3/ 1đ Cắt mặt xung quanh của một hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng, ta được một hình vuông có diện tích 100cm2.. Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình t[r]
Trang 1Họ và tên :………
Lớp :……… Môn : TOÁN - LỚP 12 CƠ BẢN KIỂM TRA HỌC KỲ I
Thời gian làm bài : 90 phút
ĐỀ SỐ 1 Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 )
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 2 (0, 5 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
4 3 , x 1 ; 3
y x x
Bài 3 ( 1, 75 điểm )
1/ Giải các phương trình sau :
a/ x b/
x
25 25
2/ Giải bất phương trình : log (23 x2 4 ) log (9 3 ) x 3 x
Bài 4 ( 1 điểm )
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
a/ b/ y = ln(3x + 1)
3 2 (3 2)
y x
2/ Cho hàm số y e 2x ex 3 x Tìm x để y ’ ≥ 0
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hàm số 2 1 (2)
2
x y
x
1/ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho
2/ Chứng minh rằng với mọi số thực k thì đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) tại hai
điểm phân biệt
Bài 6 (2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a ,
SA (ABCD) và SA = 2a
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu Xác định tâm và tính
bán kính của mặt cầu này
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình nón Hãy tính diện tích xung
quanh của hình nón này
4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD)
Trang 2
-ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 12 CƠ BẢN
HỌC KỲ I
-
ĐỀ SỐ 1
1
2đ
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - 4 (1 ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1 ).
Giải :
1)TXĐ : R 2) Sự biến thiên : a) Chiều biến thiên : y’ = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = - 2
b) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; - 2 ), ( 0 ; + ∞) và nghịch biến trên khoảng ( -2 ; 0) c) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2 và yCĐ = 0 và đạt cực tiểu tại x = 0 ,
yCT = -4
d ) Giới hạn : ;
xlim
Đồ thị hàm số không có tiệm cận e) Bảng biến thiên
3) Đồ thị
x y
-4 -2 O 1
Nhận xét đúng
0,5 0,25
0,25
0,5
0,5
1
3đ
2
0,5
2/ Dựa vào đồ thị (C ) hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
x 3 + 3x 2 – 4 - m = 0 Giải
x 3 + 3x2 – 4 - m = 0
<= > x3 + 3x2 - 4 = m
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 4
0,25
0,25
Trang 30,5
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 1
Ta có : hoành độ tiếp điểm x = 1 ; tung độ tiếp điểm y = 0
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm ( 1; 0 ) là : y’(1)
= 9 Phương trình tiếp tuyến : y = 9(x – 1) + 0 = 9x - 9
0,25 0,25
2
0,5đ
Bài 2 (0, 5 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 4 3 , x 1 ; 3
y x x
Trên đoạn [1 ; 3 ] ta có
3 4
2 3
4 2
4 2 '
2
x x
x x
x
x y
y’ = 0 <=> x = 2 thuộc đoạn [1 ; 3 ] y(1) = 0 ; y(3) = 0
y(2) = 1
;
;3
Max
;3
Min
0,25
0,25
3
1,75đ 0,5đ1
Giải các phương trình sau :
2
1 2
2 2 5
5 25
25
1 x 1 2x 2 2
x x x
x x
0,5
0,75
b/ log22 x 5log32 x 2 0
ĐK : x > 0
2
0 2 log
log 0
2 log
5
2 2
2
Đặt t log2 x , phương trình đã cho trở thành phương trình :
t2 – t - 2 = 0 <=> t = - 1 hoặc t = 2 Với t = - 1 ta có
2
1 1
log2 x x Với t = 2 ta có log2 x 2 x 4
0,25
0,25
0,25
2
0,5
2/ Giải bất phương trình :
2
log (2 x 4 ) log (9 3 ) x x
0,25
0,25
Trang 4<=>
3)
; 1 ( 3
)
; 1 ( )
; 2
9
-; (
3
0 9 7 2 0
3 9
3 9 4
x x
x
x
x x x
x x
x
1
Bài 4 ( 1 điểm )
1/ Tính vi phân của mỗi hàm số sau :
3 2 (3 2)
y x TXĐ :
3
2
x
dx x
dx x
x
2
9 )
)' 3 (
) 2 3 ( 2
3
3
0,25
b/ y = ln(3x + 1) TXĐ :
3
1
x
x
dy
1 3
3
4
1đ
2
2/ Cho hàm số y e 2x ex 3 x
Tìm x để y ’ ≥ 0
Hàm số đã cho xác định với mọi số thực x
y’ = 2e2x + ex - 3
y’ ≥ 0 <=> 2e2x + ex - 3 ≥0 Đặt t = ex , t > 0 ta có :
2t2 + t - 3 ≥ 0 <=> t ≤ -3/2 hoặc t ≥ 1
Kết hợp với điều kiện t > 0 ta có t ≥ 1
Do đó ex ≥ 1 ,<=> x ≥ 0
0,25
0,25
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hàm số 2 1 (2)
2
x y
x
TXĐ : x ≠ 2
Đồ thị hàm số (2) có TCĐ là đường thẳng có phương trình
x = 2 và TCN là đường thẳng có phương trình y = 2
0,25
0,25
2
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
y = x – k với đồ thị hàm số 2 1 là :
2
x y
x
2
)
* ( 0
1 2 ) 4 (
2
) )(
2 ( 1 2 2
1 2
2
x
k x k x
x
k x x x
k x x
x
Chứng minh được phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
0,25
Trang 5khác 2 với mọi số thực k
Kết luận : Đường thẳng y = x – k luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt với mọi số thực k
0,25
1
Bài 6 ( 3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là một hình chữ nhật , AB
= a , AD = 2a ,
SA (ABCD) và SA = 2a
a 2a
2a I
O
D A
B
C
S
H
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
3
4 2
2
3
1
3
a a a SA
S
0,25
0,5
2 2/ Chứng minh rằng 5 điểm S , A , B , C , D cùng nằm trên một mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này
Gọi I là trung điểm của cạnh SC
Chứng minh được : IS = IA = IB = IC = ID
5 điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính
=
2
SC
r AC SA 5a 4a 3a
2
2
0,5
0,25 6
3 3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta được một hình
nón Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này
Mặt nón tạo thành có độ dài đường sinh l = SB = a 5 và bán
kính đáy r’ = SA = 2a ; chiều cao h = AB = a
Suy ra : Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là :
Sxq = r’l = .2a.a 5 = 2a2 5 (đvdt)
0,25 0,5
4 4/ Tính bán kính của mặt cầu có tâm là điểm A và tiếp xúc với
mặt phẳng (SCD)
Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) nên mặt cầu này
có bán kính bằng khoảng cách từ tâm A đến (SCD)
Trong mặt phẳng (SAD) , kẻ AH SD tại H
CD SH
SD SH
H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (SCD)
0,25
Trang 6AH = d(A , (SCD)) , AH = 2 ,
2 a
SD
Trang 7Họ và tên :………
Lớp :……… Môn : TOÁN - LỚP 12 CƠ BẢN KIỂM TRA HỌC KỲ I
Thời gian làm bài : 90 phút
§Ò sè 2
Câu 1 : (2,5đ)
Cho hàm số: y x 33x21
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y" 0
Câu 2: (1đ)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 1 3 2 trên đoạn [-1;2]
2 3 1 3
y x x x
Câu 3: (1đ)
Giải phương trình: 4 42 3
1 2
1
x x
Câu 4: (2,5đ)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên hợp với đáy
một góc
a/ (1,25đ) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b/ (1,25đ) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
PHẦN TỰ CHỌN:
HỌC SINH CHỌN 1 TRONG HAI CÂU 5A HOẶC 5B
Câu 5A: ( DÀNH CHO HỌC SINH BAN A)
1/ (1đ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: y x2 1 x
2/ (1đ) Giải bất phương trình log 183 log 3 log9 2 5
3 2
x
3/ (1đ) Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng, ta đựơc một nửa hình tròn có đường kính bằng 10cm Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đó
Câu 5B: ( DÀNH CHO HỌC SINH BAN CƠ BẢN)
1/ (1đ) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
2 1 (1 )
x y
x x
2/ (1đ) Giải bất phương trình: log 82 log 2 log4 3
2
x
3/ (1đ) Cắt mặt xung quanh của một hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng, ta được một hình vuông có diện tích 100cm2 Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đó
………… Hết………….
Trang 8Đáp án đề 2
1
(2,5đ)
1
(1,5đ) TXĐ:
2
' 0
y
lim ( 3 1) , lim ( 3 1)
0
2
-
+
-3 1
0
y y'
+
-
x
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng (;0) và (2;) Hàm số nghịch biến trờn khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; yCĐ =1, đạt cực tiểu tại điểm x = 2; yCT = -3
Đồ thị:
x
y
2 3 1
-3
0,25 0,25 0,25
0, 25
0,25
0,25
2
(0,75đ)
" 6y x 6 0 x 1 y 1 '(1) 3
y
Phương trỡnh tiếp tuyến là: y 3(x 1) 1 y 3x2
0,25 0,25 0,25 2
(1đ)
y’ = x2 – 4x +3 , y’ = 0
1
3 1; 2
x x
y(-1) = 11, y(2) = , y(1) =
3
3
7 3
1;2 1;2
0,25 0,25 0,25 0,25 3
(1đ)
3 4
1 2 4 2 3 4
1 2
1
x x
x x
0,25
Trang 9Đặt t = 4x, t>o 2t 2 3 2t2 -3t -2 = 0
t
1 lo¹i 2 2
t t
t= 2 4x = 2
2
1
x
Vậy nghiệm của phương trình là
2
1
x
0,25
0,25
0,25
4
(2,5đ) 1(1,25đ)
Gọi O là tâm của đáy thì SO (ABCD)
Thê tích của khối chóp S.ABCD là:
3
tan 2 4
3
SO S
V ABCD
0,25
0,5 0,5
2
(1,25đ)
Gọi H là trung điểm SA, trong mặt phẳng (SAC) dựng đường trung trực của
SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hai tam giác vuông SHI và SOA đồng dạng , nên ta có:
SI SH SA SH
SI
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: r 2
sin 2
a
0,25
0,25
0,5 0,25
PHẦN TỰ CHỌN
5A
(3đ) 1(1đ) Tập xác định RĐồ thị không có tiệm cận đứng
2
1
1
Suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang khi x
; đồ thị không có tiệm cận ngang khi
Gọi tiệm cận xiên là y = ax +b
2 2
1
1
x
x
a
0,25 0,25
0,25
Trang 10 2
2
1
1
Vậy đường thẳng y = -2x là tiệm cận xiên khi x
0,25 2
(1đ) log 183 log 3 log9 2 5 (1)
3 2
x
Điều kiện: x > 0
2 3 2
2
x x
x
0,25 0,25
0,25 0,25
3
Gọi l, r là đường sinh và bán kính đáy của hình nón
Từ giả thiết, ta suy ra l = 10/2=5 Diện tích xung quanh của hình nón là: rl5 r
Diện tích của nửa hình tròn là: 1 2 25
5
2 2
Theo giả thiết ta có:5 25 5
r r
Gọi h là đường cao của hình nón thì: 2 2 25 5
4 2
h l r
Vậy thể tích của khối trụ là V =
2 2
0,25
0,25
0,25
0,25
5B
(3đ) 1
(1đ) Tập xác định D= R\{0;1}
; đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng
0 0
x
; đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
1 1
(1 ) x (1 )
x
; đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang
2 1
(1 )
x
x
x x
0,25 0,25
2,25
0,25
Trang 11(1đ) log 82 log 2 log4 3(1)
2
x
Điều kiện x > 0
(1) log 8 log 2log log log 2 3
2
2
log
1
2
x
0,25 0,25
0,25 0,25 3
(1đ)
Gọi h là chiều cao và r là bán kính đáy của hình trụ, từ giả thết ta có
h = 10 và 2 r = 10 r 5
Vậy thể tích của khối trụ là V =
2
r h
0,5
0,5
…… Hết……
Trang 12§Ò tham kh¶o ĐỀ THI HỌC KỲ I
Môn thi : Toán 12 Thời gian làm bài: 90 phút
(không kể thời gian phát đề)
§Ò sè 3
I Phần chung cho cả 2 ban: ( 8 điểm)
Câu 1 ( 3 điểm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
1
3
x
x y
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 2
Câu 2 (1,5 điểm)
Cho hàm số
y = x3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số) Xác định m để hàm số có cực đại là x = - 1
Câu 3 (1,5 điểm)
1) Giải phương trình : 2.9x – 5.6x + 3.4x = 0
2) Giải bất phương trình : 2
1 2
log x 3 x 2 1
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a
1) Tính thể tích của khối chóp
2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp trên
3) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên
II Phần dành riêng cho từng ban (2điểm)
Học sinh ban KHTN chỉ làm câu 5a; học sinh ban cơ bản chỉ làm câu 5b.
Câu 5a (2điểm)
1) Giải hệ phương trình :
log 3
2 12 3x 81
2) Cho khối chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại B SA (ABC), góc BAC = 300, BC
= và SA = a a 2 Gọi M là trung điểm của SB.Tính thể tích khối tứ diện MABC
Câu 5b (2điểm)
1) Giải bất phương trình (2x - 7)ln(x + 1) > 0
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA bằng a Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
-Hết -ĐỀ A
Trang 13ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KIỂM TRA HỌC KỲ I MÔN TOÁN - LỚP 12
Sự biến thiên
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- ; -1) và (-1; + )
D x
) 1 (
2
Hàm số không có cực trị
0,5
lim 1; lim1
lim
x x
x
y y
1
lim
x
y
Đồ thị có một tiệm cận đứng là x = -1, và một tiệm cận ngang là y = 1 0,5
x - -1 +
y’ - - y
1 +
- 1
0,25
1.1
2.0đ
Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;3) và cắt trục hoành tại điểm (-3;0)
Đồ thị nhận giao điểm I(-1;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
-3
x 3
y
1 -1 O
0,5
1.2
1,0đ y = 2 x = 1 Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là f’(1) =
2
1
Phương trình tiếp tuyến có dạng là y - y0 = f’(x0)(x - x0).Hay y = x +
2
1
2 5
0,5
0,5
TXĐ D = R; y’ = 3x2 + 2(m + 3)x
3
6 2
0 0
'
2
1
m x
x y
Hàm số đạt cực đại tại x = -1
2
3 1
3
6 2
Cách 2 :
TXĐ : D = R ; y’ = 3x2 + 2(m + 3)x ; y” = 6x + 2(m +3)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 khi và chỉ khi
'( 1) 0
"( 1) 0
y
y
3 - 2m - 6 = 0
- 6 + 2m + 6 < 0
1,5
0,5 0,5
0,5
1,5
0,5
0,25
0,25
Trang 14Câu Đáp án Điểm
3 = - 2
m < 0
m
m = - 3
2
0,25
0,25
3.1 2.9x – 5.6x + 3.4x = 0
2.32x – 5.2x.3x + 3.22x = 0 (1)
Chia cả hai vế của phương trình cho 22x, ta được :
2
2 - 5 + 3 = 0 (2)
Đặt : = 3 ; t > 0 ; phương trình (2) trở thành :
2
x
2t2 – 5t + 3 = 0
t = 1 3
t = 2
x = 0
x = 1
0,75
0,25
0,25
0,25
1
2
2
1 2
log ( 3 2) -1
x - 3x + 2 > 0
1 log ( - 3x + 2) log
2
x x
x
- 3x + 2 >0 - 3x + 2 > 0
x - 3x + 2 2 x - 3x 0
< 1 hoac x > 2 2 < x 3
0 x 3
x
0,75
0,25
0,25 0,25
4.1
M
O
S
I
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có : SO (ABCD)
1 ( )
3
V SO dt ABCD
dt(ABCD) = a2
1,0
0,25 0,25
Trang 15Câu Đáp án Điểm
2 2 2a 2 a 7a = SC - = 4a =
a 14
SO =
2
Vậy :
3
a 14 = 6
V
0,25
0,25
4.2
4.3
Dựng mặt phẳng trung trực của SA cắt SO tại I, ta có :
SI = IA
IA = IB = IC = ID (Vì I SO trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD)
IS = IA = IB = IC = ID
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r = SI
SAO = SI =
SIM
SI = 2a 14
7
Vậy : = SI = 2a 14
7
r
2 2
3 3
224 a = 4 r =
49
4 448 a 14
V = =
S
r
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25 0,25
5a.1
5a.2
+ log = 3 (1)
2y - y + 2 3 = 81y (2)x
ĐK : y > 0
(3)
x 3
27 (1) log = 3 - x 3 =
y
Thay (3) vào (2), ta được :
2
27
2 - y + 12 = 81y
2y - y + 12 = 3y
y = 3
y - y + 12 = 0
y = - 4 (L)
y
y
y = 3
Thay y = 3 vào (3), ta được : x = 2
Vậy : (2 ; 3)
Kẻ MH song song với SA, ta có : SA(ABC)
MH(ABC)
. = MH.dt(ABC)1
3
M ABC
V
= 1 = a 2
MH SA
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
0,25 0,25
Trang 16Câu Đáp án Điểm
( ) = =
Vậy :
2 3
M ABC
H
M
B
S
0,25 0,25
5b.1
bpt
0 1
2 7
0 1
2 7 2 7
1 1 0
2 7
1 1 2 7
0 ) 1 ln(
0 7 2
0 ) 1 ln(
0 7 2
x x x
x x
x x x x
x x x x
Tập nghiệm của bất phương trình là: T = (-1;0) ( ;)
2 7
1,0
1,0
5b.2
M B
S
AM là đường cao của tam giác đều cạnh a nên AM=
2
3
a
Diện tích đáy
4
3 2
.BC a2
AM
s ABC
Thể tích khối chóp S.ABC là:
12
3
3
.
a SA S
V S ABC ABC
1,0
0,25 0,25
0,5
HS làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như quy
định