x 1) 0 x2 2 1 2 0 x x (*) hoặc
Trang 2x2 2 1 2 x (**)
Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm
Giải phương trình(**) ta được nghiệm của phương trình là x 1 6
Vậy nghiệm của phương trình(3)là :x 1 6
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
x x( 1) x x( 2) 2 x2 (4)
ĐK
1 ( 1) 0
0
2
x
x x
x
x x
x
Ta xét theo 3 trường hợp như sau:
+)Trường hợp 1: Nếu x1 thì pt(4) trở thành
x 1 x 2 2 x 2
x 1 x 2 4x
2 x2 x 2 2x 1 4(x2 x 2) (2x 1) 2 x 9(t/m)
8
+)Trường hợp 2: Nếu x 2 thì pt(4) trở thành
1 x x 2 2 x 2
2 x2 x 2 2x 1 4(x2 x 2) ( 2x 1)2 x 9(loại)
8
+)Trường hợp 3: Nếu x = 0 pt(4) luôn thỏa mãn
Vậy nghiệm của pt(4) là x = 0 , x 9
8
II) Phương pháp đặt ẩn phụ
1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình không chứa ẩn ban đầu
Nếu có f(x)và f(x), đặt t = f (x)
Nếu có f (x), g(x) mà f (x) g(x) a(h / s) thì đặt
a
t
Nếu có f (x) g(x), f (x)g(x),f (x) g(x) a đặt t f (x) g(x)
Nếu có a2x2 đặt x a sin t, t
Nếu có x2a2 đặt x a ( t , t 0)
* Bài tập áp dụng :
Trang 3Bài1: Gpt 2(x2- 2x) + x22x 3 6 0 đặt t = x22x 3 0
Bài2: Gpt 5( 3x 2 x 1) 4x 9 2 3x 25x 2
đ/k x ≥ 1 , đặt t = 3x 2 x 1 đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0
Bài3:Gpt: 1 x 2 4x33x đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost t0,
PT trở thành
3
1 cos t 4cos t 3cos t sin t cos3t cos3t cos( t)
2
5 3
t , ,
8 8 4
x cos
Bài4: Gpt:
2 (1 x) 2 3 1 x 2 (1 x) 2 0 (4)
Do x 1 không là nghiệm của phương trình (4) nên ta chia cả 2 vế của PT(4) cho 1 x 2
Pt 2 1 x 1 x 3 0 (5) đặt
Pt(5) tt 2t 1 3 0 2t2 3t 1 0
t
t 2
Bài5: Gpt : đ/k x > 1 đặt
2
x
12
1 x cos t
t (0 ) x2 1 tan t
2
1 1/ cos t 35 1 1 35 Pt
cos t sin t / cos t 12 cos t sin t 12 12(sin t cos t) 35sin t cos t
Đặt u sin t cos t u (1; 2) 35u2 24u 35 0 t 7
5
cos t sin t 12
1 1 25 cos t sin t 12
5
4 cos t 4
Trang 42 Dạng2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình còn chứa ẩn ban đầu
**Bài tập áp dụng : Bài1: Gpt : x2 1 2x x22x (1)
ĐK : x 2 Đặt
x 0
t x22x 0
Khi đó pt(1)tt x2 -2tx-1 = 0 , = t' 2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi
2 2
Bài2: Gpt : (4x-1) 4x2 1 8x2+2x+1
đặt t = 4x21 ≥ 1 ,pttt : 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 t 12 ( loại do t )
t 2x 1
1 t 2
4x 1 (2x 1) x 0
3 Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
n
u a f (x) u v a b
a f (x) b f (x) c
u v c
v b f (x)
Trong đó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2
***Bài tập áp dụng :
Bài1: Gpt: 31 x 31 x 2
Đặt 3 PT
3
u v 2
u v 2
Bài2:Gpt: 3 2 x 1 x 1
Đặt u 3 2 x Pt
u v 1
III) Phương pháp đánh giá
Trang 51) Kiến thức cơ bản:
1) f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0
f (x) 0 g(x) 0 h(x) 0
f (x) g(x) k
f (x) m
f (x) m ;g(x) n
g(x) n
m n k
3) f (x) g(x) f (x) k (trong đó k là hằng số)
f (x) k;g(x) k g(x) k
2) Bài tập áp dụng :
Bài1:Gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x x 3 2 2x 1
đ/k x ≥ 1/2 Phương trình tương đương
2 2 x 3 2x (t/m)
2x 1 1
x 1
Bài2: Gpt: 3x26x 7 5x210x 14 = 4 – 2x – x2
Ta có VT = 3(x 1) 2 4 5(x 1) 2 9 4 9 5
VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5
Vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi VT 5
VP 5
x 1 Bài 3:Gpt: 5x3 3x2 3x 2 x2 3x 1 (1)
ĐK : 5x3 + 3x2 +3x + 20 x2 x 1 5x 2 0 x 2
5
BĐTCôsi
Ta có 5x33x23x 2 x2 x 1 5x 2 x2 6x 1 x2 3x 1
Do đó pt (1) x 2 + x + 1 = 5x – 2 x 1 (thoả mãn)
x 3
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết
Dùng tính đơn điệu của hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình
2) Bài tập áp dụng
Bài1:Gpt :x5 x3 1 3x 4 0
Trang 6ĐK : x 1.
3
Xét hàm số f(x) = x5 x3 1 3x 4 trên tập D ;1
3
Ta có f (x) 5x' 4 3x2 3 0 với h/s f(x) đồng biến
2 1 3x
trên tập xác định D
Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0
Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1
Bài2 : Gpt : 3 x x 2 2 x x 2 1
Pt 3 x x 2 2 x x 2 1 (*)
Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2)
PT(*) trở thành 3 t 1 2 t (**)
Xét h/s f(t) = 3 t trên tập D = 3; 2 Ta có f (t)' 1 0 với
2 3 t
x 3;2 h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D.
Mặt khác h/s g(t) = 1+ 2 t g (t)' 1 0 với h/s g(t)
2 2 t
x 3;2 nghịch biến trên tập D
ta thấy với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2
Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1
Với t = 1 thì x2- x = 1 x2 x 1 0 x 1 5
2
Bài 3 :Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực phân biệt x22x 8 m(x 2) (1) ( Khối B – 2007)
ĐK x 2
Pt (1) 3 2
x 2
x 2 x 6x 32 m 0
x 6x 32 m 0
Ta c/m phương trình x36x232 m (2) có nghiệm x02; với m 0
Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với x 2
Ta có f (x) 3x' 212x 0 với x 2 h/s f(x) đồng biến trên2;
Bảng biến thiên
x 2
'
f (x) +
f(x)
Trang 7
0 Dựa vào bảng biến thiên ta có với m 0 Pt(1) luôn có một nghiệm x02; Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt
Phần 2 Bất phương trình có chứa căn thức
I)Phương pháp biến đổi tương đương :
1) Kiến thức cơ bản :
1) f (x) g(x) g(x) 0 2
0 f (x) g (x)
2)
2
g(x) 0
f (x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) g (x)
2) Bài tập áp dụng:
Bài1: gbpt 2x2 6x 1 x 2 0 tương đương với 2x2 6x 1 x 2 tương đương với
, 3 2
7 3 , 3
2
7 3
) 2 ( 1 6 2
0 2
0 1 6 2
0 2
2 2
2
x
x x
x x x
x x x
Bài3: gbpt: 1 1 4 0 điều kiện
2
x
x
2
1 0
0 2
1 0
4 1
0
2
x
x x
x
-2
) 3 1 ( 4 1
0 3 1 3
1 4 1
x x
x x
2
1 x
2) Với 0<x bpt tương đương 0<x
2
1
0 3 1
) 3 1 ( 4 1
0 4 1
0 3 1 3
1 4 1
2 2
2 2
x
x x
x
x x
x
2
1
Vậy nghiệm của bpt là
2
1 , 0 0 , 2 1
Trang 8II)Phương pháp đặt ẩn phụ
1) Dạng1: Đặt ẩn phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc
Bài1 : Gbpt: x2 2 x2 3x 11 3x 4 đặt t = x2 x3 11 0 dẫn tới bpt
t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra x2 x3 11 3 suy ra
x2 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm của bpt 1 ≤ x ≤ 2
Bài2 Gbpt
1 đặt t = có bất phương
1
3 1
1 1 1
3 1
1
2 2
2 2
x x
x x
x
x
t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1
1) xét bpt >2
2
1 x
x
2 4
5
1 0
0 1
1 2
2 2
2
x
x x
x x
2) xét bpt <1
2
1 x
x
1 1
) 1 ( 4 0
0 1
0 1
1
2 2
2
2
x x
x
x
x
x x
nghiệm của bpt là
5
3 5
1 , 1
Bài3: Gbpt: 4
2
1 2 2
5
x
x x x
điều kiện x > 0 đặt t = ≥
x
x
2
1
dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi
>2 Pt có nghiệm
x
x
2
1
x 4 x 1 0
Bài4: Gbpt x 1 2 x 1 3
x x
Đặt t x 1 0
x
PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3
Cho ta tập nghiệm của bpt là
8
1 , 0
2.Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t
là tham số
Trang 9Bài tập:Gbpt: x2-1 2x x2 2x
Đặt t = x2 x2 0 dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0
Ta có ' t2 1 (x 1)2 PT dẫn tới ( x2 2x 1 )( x2 2x 2x 1 0 khi và chỉ khi
0 2
0 2 1
) 1 2 ( 2
0 2
0 1 2 0
1 2 2
2 2
2
x x
x
x x x
x x
x x
x x
3.Dạng3: Đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ.
Bài1: gbpt 2x2 6x 8 x x 2 điều kiện x ≥ 0 biến đổi
đặt
1 2 2 )
1 2 ( 2 ) 2 (
x v
x
2 2 2
0 1 2
u v
v u v u
v u
) ( 2 2
0
Trường hợp u = v 1 , 5
0 5 6
0 2 2
1
x x
x x
x
Vậy để u , 1 , 5
2
Bài2:gbpt 2x2 6x 8 x x 2 đặt bất phương trình có
2
0
x v
x u
dạng
0 ) (
0 2
2
0 2
v u
v u v u v u
v u v u v u
0 4 5
2 2
0 2
x x
x x
x x
III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số
Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả
bất phương trình
Bài tập áp dụng
Bài1: gbpt: x 9 2x 4 5 d/k x 2 xét hàm số f(x) = x 9 2x 4 trên tập
x ≥ -2
Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5
Trang 10vậy nghiệm của bpt là x > 0
Bài2: gbpt: x2 2x 3 x2 6x 11 3 x x 1 dk 1 x 3
Tương đương x2 2x 3 x 1 x2 6x 11 3 x
(x 1 ) 2 2 x 1 ( 3 x) 2 2 3 x
Xét hàm số f(t) = t 2 t Trên 1,3 có f’(t)hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có
f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là
2 < x ≤ 3
Bài3: gbpt: 2x+ x x 7 2 x2 7x 35 d/k x 0 xét hàm số trên tập xác định x≥ 0
7
7 2 7
| 2
1 2
1 2 ) ( 7
2 7 2
2 ,
x x
x x
x x
f co x x x
x x
Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = f vậy nghiệm bpt 0< x
12 29
<
12
29
IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số
Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ đó có kết quả của bài toán
Bài tập áp dụng
Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - x 3 m 1 đặt t = x 3 t ≥ 0 ta có m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với m xét hàm số f(t) = trên tập t≥ 0 có
t
2
1
1
2
t t
, 22 2 f,(t) = 0 khi t = 1
) 2 (
2 2 )
(
t
t t t
Ta có bảng biến thiên
t
f’
f ( t )
0
-1 3 0
-1 3
Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤
4
1
3
-1 3
Trang 11V) Phương pháp đồ thị :
Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có
nghiệm thực hiện các
bước sau :
*) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ
*) xét trên hệ trục tọa độ Oxm
+) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập
đó là X1,X2,
+) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩…
+) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im
*) Khi đó:
+) Để hệ vô nghiệm khi m I m
+) Để hệ có nghiệm khi m € Im
+) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m = giao với tập X đúng một điểm
duy nhất
Bài tập áp dụng:
Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 1 x2 mx đặt y = 1 x2 0 khi
đó bất phương trình tương đương với một hệ
) 3 ( 0
) 2 ( 1
2 2
m y x
y x
Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi X1X2 0 khi m 2
Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6
( 4 x)( 6 x) x2 - 2x +m đặt y = ( 4 x)( 6 x) ≥ 0 suy ra y2 = 24 + 2x – x2
Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 như vậy vế trái của bất phương trình là nửa trên của đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = 5 , còn vế phải của bất phương trình y = x2
– 2x + m là một pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 1 để bài toán nghiệm đúng với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm
phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc
với đường tròn tại điểm M(1,5) tức là 5 = m0 – 1 suy ra m0 = 6
y
Trang 12vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6
VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ
Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm của bất phương trình ta có thể
Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra
Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
Bài tập áp dụng
Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất x2 2mmx2 (1) Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x0 = - x0 suy ra x0= 0 thay vào (1) ta có m = 0
Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x =
0 ,vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Bài toán2: Tìm m để bất phương trình ( 2 x)( 4 x) x2 2xm (1) nghiệm đúng với mọi
x 2 , 4
Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi x 2 , 4 thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4
Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái =
vế phải x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – 1 ≥ 3 suy ra vế phải
3 2
4 2
) 4
)(
2
( x x x x
≤ vế trái , vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm
VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn nếu
để ý đặc điểm của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán
Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau x x2 1 x x2 1 2
Ta có điều kiện 1
0 1
0 1
0 1
2 2
2
x x
x
x x x
Khi đó x x2 1 x x2 1 2 x x2 1 x x2 1 2 vậy bát phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi
1 1
x
vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình
x
1