Giáo án Đại số 11 chuẩn - Chương 2: Tổ hợp- Xác suất

Kó naêng: -Biết tính số hoán vị ,số chỉnh hợp chập k ,số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ; -Biết phân biệt khi nào dùng tổ hợp ,khi nào dùng chỉnh hợp trong các bài toán đếm; [r]

Chương 2 TỔ HỢP- XÁC SUẤT Tiết 21+22+23 1 QUY TẮC ĐẾM +BÀI TẬP

I.MỤC TIÊU

1 Kiến thức

Biết được quy tắc cộng ,quy tắc nhân

2.Kỹ năng

Biết vận dụng quy tắc cộng ,quy tắc nhân vào 1 số bài tốn thơng dụng

3 Tư duy

Phát triển tư duy tốn học và tư duy logic

4 Thái độ

Cẩn thận ,chính xác

Tốn học bắt nguồn từ thực tế

II CHUẨNBỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC

III PHƯƠNG PHÁP.

Gợi mở, phát hiện và giải quyết vấn đề

Đan xen hoạt động cá nhân và nhĩm

IV TIẾN TRÌNH LÊN LỚP.

1 Kiểm tra bài cũ

2 Giới thiệu vào bài mới

3 Bài mới

Một số ký hiệu.

n(A) hoặc │A│: số phần tử của tập A Gv: Để thực hiện cơng việc trên cần 1

trong 2 hành động: chọn được nam thì

cơng việc kết thúc( khơng chọn nữ) và

ngược lại

GV vẽ sơ đồ để hs quan sát

Nếu việc chọn đối tượng độc lâp nhau

khơng lặp lại thì sử dụng quy tắc cộng

I.QUY TẮC CỘNG.

1 Ví dụ mở đầu

Nhà trường triệu tập 1 cuộc họp về ATGT Yêu cầu mỗi lớp cử 1 HS tham gia Lớp 11B cĩ 15 hs nam, 25

hs nữ.Hỏi cĩ bnhiêu cách chọn ra 1 hs tham gia cuộc họp nĩi trên

Giải

Chọn 1 hs nam: cĩ 15 cách Chọn 1 hs nữ: cĩ 25 cách Vậy cĩ 15+ 25 =40 cách

2.Quy tắc cộng a) Quy tắc (SGK) b)Chú ý:

 Quy tắc cộng cĩ thể mở rộng cho nhiều hành động

 Thực chất của quy tắc cộng là đếm số phần tử của

2 tập hợp cĩ giao khác rỗng

AB=  n(AB) = n(A) + n(B)

c) Ví dụ

Ví dụ 1: Cĩ bnhiêu hình vuơng trong hình bên

Số hình vuơng cĩ cạnh bằng 1: 10

Số hình vuơng cĩ cạnh bằng 2: 4

Nam

Nữ

15 trường hợp

25 trường hợp

Tổng số: 10+4= 14

GV vẽ sơ đồ để hs quan sát

Khi 1 công việc có nhiều giai đoạn chọn

giai đoạn chọn này phụ thuộc vào giai

đoạn chọn kia thì sử dụng quy tắc nhân

GV hướng dẫn: Khi chọn được 1 hs nam

thì công việc vẫn còn tiếp tục là chọn 1

hs nữ (việc chọn đối tượng này có phụ

thuộc việc chọn đối tượng kia) do đó sử

dụng qtắc nhân

Tương tự ví dụ 1 nhưng thực hiện 6 giai

đoạn chọn

II.QUY TẮC NHÂN

1 Ví dụ mở đầu.

(Hoạt động 2 sgk)

Giải

Từ A đến B có 3 cách chọn Mỗi cách đi từ A đến B, nếu đi tiếp đến C thì có 4 cách đi đến C

Vậy số cách chọn là 3×4= 12 cách chọn

2.Quy tắc nhân a)Quy tắc (sgk).

b) Chú ý

Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động

c) Các ví dụ.

Ví dụ 1:Một lớp trực tuần cần chọn 2 hs kéo cờ trong

đó có 1 hs nam ,1 hs nữ Biết lớp có 25 nữ và 15 nam Hỏi có bnhiêu cách chọn 2 hs kéo cờ nói trên

Giải

Chọn hs nam:có 15 cách chọn Ứng với 1 hs nam , chọn 1 hs nữ: có 25 cách chọn Vậy số cách chọn là 15×25=375 cách chọn

Ví dụ 2: (Ví dụ 4 sgk) Có bnhiêu số điện thoại gồm:

a) Sáu chữ số bất kỳ?

b) Sáu chữ số lẻ?

Giải

a) Để chọn 1 số điện thoại ta cần thực hiện 6 giai đoạn lựa chọn 6 chữ số

Các số được chọn 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ( 10 chữ số) Chọn chữ số hang trăm ngàn: có 10 cách chọn Với 1 chữ số hang trăm ngàn, có 10 cách chọn chữ số hang chục ngàn

Tương tự, Có 10 cách chọn hang ngàn

Có 10 cách chọn hang trăm

Có 10 cách chọn hang chục

Có 10 cách chọn hang đơn vị Vậy có 106= 1000 000 số điện thoai b) Để chọn 1 số điện thoại ta cần thực hiện 6 giai đoạn lựa chọn 6 chữ số

Các số được chọn 1,3,5,7,9 ( 5 chữ số) Chọn 1 chữ số ở 1 hàng: có 5 cách chọn Vậy số các số đthoại là 56 = 15 625 số

BÀI TẬP.

Gọi hs lên bảng giải

GV gợi ý:

 Để chọn số gồm 1 chữ số ta cần chọn

bnhiêu giai đoạn?

 Để chọn số gồm 2 chữ số ta cần chọn

bnhiêu giai đoạn? các giai đoạn này có

phụ thuộc nhau không?

 Để 2 chữ số khác nhau thì khi chọn

chữ số sau không trùng chữ số đã chọn

trước nên số cách chọn sẽ ít hơn 1

Bài 1.

a) 4 số b)4×4=16 c) 4×3=12

GV yêu cầu hs nhận xét

Số tự nhiên bé hơn 100 là các số có

bnhiêu chữ số(1 hoặc 2 chữ số)

Để chọn số có 2 chữ số các bước chọn

có phụ thuộc nhau không? Xác định xem

cần sử dụng qtắc nào?

Chú ý: số hàng chục không thể là số 0

nên chỉ có 9 cách chọn chữ số hàng

chục

Gọi hs lên bảng giải

Bài 2

Số có 1 chữ số: 10

Số có 2 chữ số: 9×10=90 Vậy đáp số: 100

GV yêu cầu hs nhận xét các bước chọn

có phụ thuộc nhau không? Xác định xem

cần sử dụng qtắc nào?

GV gợi ý

a)Tương tự ví dụ

b) Mỗi đường khi đi thì khi về có thể đi

lại đúng đường đó do đó có bao nhiêu

đường đi thì cũng có bấy nhiêu đường

về

Gọi hs lên bảng giải

Bài 3

a) 4× 2×3=24 b) 24×2=48

GVyêu cầu hs xác định xem cần sử dụng

qtắc nào?

Tương tự

Bài 4

3×4=12

V.CŨNG CỐ

 Nắm được 2 quy tắc đếm

 Khi nào sử dụng quy tắc cộng , khi nào sử dụng quy tắc nhân

 Làm được 1 số bài đơn giản

VI.DẶN DÒ.

Bài tập làm them

1.Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) cĩ 3 chữ số và chia hết cho 2

b) cĩ 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

2 Cĩ bao nhiêu số nhị phân gồm 4 chữ số

Tiết 24+25+26 §2 HOÁN VỊ ,CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức:

-Hiểu rõ thế nào là một hoán vị của một tập hợp.Hai hoán vị khác nhau có nghĩa là gì?

-Hiểu rõ thế nào là một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.Hai chỉnh hợp chập k khác nhau có nghĩa là gì?

-Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.Hai tổ hợp chập

k khác nhau có nghĩa là gì?

2 Kĩ năng:

-Biết tính số hoán vị ,số chỉnh hợp chập k ,số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ;

-Biết phân biệt khi nào dùng tổ hợp ,khi nào dùng chỉnh hợp trong các bài toán đếm;

-Biết phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị ,chỉnh hợp và tổ hợp để giải các bài toán đếm đơn giản

3 Tư duy và thái độ

-Xây dựng tư duy logic, linh hoạt

-Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Chuẩn bị của giáo viên

- Nghiên cứu kĩ sgk và giáo án

2 Chuẩn bị của học sinh

- Xem trước bài mới, chuẩn bị các kiến thức cũ liên quan để bổ trợ bài học,máy tính cầm tay

III.GỢI Ý VỀ PP DẠY HỌC

- Gợi mở, vấn đáp; hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Kiểm tra bài cũ:

Phát biểu qui tắc nhân?

2 Nội dung bài mới

I - HOÁN VỊ

Hoạt động 1: ( Dẫn dắt khái niệm )

Cho tập hợp X =  1 ; 2  Hãy liệt kê tất cả các

chữ số có 2 chữ số khác nhau ?

GV: Mỗi số có 2 chữ số là một hoán vị của 2 phần

tử

Giáo viên giới thiệu VD1(Trang 56)

1 - Định nghĩa

a)Định nghĩa (Sgk)

b)Ví dụ:

+Dùng qui tắc nhân tính số hoán vị của tập hợp X

+ Dùng qui tắc nhân tính số hoán vị của tập hợp {An;Bình ;Châu}

+ Dùng qui tắc nhân tính : Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào một bàn dài gồm 4 chỗ ngồi?

Hoạt động 2:

ĐVĐ: Trong trường hợp tập X có số phần tử lớn,

có thống kê được số các hóan vị của tập X không?

Hết tiết 1

2 - Số các hóan vị của tập có n phần tử

Định lí 1:(SGK)

Pn = n!

Vd1: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng ,một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc

Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Vd2:Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau?

II.CHỈNH HỢP :

Hoạt động 1: ( Dẫn dắt khái niệm )

Bài toán :Từ các chữ số 1,2,3 có thể tạo thành bao

nhiêu số có 2 chữ số khác nhau?

GV: Mỗi số có 2 chữ số khác nhau được gọi là

một chỉnh hợp chập 2 của 3

1 - Định nghĩa (Sgk)

VD: Cho tập hợp X= a b c d e ; ; ; ; .Hãy viết tất cả các chỉnh hợp chập 2 của X

Hoạt động 2:

ĐVĐ: Trong trường hợp tập X có n phần tử (với n

lớn), có thống kêê được số chỉnh hợp chập k của n

(1  k  n) không?

Gv:Hướng dẫn học sinh dùng qui tắc nhân tính số

chỉnh hợp của tập hợp X,Y.Từ đó khái quát thành

định lí

2.Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :

VD:Cho tập hợp Y=  1; 2;3;4 .Tính số chỉnh hợp chập

3 của Y

*Định lí:

= n( n - 1 )(n -2 ) ( n- k + 1 )

k n

A

Chú ý :

Gv: Yêu cầu học sinh giải vd 3

Hết tiết 2

Quy ước: 0! = 1 , 0=1

n

A

=

 !  ! ( 0 k n)

n

k n

A

VD: Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ 0 có gốc và ngọn là các đỉnh của hình bình hành ABCD

VD: Trong một ban chấp hành đoàn gồm

7 người ,cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ :Bí thư ,Phó

bí thư ,Uỷ viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?

III TỔ HỢP :

Hoạt động 1: ( Dẫn dắt khái niệm )

VD:Cho tập hợp

X=  1 ; 2;3 .Viết các tập con có 2 phần tử của

tập hợp X

GV: Mỗi tập con 2 phần tử của tập hợp X gọi là

một tổ hợp chập 2 của X

Giáo viên yêu cầu hs hoạt động theo nhóm để thưcï

hiện vd

1 - Định nghĩa (Sgk)

VD: Cho tập hợp

X =  a ; b;c;d .Hãy viết tất cả các tổ hợp chập 3 của X

Hoạt động 2: )

ĐVĐ: Trong trường hợp tập X có số phần tử n đủ

lớn, có thống kê được số tổ hợp chập k của n (1  k

 n)?

Gv: Phân tích lời giải vàgiải vd6+7 trong SGK

Gv: Tổ chức hoạt động theo nhóm để giải vd

bên,qua đó so sánh sự khác nhau giữa chỉnh hợp

chập k của n và tổ hợp chập k của n

2.Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :

*Định lí:

k kn

n

A C k!

Chú ý : Quy ước: 0=1

n

C

=

k n

C

 !  ( 0 k n)

n



VD6+7(SGK)

VD:Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu

11 mét.Huấn luyện viên của mỗi đội cần chọn 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá

GV: Tổ chức hoạt động theo nhóm : Tính

và so sánh và từ đó

n k

n

C (0 k n) n k

n

n

C

rút ra tính chất 1

GV: Tương tự tính chất 1 học sinh tự CM

luân lưu 5 quả 11 mét Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cách chọn?

3.Tính chất :

a.Tính chất 1:

n n

b.Tính chất 2:

k 1  k  k  

n 1 n 1 n

VD:Giáo viên chủ nhiệm của một lớp muốn chonï một ban các sự lớp Biết rằng lớp đó có 7 học sinh hội tụ đủ điều kiện

a.Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp gồm 4 học sinh trong 7 học sinh?

b.Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp gồm 4 học sinh để giữ 4 nhiệm vụ khác nhau trong 7 học sinh trên?

V.CỦNG CỐ

- Biết tính số hoán vị ,số chỉnh hợp chập k ,số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ;

- Biết phân biệt khi nào dùng tổ hợp ,khi nào dùng chỉnh hợp trong các bài toán đếm;

- Biết phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị ,chỉnh hợp và tổ hợp để giải các bài toán đếm đơn giản

VI DẶN DÒ

Bài tập về nhà các bài trong SGK

Tiết 27 §3 NHỊ THỨC NIU-TƠN

I)MỤC TIÊU:

a)Về kiến thức:

+Nắm được công thức về nhị thức Niu-tơn

+Nắm được qui luật truy hồi thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pascal khi đã biết hàng thứ n

+Thấy mối quan hệ giữa các hệ số trong công thức nhị thức Niu-tơn với các số nằm trên một hàng của tam giác Pascal

+Vận dụng vào bài tập

b)Về kĩ năng:

+Biết vận dụng công thức nhị thức Niutơn để tìm khai triển các đa thức dạng (ax+b)n;(ax-b)n

+Biết thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pascal từ hàng thứ n

c)Về tư duy ,thái độ:

+Qui nạp và khái quát hóa.Cẩn thận và chính xác

II)Chuẩn bị của thầy và trò:

+Bảng phụ và đèn chiếu.Dùng MTĐT tính các số tổ hợp

III)Tiến trình bài học và các hoạt động học tập:

- Kiểm tra bài cũ

-Xây dựng công thức nhị thức Niutơn,cũng cố kiến thức

-Xây dựng tam giác Pascal

-Kiểm tra đánh giá

IV)TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

1.Day bài mớiï

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN và HỌC

HĐ1:Kiểm tra bài cũ.

Gv:Giao nhiệm vụ :

+Nhắc lại đn và các tính chất của số tổ hợp.

2; 2; 2; 3; ;3 3; 3

C C C C C C C

Hs:Nhớ lại các kiến thức trên và dự kiến câu

trả lời

HĐ2:Xây dựng công thức nhị thức Niutơn:

Hình thành kiến thức mới bằng con đường qui

nạp:

Gv:Nhận xét về số mũ của a,b trong

ktriển:(a+b) 2 =?

(a+b) 3 =?

+Liên hệ các số tổ hợp này với hệ số của khai

triển (a+b) 2 ;(a+b) 3

-Gợi ý dẫn dắt hs đưa ra công thức (a+b)n

a+b= 0 1

C a C b

 2 0 2 1 2 2

a b C a C ab C b

a b C a C a b C ab C b

-Chính xác hóa và đưa ra công thức trong

SGK

Hs:+Dựa vào số mũ của a,b trong khai triển

để phát hiện ra đặc điểm chung

+Tính các số tổ hợp theo yêu cầu

+Liên hệ giữa các số tổ hợp và hsố của khai

triển

+Dự kiến công thức khai triển:(a+b)n

Hs:Dựa vào qui luật viết khai triển để đưa ra

câu trả lời

I)CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN:

 n 0 n 1 n 1 k n k k n n

a b C a C a b  C a b  C b

Hoặc có thể thu gọn lại như sau:

(**)

0

n

n k

a b C a b



Công thức (*) và (**) đươc gọi là công thức nhị thứcNiu-tơn(hay gọi tắt là nhị thức Niu-tơn)

Kí hiệu  đọc là xích ma dùng để thu gọn một tổng có qui luật cho trước.

HĐ3:Cũng cố nhị thức Niutơn

+Giáo viên hướng dẫn giải ví dụ

+Gv:Chia lớp ra thành 3 nhóm với các công

việc sau:

Nhóm 1: Khai triển (x+1) 5

Nhóm 2:Kt (-x+2) 6

Nhóm 3: Kt (2x+1) 7

Hs:

-Dựa vào nhị thức ,trao đổi ,thảo luận nhóm

để đưa ra kết quả

Gv:Yêu cầu 3 nhóm cùng làm:

Gv:Aùp dụng ktriển (a+b) n với a=b=1.

-Số tập con của tập hợp có n ptử.

0

k



+ 2n

Gv: Nhắc lại các hằng đẳng thức:(a-b) 2

;(a-b) 3

+Liên hệ các số tổ hợp với hệ số của khai

triển (a-b) 2 ;(a-b) 3

Hs:Vận dụng các kiến thức đã học ở trên để

kluận:

 2 0 2 1 2 2

a b C a C ab C b

.

 3 0 3 1 2 2 2 3 3

a b C a C a b C ab C b

Gv:(a-b)n ?

Hs: :(a-b)n=[a+(-b)]n=

C a  b C a b

Chú ý :Hs cũng có thể kt (a-b)n=(-b+a)n =… và

kết quả này cũng đúng do tính chất: k n k

C C  Gv:Yêu cầu 3 nhóm cùng làm:

Hs:Aùp dụng kt (a-b)n với a=4x;b=-1 để chọn

kquả là A

Gv:Aùp dụng ktriển (a-b) n với a=b=1.

Hs:

0

0 (1 1)n n ( 1)k k

n k

C



HĐ4:Tam giác Pascal.

Gv:Giao nhiệm vụ cho 3 nhóm :

Nhóm 1:Tính hệ số của khai triển (a+b) 4

Nhóm 2:Tính hệ số của ktriển (a+b) 5

Nhóm 3:Tính hệ số của ktriển (a+b) 6

Kết hợp với hệ số của ktriển (a+b) 2 ;(a+b) 3 ,viết

tất các hsố của ktr lên bảng dưới dạng hàng

dưới dạng tam giác vuông.

Vd:Khai triển nhị thức triển (2x+3) 4

(a-b)n=[a+(-b)]n=

C a  b C a b

0

0

n

k n

k









Vd:Chọn đáp án đúng:Tìm hệ số chứa x 8 trong kt: (4x-1) 12 là:

A:32440320 B:-32440320 C:1980 D:-1980

Hs:Dựa vào công thức ktr (a+b)n và dùng máy

tính đưa ra kết quả

Gv:Tam giác vừa xây dựng là tam giác Pascal

.Trình bày cách xây dựng tam giác.

(Gv cần nhấn mạnh với hs qui luật thiết lập

mỗi hàng của tgiác từ hàng trước đó.Các hàng

của tgiác được thiết lập theo pp truy hồi).

HS:Dựa vào công thức :

Suy ra qui luật của chúng

1

1

C C  C 

Gv:Cho biết các số ở hàng thứ n+1 của tgiác

và có bao nhiêu số?

Hs :Các số sau: 0; 1; 2 , n có n+1 số

Gv:Giao nhiệm vụ cho 3 nhóm:Khai triển

(x-1) 10 bằng tam giác Pascal.

Hs:Thiết lập tam giác Pascal đấn hàng thứ 11

Dựa vào các số trong tgiác để đưa ra kquả

GV nhắc hs nếu yêu cầu tính C n k với n khá lớn

,thì ta tính theo công thức chứ không nên dùng

tam giác Pascal

HĐ5:Kiểm tra đánh giá.

Gv:Chọn phương án đúng:

1.Khai triển (2x-1)5 là:

A:32x 5 +80x 4 +80x 3 +40x 2 +10x+1

B:16x 5 +40x 4 +20x 3 +20x 2 +5x+1

C:32x 5 -80x 4 +80x 3 -40x 2 +10x-1

D: 32x 5 +80x 4 -80x 3 +40x 2 -10x-1.

2.Hệ số của x 11 trong khai triển :(2-x) 15 là:

11

15

11

15

11 4

5

11 4

5

: 16

:16

: 2

: 2





II)TAM GIÁC PASCAL:

Ngoài cách tìm hệ số trong khai triển (a+b)n bằng nhị thức Niutơn ,ta còn có thể dùng tam giác Pascal bằng cách cho n=0;1;2;3 và xếp các hệ số thành dòng ,ta nhận được tam giác sau gọi là tam giác Pascal

Cách biểu diễn tam giác Pascal (SGK trang 57)

2)CŨNG CỐ:Qua bài học ,hs cần:

-Nắm được công thức về nhị thức Niu-tơn

-Nắm được qui luật truy hồi thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pascal khi đã biết hàng thứ n

-Thấy mối quan hệ giữa các hệ số trong công thức nhị thức Niu-tơn với các số nằm trên một hàng của tam giác Pascal

3)DẶN DÒ: Bài tập SGK1-6 trang 57-58.

Bài tập làm thêm :