Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tíi ®êng trßn C B, C lµ hai tiÕp ®iÓm sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.. Lập phương trình mặt phẳng P[r]
Trang 1đề thi thử đại học lần thứ nhất khối A
Môn: Toán Thời gian: 180 phút I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị là (C)
2
1 2
x
x y
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để
đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
1.Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
2.Giải bất phương trình log log 3 5(log 2 3)
4
2 2
2
2 x x x
Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm
x x
dx
cos sin
Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a
Câu V (1 điểm) Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2009 + b2009 + c2009 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a4 + b4 + c4
II.Phần riêng (3 điểm)
1.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm).
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
t
z
t
y
t
x
3
1
2
1
Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt
hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ
2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm)
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn 3
1 1
2
1
x
nhất
Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số
chẵn và ba chữ số lẻ
-Hết-đáp án đề thi thử đại học lần 1 khối a – môn toán
Trang 2I.Phần dành cho tất cả các thí sính
1 (1,25 điểm) a.TXĐ: D = R\{-2}
b.Chiều biến thiên
lim
; lim
; 2 lim lim
x x
x x
y y
y y
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2
0,5
x
) 2 (
3
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;2) và (2;) 0,25 +Bảng biến thiên
x -2
y’ + +
2
y
2
0,25
c.Đồ thị:
Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; ) và cắt trục Ox tại điểm( ;0)
2
1
2
1
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng
0,25
2 (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
) 1 ( 0 2 1 ) 4 (
2 2
1 2
x
x m x x
x
0,25
I
(2
điểm)
x
y
O 2
-2
Trang 3
) ( 0 7 sin 2 cos 6
0 sin 1
VN x
x x
2 k
2 (1 điểm)
ĐK:
0 3 log
log
0
2 2
2
2x x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
) 1 ( ) 3 (log 5 3 log
2
2
2 x x x
đặt t = log2x,
BPT (1) t2 2t3 5(t3) (t3)(t1) 5(t3)
0,5
4 log 3
1 log
4 3
1 )
3 ( 5 ) 3 )(
1 ( 3 1
2
2
x t
t t
t t t
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là:
16 8
2
1 0
x
x
) 16
; 8 ( ] 2
1
; 0
x x
dx x
x x
dx
cos 2 sin
8 cos cos sin
đặt tanx = t
dt t t t
t
dt I
t
t x x
dx dt
3
3 2
3 2
2 2
) 1 ( ) 1
2 ( 8
1
2 2 sin
; cos
0,5
III
1 điểm
C x x
x x
dt t t t t
dt t
t t t
2 2
4 3
3 3
2 4 6
tan 2
1 tan
ln 3 tan 2
3 tan 4
1 )
3 3 (
1 3 3
0,5
Trang 4Do AH (A1B1C1) nên góc AA1Hlà góc giữa AA1 và (A1B1C1), theo giả thiết thì góc AA1H bằng 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1H=300
Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và 2
3 1
a H
A
nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác nên 2
3 1
a H
) ( 1 1
1C AA H
B
0,5
Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và
B1C1
0,25
Câu IV
1 điểm
Ta có AA1.HK = A1H.AH
4
3
1
AA
AH H A
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có
) 1 ( 2009
2009 1
1
1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005
a a
a a a a
a a
Tương tự ta có
) 2 ( 2009
2009 1
1
1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005
b b
b b b b
b b
) 3 ( 2009
2009 1
1
1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005
c c
c c c c
c c
0,5
Câu V
1 điểm
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được
A1
C
C1
B1
K
H
Trang 5Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến AB, AC tới đường tròn và AB AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng
3 IA3 2
0,5
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
0,5
2 (1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi AI
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
0,5
2
điểm
vì H là hình chiếu của A trên d nên )
3 1
;
; 2 1
H d
là véc tơ chỉ phương của d) )
3
; 1
; 2 ( ( 0
AH
Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 )
5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
7x + y -5z -77 = 0
0,5
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6 cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và
4
C
cách chọn 2 chữ số lẽ => có = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán 10
2
5
5
5
C
0,5
Câu
VIIa
1
điểm Mỗi bộ 4 số như thế có 4! số được thành lập Vậy có tất cả 2 .4! = 1440 số
4
5
2.Ban nâng cao.
1.( 1 điểm)
Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến AB, AC tới đường tròn và AB AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3
2 3
IA
0,5
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
0,5
2 (1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách
giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI=> HI lớn nhất khi AI
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
0,5
Câu
VIa
2
điểm
vì H là hình chiếu của A trên d nên )
3 1
;
; 2 1
H d
là véc tơ chỉ phương của d) )
3
; 1
; 2 ( ( 0
AH
Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 )
5
; 1
; 7 ( )
4
; 1
; 3
7x + y -5z -77 = 0
0,5
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0
5
C
đứng đầu) và 3=10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có = 100 bộ 5 số được chọn
5
5
5
C
0,5
Câu
VIIa
1
điểm Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả 2 .5! = 12000 số
5
5
C
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 3.4! 960 Vậy
5
1
4C
C
có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán
0,5