Giáo án Hình học 12 tiết 30-33: Phương trình mặt phẳng

Bài mới: Trong không gian ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng chẳng han như xác định mp bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, … Bây giờ ta sẽ xác định mp bằ[r]

Ngày dạy: ………Tại lớp: 12A5

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Tiết 30, 31, 32, 33

I Mục tiêu:

1 Kiến thức: Học sinh nắm vững

- Khái niệm vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (mp)

- Phương trình tổng quát (PTTQ) của mp, điều kiện để hai mp song song, vuông góc, khoảng cách từ một điểm đến một mp

2 Kỹ năng:

- Biết tìm toạ độ của VTPT của mp, và viết thành thạo PTTQ của mp

- Biết chứng minh hai mp song song, hai mp vuông góc, và tính chính xác khoảng cách từ một điểm đến một mp

3 Tư duy và thái độ:

Biết tự hệ thống các kiến thức cần nhớ, cẩn thận chính xác trong tính toán, vẽ hình, tư duy các vấn đề toán học logic trực quan độc lập, sáng tạo trong quá trình tiếp cận và tích lũy kinh nghiệm trong giải toán, biết quy lạ về quen

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

1 Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, phiếu học tập, hệ thống ví dụ, …

2 Học sinh: Xem lại các kiến thức về vectơ trong phẳng, và xem trước bài học theo sự hướng dẫn

của giáo viên

III Tiến trình bài dạy:

?1: Công thức tích vô hướng của hai a a a a b b b b 1; 2; 3;  1; 2; 3 Hai vectơ vuông góc khi nào ?

?2: Cho n a b a b a b ab ab a b 2 3 3 2; 3 1 1 3; 1 2  2 1; và hai a a a a b b b b 1; ;2 3,   1; ;2 3 không cùng

phương có giá song song hoặc nằm trong mp () Tính .a n 

Áp dụng: Cho a  3 4 5; ; và n   1 2 1; ;  Tính a n  và rút ra nhận xét

2 Bài mới:

Trong không gian ta đã biết một số cách xác định

mặt phẳng chẳng han như xác định mp bằng ba điểm

không thẳng hàng, bằng hai đường thẳng cắt nhau, …

Bây giờ ta sẽ xác định mp bằng pp tọa độ.

?1: Nêu khái niệm VTPT của đường thẳng.

Dùng hình ảnh trực quan: bút và sách, bảng

phụ giới thiệu vectơ là VTPT của mp ().n

?2: Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mp.

?3: Vectơ kn k  , 0 có phải là VTPT của mp

không Vì sao ?

Phát

thẳng

, giá vuông góc với mp

0

Là VTPT vì kn  0 và cùng phương vuông góc mp với vectơ n

Hoạt động 2: Bài toán xác định VTPT của mặt phẳng 10 phút

?1: Tính b n  và kết luận về giá của vectơ với giá n

của hai vectơ a b,

?2: So sánh vectơ và vectơ n 0

?3: Kết luận mối quan hệ giữa và mp () Vì sao n

?

Giới thiệu khái niệm “ Tích có hướng ”

?4: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

 1; ;2 3,  1; ;2 3

Thực hiện hoạt động 1

?5: Từ ba điểm A, B, C Tìm tọa độ hai vectơ không

cùng phương nằm trong mặt phẳng (ABC)

?6: Xác định tọa độ VTPT của mp (ABC).n

Trao đổi thảo luận nhóm

Theo kết quả phần trả bài cũ ta có: a n   0

b n a bb a b b   2 3 1 3 2 1  a bb abb3 1 2 1 3 2  ab b a bb1 2 3 2 1 30

Do đó: a n b n  ;   Suy ra vectơ có giá vuông góc với giá n a b,

Vì a b, không cùng phương nên n  0

Vậy: vectơ là VTPT của mp () Vì giá vuông n n

góc với hai đt cắt nhau của mp ()

Kí hiệu: n a b   hoặc

[ , ]

n a b  

Công thức: [, ] ( 2 3 3 2; 3 1 2 3; 1 2 2 1)

a b a b a b a b a b a b

a b









b b b b b b

n a b

Thảo luận giải quyết vấn đề

Ta có: ( ), ( ) không cùng phương

(2;1; 2); ( 12;6;0)

Vậy: VTPT   [AB,AC] = (12; 24; 24)

n

Bài toán 1: Định hướng chứng minh, vẽ hình

?1: Nhận xét mối quan hệ giữa vàn

0

M M



?2: Tính tọa độ vectơ M M0

?3: Tính tích vô hướng của vàn

0

M M



Bài toán 2: Dạng PTTQ của mặt phẳng

?4: Có tồn tại hay không điểm M x y z0 0; ;0 0

nghiệm đúng pt Ax By Cz D   0

Gọi () là mp đi qua M0 và nhận

làm VTPT





?5: Khi M x y z ; ;     ta có điều gì

?6: Xác định D từ giả thiết M x y z0 0; ;0 0

?7: Kết luận vấn đề.

Vẽ hình minh họa

Ta có: giá n ( ) suy ra  n 

0

M M



Mà 0   0;  0;  0

Khi đó: .0 0

n M M

Suy ra: A x x  0B y y  0C z z  00(đpcm)

Tiếp nhận kiến thức

Tồn tại điểm M x y z0 0; ;0 0 thỏa pt Ax By Cz D   0

Ví dụ: Nếu A 0 ta chọn M0 D ; ;0 0

A



Ta có: M   A x x  0B y y  0C z z  00

Ax+ By +Cz – (Ax0+By0+ Cz0) = 0

Mà D = - (Ax0+By0+ Cz0).

Vậy: M   Ax By Cz D   0 (đpcm)

?1: Từ 2 bài toán trên định nghĩa PTTQ của mp.

?2: Xác định một VTPT của mp có pttq là

0

A x B y C z D

?3: Pt mp đi qua M x y z0 0; ;0 0 và nhận

làm VTPT có dạng





n A B C

?4: Tìm một VTPT của mp 4x2y6z D 0

?5: Xác định thêm một số VTPT của mp.

Hướng dẫn thực hiện hoạt động 3

PTTQ có dạng: Ax B yCz D 0A2B2C2 0

VTPT nA B C; ;  Phương trình là: Axx0Byy0Czz00

Có một VTPT là n4; 2; 6  

Các VTPT của mp là: a 2; 1; 3 ;   c  2;1;3

Trao đổi thảo luận nhóm

?6: Từ 3 điểm M, N, P Tìm tọa độ hai vectơ không

cùng phương nằm trong mp (MNP).

?7: Xác định tọa độ VTPT của mp (ABC).n

?8: Viết PTTQ của mp (MNP).

?9: Kết luận.

Ta có: ( ), ( ) không cùng phương

(3; 2;1); (4;1;0)

Khi đó: VTPT   [ , ] = (-1; 4; 5)

Pttq có dạng: Axx0Byy0Czz00

Hay: -1(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z - 1) = 0

Vậy: (MNP) : x - 4y + 5z - 2 = 0

?1: Công thức tích có hướng của hai vectơ a a a a b b b b 1; 2; 3;  1; 2; 3

?2: Phương pháp tìm VTPT của mặt phẳng.

?3: PTTQ của mặt phẳng và ptmp khi biết mp đi qua một điểm và có VTPT.

- Làm các bài tập 1a, b SGK trang 80

- Xem tiếp phần còn lại của bài “ Phương trình mặt phẳng ” trả lời các câu hỏi sau.

?1: Dạng của pt mp trong một số trường hợp đặc biệt.

?2: Điều kiện để hai mp song song hay vuông góc.

?3: Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mp.

?1: Công thức tích có hướng của hai vectơ a a a a b b b b 1; 2; 3;  1; 2; 3

?2: PTTQ của mặt phẳng và ptmp khi biết mp đi qua một điểm và có VTPT.

Áp dụng: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(1;-2;0), B(3;1;-1), C(2;3;1).

2 Bài mới:

?1: Tìm điều kiện để mp (): Ax By Cz D   0

đi qua tọa độ O

Kết luận: mp ( ) đi qua gốc toạ độ O D = 0

?2: Nếu A = 0 xác định VTPT của mp ().

?3: Nhận xét mối quan hệ giữa và n i

?4: Kết luận gì về vị trí của ( ) với trục Ox  .

Hướng dẫn vẽ hình minh họa và thực hiện

hoạt động 4.

Kết luận:

mp( ) song song hoặc chứa Ox A = 0

mp( ) song song hoặc chứa Oy B = 0

mp( ) song song hoặc chứa Oz C = 0

?5: Nếu A = B = 0 nhận xét ví trí của mp () với

các trục tọa độ

?6: Kết luận gì về vị trí của ( ) với mp Oxy  .

Hướng dẫn vẽ hình minh họa và thực hiện

hoạt động 5.

Kết luận:

Mp () song song hoặc chứa Oxy A = B = 0

Mp () song song hoặc chứa Oyz B = C = 0

Mp () song song hoặc chứa Ozx C = A = 0

?7: Nếu A, B, C, D khác không biến đổi pt mp về

dạng x y z 1

a b c  

Vẽ hình minh họa

Tr/h a) Ta có: 0 

0

:

Suy ra D

 Tr/h b) Ta có VTPT là n0; ;B C

Lại có: n i.0 1 B.0C.0 0  n i 

Vậy:   // Ox hoặc Ox 

Trao đổi thực hiện hoạt động 4

Tr/h c) Ta có:   // Ox,  // Oy hoặc Ox Oy,  

Vậy:   // Oxy hoặc Oxy 

Trao đổi thực hiện hoạt động 5

Chia hai vế của pt cho D.

Đặt: a D;b D;c D ta được đpcm

?8: Nhận xét ví trí của các điểm A(a;0;0), B(0;b;0),

C(0;0;c) với mp ()

Giới thiệu phương trình đoạn chắn

Nhận xét: Mp () cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các

điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho ba điểm

M(1;0 ;0), N(0; 2; 0), P(0; 0; 3) Hãy viết phương

trình mặt phẳng (MNP).

Các điểm A, B, C thuộc mp ()

Vẽ hình

Thực hiện yêu cầu của giáo viên

Áp dụng pt của mp theo đoạn chắn, ta có pt (MNP): + + = 1 Hay 6x + 3y + 2z – 6 = 0

1

x

2

y

3

z

?1:Cho ( ) : – x 2y z3  1 0;( ) : 2x –4y z6 0

có nhận xét gì về VTPT của hai mp trên

?2: Vị trí tương đối của hai mp    , 

Lưu ý: Hai mp song song hoặc trùng khi

chúng cùng vuông góc với một đường thẳng

Xét   :A x B y C z D1  1  1  1 0

  :A x B y C z D2  2  2  2 0

?3: Hai mp     ,  song song khi nào

?4: Hai mp     ,  trùng nhau khi nào

Vẽ hình minh họa hai mp cắt nhau

?5: Hai mp     ,  cắt nhau khi nào

?6: Xác định điều kiện hai mp     ,  cắt nhau

Hướng dẫn HS thực hiện ví dụ

?7: Lập PTTQ của mp ta cần tìm các yếu tố nào

?8: Tìm VTPT của mp ().

?9: Lập PTTQ của mp ().

Vẽ hình minh họa hai mp vuông góc

?10: Hai mp     ,  vuông góc nhau khi nào

?11: Xác định điều kiện hai mp     ,  vuông góc

nhau

Ví dụ: Viết pt mp( ) qua A(3;1;-1), B(2;-1;4) và 

vuông góc với mp ( ): 2x - y + 3z = 0 

?12: Lập PTTQ mp ta cần tìm các yếu tố nào.

?13: Tìm VTPT của mp () dựa vào giả thiết ( )(

Ta có: n 1 2 3; ;  và n 2;4 6;  Suy ra: n 2n ( Hai vectơ cùng phương )

    // 

hoặc     

 //   A B C   k D

Tương tự:     1 1 1 1

      

Vẽ hình

Khi n kn  

( Hai VTPT không cùng phương ) () cắt () 1 1 hoặc hoặc

2 2

2 2

2 2

Tiếp nhận vấn đề và giải quyết vấn đề

Xác định VTPT và một điểm thuộc mp

Ta có:     //  Suy ra n 2;3 1; là VTPT của mp()

Vậy () có pt là: 2(x - 1) – (y + 2) + 1(z - 3) = 0

Hay (): 2x – 3y +z -11 = 0

Vẽ hình

Khi n n ( Hai VTPT có giá vuông góc )

      n n .   0 AA B B C C1 2 1 2 1 2 0

Lưu ý: VTPTcủamp là tích có hướng của hai vectơ không cùng phương nằm trong mp

Xác định được VTPT và một điểm thuộc mp

Vì       suy ra hai vectơ có giá song song hoặc nằm

) và phương pháp tìm VTPT của mp.



?14: Lập PTTQ của mp ().

trên mp () là AB   1; 2;5 và

2 1 3

  

n

Suy ra VTPT      1 13 5

; ;

n AB n

Vậy: Pt ( ): x -13y- 5z + 5 = 0 

Tiết 32 Hoạt động 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 10 phút

Vẽ hình và hướng dẫn tiếp cận định lí

?1: Gọi M x y z1 1; ;1 1 là hình chiếu của M0 trên

() Tính tọa độ M M1 0

?2: Tính M M 1 0 n theo tọa độ

?3: M x y z1 1; ;1 1    ta có điều gì

?4: Tính khoảng cách từ điểm M đến mp ()

Giới thiệu nội dung định lí

Hướng dẫn thực hiện ví dụ 1

?5: Tính khoảng cách từ điểm O đến ().

?6: Tính khoảng cách từ điểm M đến ().

Thảo luận nhóm

Ta có: M M1 0 x x y y z z 0;  0;  0

Vì M M n 1 0, có giá song song Nên M M1 0 n  M M n1 0.

 Ax0By0Cz0  Ax1By1Cz1

Ta có: M1  suy ra D Ax1By1Cz1

1 0 2 2 2

Ax By Cz D

M M

A B C





Kí hiệu: d M 0,   M M1 0

Ta có:  ,   2.0 - 2.0 - 0 32 2 2 1

Tương tự:  ,   4

3

Hướng dẫn thực hiện ví dụ 2

?1: Xác định khoảng cách giữa hai mp ssong.

?2: Tìm một điểm M  và tính d M ,  

?3: Kết luận khoảng cách d     , 

Hướng dẫn thực hiện hoạt động 7

?4: Nhận xét vị trí tương đối hai mp     , 

?5: Tính khoảng cách giữa hai mp     , 

Thực hiện hoạt động nhóm

Ta có: d     , d M ,   với M  Lại có: M0;0; 1    suy ra d M ,  3

Vậy: d     , 3 HĐ7: Ta có: 1 2 suy ra





     // 

Tương tự: d     ,  6

?1: Lập PTTQ mp ta cần tìm các yếu tố nào.

?2: Viết pttq mp đi qua điểm M và có VTPT n

?3: Xác định VTPT của mp.

?4: Viết pttq mp đi qua điểm M và có VTPT n

?5: Nhận xét tọa độ của ba điểm A, B, C.

?6: Lập pt đoạn chắn đi qua ba điểm A, B, C.

?7: Xác định pttq của mp.

Xác định một VTPT và một điểm thuộc mp

a) Vậy: Pt mp (α ) là: 2( x- 1) +3( y + 2)+ 5( z - 4)= 0

Hay 2x + 3y + 5z -16 = 0

b) VTPT n u v    2; 6;6 

Vậy pt mp () là: x – 3y + 3z – 9 = 0

c) Các điểm A, B, C lần lượt nằm trên các trục tọa độ.

Mp () có pt theo đoạn chắn là: 1

Hay 2x3y6z 6 0

?1: Lập PTTQ mp ta cần tìm các yếu tố nào.

?2: Mp trung trực của đoạn AB có đặc điểm gì.

Xác định một VTPT và một điểm thuộc mp

Vuông góc với đoạn AB tại trung điểm I.

?3: Xác định điểm I và VTPT của mp.

?4: Viết pttq mp đi qua điểm M và có VTPT n

Trung điểm I (3; 2; 5) và VTPT AB2; 2; 4 

Vậy pt mplà: x – y – 2z + 9 = 0

?1: Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ a a a a b b b b 1; 2; 3;  1; 2; 3

?2: Điều kiện để hai mp song song hoặc vuông góc.

?3: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Làm các bài tập 5, 6, 7 SGK trang 80

- Xem trước bài “ Phương trình đường thẳng trong không gian ” trả lời các câu hỏi sau:

?1: Dạng của phương trình tham số đường thẳng Lập PTTS ta cần các yếu tố nào ?

?2: Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau, chéo nhau.