Giáo án Giải tích 12 - Tiết 54 - Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm

- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp.. Về tư duy thái độ:.[r]

Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường

§ 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

I MỤC TIÊU:

1 Về kiến thức:

- Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần

2 Về kỷ năng:

- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp

3 Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt

-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:

1 Chuẩn bị của thầy :

- Lập các phiếu học tập, bảng phụ

2 Chuẩn bị của trò:

Các kiến thức về :

- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân

III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

- Gợi mở, vấn đáp,

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định tổ chức: kiểm tra sỉ số,

2 Kiểm tra bài cũ :

Kiểm tra bài cũ: (5 phút)

Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm

b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) = là một nguyên hàm của hàm số

5

) 1 2 ( x2  5

f(x) = 4x(2x2 +1)4

- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn

- Nhận xét, kết luận và cho điểm

3 Bài mới:

HĐ1: Xây dựng phương pháp đổi biến số

- Thông qua câu hỏi b/ , hướng

dẫn hsinh đi đến phương pháp đổi

biến số

=

4x( 2x2  1 ) 4dx

=( 2x2  1 ) 4 ( 2x2  )'dx

-Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức

ở trên trở thành như thế nào, kết

quả ra sao?

- Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì

=

4x( 2x2  1 ) 4dx

Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường

- Phát biểu định lí 1

( 2x2  1 ) 4 ( 2x2  )'dx

=u4du= + C = + C

5

5

u

5

) 1 2 ( x2  5

-Định lí 1 : (sgk)

HĐ2: Rèn luyện kĩ năng tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

H1:Có thể biến đổi

về dạng

  dx

x

x

2

được

 f[u(x)]u' (x)dx

không? Từ đó suy ra

kquả?

- Nhận xét và kết luận

H2:Hãy biến đổi

về dạng

2xsin(x2  dx1 )

? Từ đó

 f[u(x)]u' (x)dx

suy ra kquả?

- Nhận xét và kết luận

- HS suy nghĩ cách biến đổi

về dạng

 f[u(x)]u' (x)dx

- Đ1:   dx=

x

x

2

(x  1 )3(x2  )'dx

1 2

Đặt u = x2+1 , khi đó :

=

(x  1 )3(x2  )'dx

1 2

u3du

1

= u + C = (x2+1) + C

2

3 32

2

- HS suy nghĩ cách biến đổi

về dạng

 f[u(x)]u' (x)dx

Đ2:2xsin(x2  dx1 ) =

sin(x2  1 )(x2  )'dx

Đặt u = (x2+1) , khi đó :

=

sin(x2  1 )(x2  )'dx

sinudu

= -cos u + C = - cos(x2+1) +C

-HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng

Vd1: Tìm   dx

x

x

2

Bg:

=

  dx x

x

2

(x  1 )3(x2  )'dx

1 2

Đặt u = x2+1 , khi đó :

=

(x  1 )3(x2  )'dx

1 2

u3du

1

= u + C = (x2+1) + C

2

3 32

2

Vd2:Tìm2xsin(x2  dx1 )

Bg:

=

2xsin(x2  dx1 )

sin(x2  1 )(x2  )'dx

Đặt u = (x2+1) , khi đó :

=

sin(x2  1 )(x2  )'dx

sinudu

= -cos u + C = - cos(x2+1) +C

Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường

H3:Hãy biến đổi

về dạng

ecosxsinxdx

? Từ đó

 f[u(x)]u' (x)dx

suy ra kquả?

- Nhận xét và kết luận

 f[u(x)]u' (x)dx

Đ3:ecosxsinxdx= = - ecosx(cosx)'dx

Đặt u = cos x , khi đó :

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

= -e u du= -eu +C = - ecosx +C

Vd3:Tìmecosxsinxdx

Bg:

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

Đặt u = cos x , khi đó :

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

= -e u du= -eu + c = - ecosx + c

* chú ý: có thể trình bày cách khác:

=

-ecosxsinxdx ecosx d(c osx)



= - ecosx + C

HĐ3: Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

H: Hãy nhắc lại công thức

đạo hàm một tích ?

Hãy lấy nguyên hàm hai

vế, suy ra u dv = ?

- GV phát biểu định lí 3

- Lưu ý cho HS: đặt u, dv

sao cho

tính dễ hơn

du

v

Đ:

(u.v)’= u’.v + u.v’

(u )' v dx u'vdx u ' v dx

u dv (uv)'dx v du

= uv

-u dv v du

Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx

Ta có :

-Định lí 3: (sgk) u dv = uv -v du

-Vd1: Tìm xsinxdx

Bg:

Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó

Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường

- H: Từ đlí 3 hãy cho biết

đặt u và dv như thế nào?

Từ đó dẫn đến kq?

- yêu cầu một HS khác

giải bằng cách đặt u =

sinx, dv = xdx thử kq như

thế nào

=- x.cosx +

xdx x

 sin cosxdx

= - xcosx + sinx + C

du =dx,v =-cosx

Ta có :

=- x.cosx +

xdx x

 sin cosxdx

= - xcosx + sinx + C

HĐ4: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần

H :- Dựa vào định lí 3,

hãy đặt u, dv như thế

nào ? Suy ra kết quả ?

H : Hãy cho biết đặt u, dv

như thế nào ? Suy ra

kquả ?

- Lưu ý :Có thể dùng từng

phần nhiều lần để tìm

nguyên hàm

- H : Cho biết đặt u và dv

như thế nào ?

- Học sinh suy nghĩ và tìm ra hướng giải quyết vấn đề

Đ :Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex

Suy ra :

= x ex -

dx

xe x

 e x dx

= x.ex – ex + C

Đ: Đặt u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

Khi đó:

=x2.ex

-dx e

x x

 2 x e x dx

= x2.ex-x.ex- ex+C

- Đ: Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x

x

1

Khi đó :

= xlnx -

dx x

ln  dx

= xlnx – x + C

- Đăt u = lnx, dv = x2dx

- Vd2 :Tìm xe x dx

Bg : Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex

Suy ra :

= x ex -

dx

xe x

 e x dx

= x.ex – ex + C

Vd3 : Tìm I=x2e x dx

Bg :Đặt u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

Khi đó:

=x2.ex

-dx e

x x

 2 x e x dx



= x2.ex-x.ex- ex+C

Vd4 :Tìm lnx dx

Bg : Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x

x

1

Khi đó :

= xlnx -

dx x

ln  dx

= xlnx – x + C

Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường

- Thông qua vd3, GV yêu

cầu HS cho biết đối với

dx x

x

 2 ln

thì ta đặt u, dv như thế

nào

H : Có thể sử dụng ngay

pp từng phần được

không ? ta phải làm như

thế nào ?

+ Gợi ý : dùng pp đổi biến

số trước, đặt t = x

* Lưu ý cho HS các dạng

thường sử dụng pp từng

phần

,

dx x x

f

 ( ) sin

dx x x

f

 ( ) cos

dx e

x

 ( )

đặt u = f(x), dv cònlại

, đặt u =

dx x x

f

 ( ) ln

lnx,dv =f(x) dx

du = dx , v =

x

1

3

3

x

Đ :Không được

Trước hết : Đặt t = x dt = dx

x

2 1

Suy ra sin x dx=2tsint dt

Đặt u = t, dv = sint dt

du = dt, v = - cost



=-t.cost+

tsint dt cost dt

= -t.cost + sint + C Suy ra:

=

dx x

sin

= -2 x.cos x+2sin x+C

Vd5: Tìm sin x dx

Đặt t = x dt = dx

x

2 1

Suy ra sin x dx=2tsint dt

Đặt u = t, dv = sint dt

du = dt, v = - cost



=-t.cost+

tsint dt cost dt

= -t.cost + sint + C Suy ra:

=

dx x

sin

= -2 x.cos x+2sin x+C

4 Củng cố toàn bài:

- Cho HS hđ nhóm thực

hiện phiếu HT1

- Gọi đại diện một nhóm

trình bày

- Đại diện nhóm khác cho

nhận xét

- GV nhận xét và kết luận

- Các nhóm tập trung giải quyết

- Theo dõi phần trình bày của nhóm bạn và rút ra nhận xét

và bổ sung

* Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán có dạng ở bảng nguyên hàm

Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường

- Treo bảng phụ và yêu

cầu cả lớp chú ý giải quyết

- Gọi 2 HS trình bày ý

kiến của mình

- GV nhận xét và kết luận

- Cả lớp tập trung giải quyết

- Theo dõi phần trình bày của bạn và rút ra nhận xét và bổ sung

+ Phiếu học tập1:

Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:

a/ e x2xdx = = e + C ; b/ = = ln x + C

2

1

 2 ( 2 )

x d

e x

2

x

x

ln

lnxd(lnx)

2

c /   dx= 2 = 2 ln(1+ ) + C ; d/ = -xcosx + C

x

x( 1 )

1

x

x d

1

) 1 (

Câu 2

Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:

a/ e x3x2dx = = e + C ; b/ = = sin x + C

3

1

 3 ( 3 )

x d

e x

3

1 x3

sin 2 x cos. xdx

sin 2 x.d(sinx)

3

c /   dx= = ln(1+ ) + C ; d/ = x.sinx + C

x

x( 1 ) 2

1

d1(1 x x) x xcosxdx

Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý

( Đối với  f(x)dx)

f(x) = e x sinx Đặt u = e x ,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv =

e x dx

6 Bài tập về nhà