Giáo án Đại số 11 chuẩn - Chương IV: Giới hạn

 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản.. Veà kyû naêng:  Nắm được các bước cơ bản giải một bài toán về giớ[r]

Trang 1

Chương IV: GIỚI HẠN Tiết 49-50-51:

§ 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU

1.Kiến thức:

- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt

- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn để tính c1c giới hạn thường gặp

- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

2.Kỹ năng:

- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp

- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

3.Tư duy – thái độ:

- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài

- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt

II CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:

1.Chuẩn bị của Gv:

- Soạn giáo án

- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…

- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | un | như trong SGK

2.Chuẩn bị của học sinh:

- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp

III PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề, xen kẻ hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

1 Ổn định lớp.

Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp

2 Kiểm tra bài cũ:

Hãy biểu diễn dãy số (un) với un = lên trục số ( Chia nhóm, mỗi nhóm biểu diễn lên 1

n

bảng con của nhóm mình)

3 Bài mới:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS Nội dung ghi bảng

HĐ1:

GV: Xét dãy số ở phần bài cũ Khoảng cách từ

điểm un đến điểm 0 thay đổi như thế nào khi n đủ

lớn?

HS: Nhìn vào hình biểu diễn để nhận xét.

GV: Yêu cầu HS tìm số hạng uk để từ số hạng đó

trở về sau khoảng cách từ nó đến số 0 nhỏ hơn

0.01 ? nhỏ hơn 0.001? (GV hướng dẫn hs thực

I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:

Xét dãy số(un) với 1 , tức là dãy số

u =n n

1 1 1 1 1

1, , , , , , ,

2 3 4 5 n

Khoảng cách u -0 = un = 1 từ điểm un đến

HS: Thực hiện theo nhóm

GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra nhận xét

rằng khoảng cách từ un đến số 0 nhỏ bao nhiêu

tùy ý, miễn là chọn số n đủ lớn

+Tổng quát hoá đi đến đ\n dãy có giơi hạn 0

điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn

Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước Ta nói rằng dãy số có giới hạn 0 khi n dần tới 1

n

dương vô cực

Định nghĩa: SGK

Ví dụ: (làm ví dụ 1 SGK- trang 113) HĐ2:

GV: Đặt vấn đề:Cho dãy số (un) với un=2+1

n

-Hãy biểu diễn dãy lên trục số

-Khi n càng lớn thì un càng gần vối số nào?

HS: Làm việc theo nhóm sau đó đưa ra nhận xét

un càng gần đến số 2

GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với phần 1 để

đưa ra định nghĩa 2

GV: Hướng dẫn hs làm

2 Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số Định nghĩa 2 (SGK)

Ví dụ: Cho dãy số (vn) với vn =3n+1, CMR:

n

= 3

n

n +lim v

 

Giải

n

  

n +

3n+1 lim ( 3)

n

n +

1 lim

n

 

Vậy n= 3

n +lim v

 

GV: cho dãy số un= 14 , vn= , wn= 3, hãy biểu

n

n

2 ( ) 5

diễn lên trục số sau đó dự đoán giới hạn các dãy

này,

HS: Làm việc theo nhóm

3 Một vài giới hạn đặc biệt

a) = 0 ; = 0 (k  N* );

n +

1 lim

n

1 lim k

n

 

b) n = 0 nếu q<1

nlim q+

 

Trang 3

GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ c) Nếu un = c (hằng số) thì n

nlim u = c+

 

HĐ3

GV: Yêu cầu HS đọc đ lý sgk và ghi lên bảng nội

dung của định lý đó

HĐ 4

GV: Hướng dẫn hs biến đổi các giới hạn đã cho về

các tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn đặc biệt

HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau đó áp

dụng đ lý 1 để tìm giới hạn

II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1.Định lý 1 (SGK)

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm lim2n +32 2

1-3n

Giải

Chia tử và mẫu cho n2

Ta được lim2n +32 2 = lim =

1-3n

2

2

3 2+

n 1 -3 n

2 3



Ví dụ 2: Tìm lim

2

5n-2 3+4n

Giải

2

5n-2

2 n(5- ) n 3

n ( +4)

n

2 n(5- ) n 3

n ( +4) n

2 (5- ) n 3 ( +4) n

5 2

HĐ 5

GV: Yêu cầu hs nhắc lại công thức tính tổng của n

số hạng đầu của cấp số nhân

HS: Đứng tại chổ trả lời

GV: Biến đổi công thức thành S=

sau đó yêu cầu học sinh tính

n

-( ).q

1-q 1-q

giới hạn lim S, từ đó có được công thức

GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN có phải là CSN

II TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN.

1 Định nghĩa

CSN vô hạn có công bội q với q<1 gọi là CSN lùi vô hạn

2 Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

u1

S= ( q <1) 1-q

3 Ví dụ

a)Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn (un) với un = 1

5n

b) Tính S= 1+1 12 13 14 1n

2 2 2 2  2 

Giải

lùi vô hạn hay không sau đó yêu cầu hs tính.

HS: Làm việc theo nhóm a)Ta có u1 = và q= nên CSN đã cho là 1

1 5

1 5

CSN lùi vô hạn

1 5 1 1 5



1 4

b) Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN lùi vô hạn có u1 = 1 và q= nên S = 1

2

1 2 1 1 2





HĐ6

GV: Hướng dẫn hs thực hiện h động 2 sgk từ đó

dẫn tới định nghĩa

GV: Cho dãy un = n3, hãy biểu diễn dãy lên trục

số.Khi n càng lớn, có nhận xét gì về các số un?.Từ

đó tổng quát hóa thành các giới hạn ở phần 2

HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra nhận xét.

GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt, yêu cầu hs nhớ

GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số chung ( hoặc chia tử

và mẫu cho n) để đưa về tổng, hiệu, tích, thương

của các giới hạn đặc biệt,sau đó áp dụng đly 1

HS: Làm sau đó lên bảng giải

III GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Định nghĩa

(SGK)

Nhận xét: lim un = +  lim(- un) = - 

Ví dụ ( Làm ví dụ 6 Sgk)

2 Một vài giới hạn đặc biệt

(sgk)

3 Định lý Định lý 2 ( sgk) Các ví dụ:

a) Tìm lim 7-2nn

(n-3).5

Giải

Ta có lim 7-2nn = lim =lim

7 n( -2) n 3 n(1- ).5 n

= 0

n

7 ( -2) n 3 (1- ).5 n

b) Tìm lim (2n2 +3n – 4)

Giải

Ta có lim (2 +3n – 4n2) = lim 2

2

2 3

n ( + - 4)

Trang 5

= limn2 lim( 22 + - 4)3 = - 

V.CŨNG CỐ

- Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực Ghi nhớ các giới hạn đặc biệt

- Định lý về giới hạn hữu hạn, áp dụng tính các giới hạn thường gặp

- Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

VI.DẶN DÒ

Bài tập về nhà:1,2,3,5,7,8 (tr121,122)

Tiết 52+53 BÀI TẬP

I MỤC TIÊU: HS cần nắm được:

1 Về kiến thức:

 Vận dụng định nghĩa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn

 Vận dụng các định lý về giới hạn trình bày trong sách để tính giới hạn của các dãy số đơn giản

 Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản

2 Về kỷ năng:

 Nắm được các bước cơ bản giải một bài toán về giới hạn

3 Tư duy – thái độ:

 Hiểu được khái niệm giới hạn 0

 Hiểu được khái niệm là số a

 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

 Giới hạn vô cực

II CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:

1 Về kiến thức:

Hs đã được học lý thuyết về giới hạn dãy số

2 Về phương tiện: bảng con để hoạt động nhóm

III GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

Phương pháp gợi mở, giải quyết vấn đề

Kết hợp hình thức hoạt động nhóm

IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG

* hoạt động 1 :

Bài 1 :

Học sinh hiểu được ứng dụng thực tế của khái

niệm giới hạn trong một môn học khác

Bài tập này củng cố khái niệm giới hạn của dãy số

Học sinh hiểu rõ hơn ý tưởng “ nhỏ hơn một số

dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi”

Giáo viên hướng dẫn các em giải bài tập này

Giáo viên có thể giải thích rõ ràng cụ thể hơn đối

với câu c ) chọn n0 là một số cụ thể

Bài 1 :

a) 1 1; 2 1; 3 1;…

bằng quy nạp ta chứng minh được 1

2

u 

b) lim lim 1 0( theo tính chất

2

n n

u    

 

  nếu limq n 0 q 1)

c) 16 ( ) 16 13( ) 19 ( )

10 g 10 10 kg 10 kg

Vì u n 0 nên 1 có thể nhỏ hơn một

2

u 

số dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi Như vậy u n nhỏ hơn 19 kể từ chu

10

kì n0 nào đó Nghĩa là sau một số năm ứng với chu kỳ này , khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người

* Hoạt động 2 :

GV: Học sinh nhắc lại định nghĩa giới hạn ?

GV: Một học sinh lên bảng trình bày Em khác

nhận xét Giáo viên sữa nhận xét cho điểm

Bài 2 :

Vì lim 13 0 nên có thể nhỏ hơn một số

n

dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở

đi Mặt khác , ta có u n 1 13 13 với mọi n

Từ đó suy ra u n1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở

đi , nghĩa là limu n  1 0 Do đó limu n 1

* Hoạt động 3

Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con , phấn ,

bút lông để làm việc

Học sinh có thể thay đổi chỗ ngồi , giáo viên quy

định thời gian cho các em làm bài Tổ nào mặt

bằng khá hơn giáo viên giao cho câu c và câu d

Bài 3 :

1 6

2

n

n



Trang 7

Sau khi học sinh làm xong giáo viên hoàn chỉnh lại

bài cho các em , cho điểm các tổ Đây là các

dạng bài tập cơ bản

Giáo viên có thể tổng quát cho các em

a n b a

c n d c



2

2

 

( Hết tiết 1 )

2

1 5 3

1

n

n

 

 

c)

3

5

2

n n

n

  

   

1 1 9

2

n

n

 

* Hoạt động 4

GV: Học sinh nhắc lại công thức tính tổng của cấp

số nhân lùi vô hạn

( ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé hơn 1 )

GV: Một học sinh lên làm câu a Các em còn lại

theo dõi và nhận xét bài của bạn

( Dự đoán công thức của un và chứng minh bằng

phương pháp quy nạp )

Giáo viên sữa bài và gọi một em khác lên làm câu

b , giáo viên nhận xét rồi cho điểm

Bài 4 :

a) 1 1; 2 12; 3 13; 1

b) theo công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ta có :

1

1 1 4 lim

1

4

n

u S

q

* Hoạt động 5 :

GV: Mỗi số hạng trong tổng S là số hạng của 1

cấp số nhân với 1 1, 1

10

u   q 

HS: lên bảng làm bài

Bài 5 :

Theo công thức ta có :

1

10

u S

q



   

* Hoạt động 6 :

2

100 100 100n

2

2 101 100

1 100



( vì 2 , 22 , , 2 , là một cấp số nhân

100 100 100n

lùi vô hạn , công bội 1 )

100

q

* Hoạt động 7 :

Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng con , phấn , Bài 7 :( đáp số)a) ;

bút lông để làm việc

Hs có thể thay đổi chỗ ngồi , gv quy định thời gian

cho các em làm bài Tổ nào mặt bằng khá hơn

giáo viên giao cho câu c và câu d

Sau khi hs làm xong gv hoàn chỉnh lại bài cho các

em, cho điểm các tổ Đây là các dạng bt cơ bản

b) ; c) 1;

2



d) ;

* Hoạt động 8 :

GV: Gợi ý cho các em

Gọi hai học sinh lên bảng làm bài các em ở dưới

làm bài và nhận xet kết quả của bạn

Bài 8 :

a) 3 1 lim 3  1 lim

n n

u u







3lim 1 3.3 1 2

n n

u u

2

2

1

n

n

v

v





V CỦNG CỐ :

 Kĩ năng khi làm một bài toán tìm giới hạn của một dãy số

 Kĩ năng đánh giá một biểu thức so với một hằng số

 Nắm bắt một số công thức cơ bản

Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố :

Câu 1 : Cho dãy số a n  3n3 1 n Kết quả đúng là :

A lima n 0 B lim 1

3

n

a 

C lim 1 D

2

n

Câu 2 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu : lim7 22 3 bằng

2

n





A 7 B 3 C 0 D

2

Câu 3 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu : 3 3 bằng

2

n





A 0 B 1 C D 21

2

Câu 4 : Trong các dãy số sau đây , dãy số nào có giới hạn ?

A u n sinn B u n c nos

C u n   1 n D 1

2

u 

VI Dặn dò :

Về soạn bài giới hạn của hàm số

Trang 9

Tiết 54+55

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I MỤCTIÊU:

1 Kiến thức:

o Biết khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó

o Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số

o Biết các định lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn dạng đơn giản

2 Kĩ năng: Giúp học sinh

o Rèn luyện kĩ năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong sách giáo khoa

3 Tư duy - Thái độ :

o Cẩn thận, chính xác

o Phát triển tư duy logic

II CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:

o Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập

o Học sinh đọc qua nội dung bài mới ở nhà

III GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

o Phương pháp gợi mở vấn đáp

IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định lớp :

2 Dạy bài mới :

* Hoạt động 1:

Xét hàm số   2 2 2

1

f x

x







1 Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số  x n ,x n 1như trong

bảng sau :

2 2

3

x  x4 45 1

n

n x n



I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa :

(sgk)

 

f x f x 1 f x 2 f x 3 f x 4 f xn  ?

Khi đó ,các giá trị tương ứng của hàm số

   1 , 2 , ,  n ,

f x f x f x

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là f x n 

a) Chứng minh rằng f x n 2x n 2n 2

n



b) Tìm giới hạn của dãy số f x n 

2 Chứng minh rằng với dãy số bất kì  x n ,x n 1 và x n 1, ta luôn có

 n 2

f x 

GV: yêu cầu học sinh làm câu hỏi 1, giáo viên hướng dẫn cho các em làm

GV: các em sử dụng định nghĩa chứng minh

 

2

HS: nêu cách chứng minh bằng định nghĩa

GV: các em nhận xét

lim ?; lim ?

HS:

lim ; lim

x x x x x x c c

Gv: yêu cầu học sinh giải thích

Ví dụ :

Cho hàm số   2 4 Chứng minh rằng

2

x

f x

x







 

2

Giải : Hàm số đã cho xác định trên R\ 2  Giả sử  x n là một dãy bất kỳ , thõa mãn

2

n

x   x n  2 n 

Ta có :

  2 4  2  2

n

x

f x



lim x n 2 4

NHẬN XÉT :

, với c là hằng số

lim ; lim

x x x x x x c c

GV: Cho học sinh thừa nhận định lý 1 2 Định lý giới hạn hữu hạn

Trang 11

Gv giải thích cho học sinh dễ hiểu các định lý

này như phép cộng phép nhân , phép chia các số

GV: Trong khi thực hành làm bài tập thì ít khi ta

dùng định nghĩa , mà ta thường sử dụng định lý

1 kết hợp với các giới hạn đơn giản đã biết trước

đó

GV: Cho học sinh làm các ví dụ , hướng dẫn cho

các em sử dụng định lý 1

GV: cách làm trong sgk là chỉ tường tận cho học

sinh các bước , cho các em hiểu rõ ràng nhất

cách làm bài toán các tư duy logic dẫn đến bài

toán

Khi các em đã hiểu rõ bài toán và làm tốt có thể

trình bày như sau:

x

f x

x

( chú ý trong những trường hợp mà có biểu thức

tính giói hạn là đa thức theo x hoặc khi thay giá

trị của x= x0 thì biểu thức tính giới hạn là có đạt

giá trị hữu hạn … thì giới hạn của biểu thức chính

là giá trị của biểu thức khi x= x0

đinh lý 1:

Ví dụ 2 : Cho hàm số   2 1 Tìm

2

x

f x

x



3

lim



Giải:

Theo định lý 1 ta có :

3

3

1

x

x

x x

f x









2

lim lim1 lim lim lim1 3.3 1 5 lim 2.lim lim 2 lim 2 3 3

ví dụ 3 :

a) Giả sử

khi đó

0

0

0

x x f x g x L M

  0

x x

f x L

M

b) Nếu f x 0và   ,

0

lim

thì L0và  

0

lim

( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn , với x x 0)

GV: Có tính được giới hạn bằng cách thay giá trị

x = 1 vào biểu thức được không?Vì sao?

GV: sau nsỳ khi trình bày bài này học sinh làm

như sau :

2

2

x

1

2

1

x

x



 



Giải:

Khi thay x = 1 thì biểu thức tính giưới hạn không có nghĩa , nhưng ta có thể làm như sau:

Với x1 ta có :

Do đó :

2

x

2

2

x

 

GV: Trong định nghĩa về giới hạn hữu hạn của

hàm số khi xx0, ta xét dãy số  x n bất kì ,

và Giá trị có thể lớn

   ; \ 0

n

x  a b x x n x0 x n

hơn hoặc nhỏ hơn x0

Nếu chỉ xét các dãy  x n mà xn luôn lớn hơn x0

(hay luôn nhỏ hơn x0) thì ta có định nghĩa giới

hạn một bên như sau :

GV nêu định nghĩa sgk , giải thích kĩ cho các em

hiểu

3 Giới hạn một bên

ĐỊNH NGHĨA 2 : (SGK)

Thừa nhận định lý sau : ĐỊNH LÝ 2 :

Ví dụ 4 : Cho hàm số   52 2, 1

3, 1

f x



 

 Tìm    và (nếu có )

lim , lim

x  f x x  f x

1

lim



Giải:

lim lim 5 2 5.1 2 7

Như vậy , khi x dần tới 1 hàm số y= f(x) có giới hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7 Tuy

khi và chỉ khi

  0

lim

x x f x x x f x L

Trang 13

nhiên ,  không tồn tại vì

1

lim



x  f x x  f x

3 Củng cố : Qua bài học học sinh cần nắm được

o Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn hàm số

o Biết các định lý về giới hạn của hàm số và biết vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn dạng đơn giản

4 Bài tập về nhà :

o Bài tập 1,2,3,4,5

o Đọc phần còn lại của bài

V RÚT KINH NGHIỆM

Tiết 56+57

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiếp)

I MỤCTIÊU:

1 Kiến thức:

o Biết khái niệm giới hạn của hàm số tại 

o Giúp học sinh nắm được quy tắc tìm giới hạn  của hàm số thông qua các định lý

o Nắm được các quy tắc tìm giới hạn có liên quan đến loại giới hạn này thông qua các ví dụ

o Biết cách nhận dạng các dạng vô định và phương pháp khử các dạng này

2 Kĩ năng: Giúp học sinh

o Rèn luyện kĩ năng giải một số bài tập áp dụng đơn giản tại lớp , và các bài tập trong sách giáo khoa

3 Tư duy - Thái độ :

o Cẩn thận, chính xác

o Phát triển tư duy logic

II CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC:

o Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập

o Học sinh đọc qua nội dung bài mới ở nhà

III GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

o Phương pháp gợi mở vấn đáp

IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:

1 Ổn định lớp :

2 Dạy bài mới :