Giáo án môn Toán 12 - Chương 1 : Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số

MUÏC ÑÍCH YEÂU CAÀU : - kiến thức trọng tâm: Nắm vững điều kiện để hàm số có cực trị, vận dụng và luyện tập phương pháp xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.. - Kỹ năng: phương pháp xác[r]

Chương 1 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Tiết 1 - 2 : SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :

- kiến thức trọng tâm: Nắm vững điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng yêu cầu khảo sát dấu hàm cơ bản

- Kỹ năng: sét sự biến thiên của hàm số

II Phương pháp : Nêu vấn đề

III Hoạt động

- Ổn định lớp & Kiểm diện học sinh

- Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa lại hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) ?

HĐ1 Học sinh làm theo các bước:

+ Tìm TXĐ: D

+ Tính y’

+ Giải y’ = 0

+ Xét dấu y’

Ví dụ: Với hàm số y = x3 + 1

Ta cĩ y’ = 3x2 ; x = 0 thì y’khơng đổi dấu

I Tính đơn điệu của hàm số

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K

a f(x) đồng biến trên K  > 0 trên K

x

y





b f(x) nghịch biến trên K < 0 trên K

x

y





1 Định nghĩa: (Sgk) HĐ1: Xét dấu các đạo hàm của các hàm số

sau:

1 y x3  3x2  2 2 2 1

4 2

4





y

3 4

2

1







x

x y

1

1 2









x

x x y

2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Định lí: Sgk

Tĩm lại

* f' x  0 , xK  f(x) đồng biến trên K

* f' x  0 , xK  f(x) nghịch biến trên K

Chú ý 1: Điều ngược lại của định lí trên

khơng đúng

Ví dụ: Với hàm số y = x3 + 1

Chú ý2: Nếu f' x  , 0 xK thì f(x) khơng đổi dấu trên K

Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và cĩ đạo hàm trên K

* f' x  0 , xK  f(x) đồng biến trên K

* f' x  0 , xK  f(x) nghịch biến trên K , và f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm

II Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Xem sgk trang 8

4

2

-2

1 TXĐ D = R

y’ = x2 -6x + 8

y’ = 0



































3

10 4

3

14 2

0 8 6 2

y x

y x

x x

x   2 4  

y’ + 0 - 0 +

y

3 14    

3 10 Hàm số đồng biến trên   ; 2 và 4 ; , nghịch biến trên  2 ; 4 2 D R\ 0 x  x D y      0 , 2 1 ' 2 x   -2  

y’ + +

y   1

1  

Hàm số đồng biến trên   ; 2 và  ; 2  3 D R\ 0 2 2 3 3 ' x x y   y’ = 0            11 1 5 1 y x y x x   -1 0 1  

y’ + 0 - - 0 +

y 5    

    11

Hàm số đồng biến trên   ; 1 và 1 ; , nghịch biến trên  1 ; 0 và  0 ; 1 HĐ2: Tìm các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số 1 y = 3 8 2

3 1x3 x2  x 2 2 1    x x y 3 y = 3x+ + 5

x 3 4 y = sinx trên khoảng 0 ; 2

4

Xét trên 0 ; 2

y’ = cosx

y’ = 0

































1 2

3

1 2

0 cos

y x

y x

x





x 0

2



2

2 y’ + 0 - 0 +

y 1 0

0 -1

Hàm số đồng biến trên  và ,









 2

;

0 











 ; 2

2 3

nghịch biến trên 









 2

3

; 2





Củng cố: Nắm chắc quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Bài tập 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

1 y  x3  3x 1 2 y  x3  3x 1 3 y  x3  3x2  3x 2 4 y  x3  3x2  3x 1

2







y y  x4  2x2  3 y  x4 x2  1

1

1

2







x

x

y

1

1 2







x

x y

1 2

1







x

x y

1 2

1







x

x y

1

1 2









x

x x

y

1

4 1 2









x x y

1

1 2 3











x x

y

1

1 2











x

x x y

Bài tập 2 Tìm m để hàm số y  x3  3mx2  32m 1x 1 luôn đồng biến trên R

Tiết 3: Bài tập:

HĐ1: Gọi học sinh thực hiện

HĐ2:

a





























0 2 3

0 1 ,

0

m m

a R x

y

    ; 1 

3

2

m

b TXĐ D \R  m

2

'

m

x

m

m

y









YCBT  y'  0 , xD 2m2 m 10  0















2

5

m

c TXĐ D R\1

2

1 1

1 2 2

'















x

x g x

m mx

mx

y

YCBT  g x  0 , xD  1

TH1: m = 0 : g(x) = -1 < 0 , xD vậy

(1) thoả mãn

0

0 1

:















m m

m m

Vậy m 0 thoả mãn bài toán

HĐ3

1 Xét hàm số  

2 0

, tan   

x f

Ta cĩ f' x  tan 2x 0 với nên

2



 x

HĐ1: Xét sự biến thiên của các hàm số

1 y = x + 1 +

1

1



x

2 y = x3 – 3x2 + 3x – 1

3 y = x4 – 2x2 + 3

4 y =

x

x



 1

1 3

5

1

2 2







x

x x y

6 y x2 x 20

7 y x 25 x 2

8

9

2

2 



x

x y

HĐ2: Tìm m để hàm số:

a y  x3  3mx2 m 2xm đồng biến trên R

b nghịch biến trên từng

m x

m mx y







khoảng xác định

c đồng biến trên từng

1

1 2 2









x

mx mx

y

khoảng xác định

HĐ3 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

1

2 0

, tan   

x x x

2

2 0

, 3 tan







x

hàm số đồng biến trên

2

0 x

Do đĩ, với ta cĩ

2



 x

hay trên

 x  tanxx  f 0  0

khoảng 











2

;

0 

2 Xét hàm số  

2 0

, 3 tan

3  





x f

Củng cố : Nắm chắc cách xét sự biến thiên của hàm số.

Bài tập :

Tìm m để hàm số y  x3  6x2 mx 5 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

Tiết 4 – 5 – 6 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :

- kiến thức trọng tâm: Nắm vững điều kiện để hàm số có cực trị, vận dụng và luyện tập phương pháp xác định cực đại, cực tiểu của hàm số

- Kỹ năng: phương pháp xác định cực đại, cực tiểu của hàm số

II PHƯƠNG PHÁP : Nêu vấn đề

III HOẠT ĐỘNG

- Ổn định lớp & Kiểm diện học sinh

- Kiểm tra bài cũ : Lập bảng biến thiên của hàm số y x3  3x2  1

Tiết 4:

I Khái niệm cực đại, cực tiểu

1 Định nghĩa :

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a; b) (cĩ thể a là  ; b là  ) và x0 a;b

a Nếu

:



thì f(x) đạt cực đại tại x0

b Nếu

:



thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

* Nếu f(x) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0 thì

x 0 là điểm cực đại hoặc cực tiểu và f x0 là giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm số

* Điểm Mx0;f x0  là điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị hàm số.

* Nếu hàm số f(x) cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt CĐ hoặc CT tại x 0 thì f' x0  0

II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lý 1 : sgk

0 0

0 0

; ,

0 '

; ,

0 '

x h x x x x

f

x h x x x

f

























của f(x)

0 0

0 0

; ,

0 '

; ,

0 '

x h x x x x

f

x h x x x

f

























của f(x)

2 Qui tắc 1 :

Tìm cực trị của hàm y = f(x)

B1: Tìm miền xác định D B2: Tính y’= f’(x) và tìm các điểm mà f’(x)

Đs: câu 2 và 5 hàm số khơng cĩ cực trị

4 ' 3 22 3

x

x



y’ = 0 





















11 1

5 1

y x

y x

x   -1 1  

y’ + 0 - 0 +

y CĐ  

  CT

yCĐ =11 tại x = 1

yCT = 5 tại x = -1

HĐ2

* TXĐ: D   ; 

* y'  3x2  2mx1 n2

* Xét phương trình y’ = 0, cĩ

nên y’ = 0 cĩ



 ' 2 3 1 2 0 , ,

hai nghiệm phân biệt x1, x2 và y’ đổi dấu

qua x1, x2

* hàm số đã cho luơn cĩ cực trị với mọi

giá trị của m và n

= 0 hoặc f’(x) khơng xác định

B3: Lập bảng biến thiên => điểm cực trị

HĐ1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

1 y  x3  3x2  1

2 y = x3

3 y x4  2x2  2

4 y = 3x+ + 5

x

3

5

2

1







x

x y

HĐ2: Chứng minh rằng hàm số

luơn cĩ cực trị

 n x n m

mx x

y 3  2  1  2  5 

với mọi giá trị của m và n

Củng cố:

Nắm vững cách tìm cực trị của hàm số và điều kiện để hàm số cĩ cực trị

Bài tập:Với giá trị nào của m thì hàm số

có cực trị

3









y

Tiết 5:

3 Định lý 2 : sgk

*   là điểm CT của hàm số

0

0

0 ''

0 '

x x

f

x f













*   là điểm CĐ của hàm số

0

0

0 ''

0 '

x x

f

x f













4 Qui tắc 2 : Tìm cực trị của hàm số y =

f(x) B1: Tìm miền xác định D B2: Tính y’= f’(x) Giải y’ = 0 tìm nghiệm

HĐ1:

1 y’= x(x2 – 4) = 0

2 , 2 ,



y’’ = 3x2 – 4

y’’( 2) = 8 > 0  x  2 là điểm CT

y’’(0) = -4 < 0  x 0 là điểm CĐ

HĐ2:

D = R

3 3 6

3

'  x2  mx m3 

y

Hàm số đạt cực đại tại x0 = 1

Thử lại

* m = 0, ta có : y’ = 3x2 – 3 và y’’ = 6x

là điểm cực tiểu

 

''

0

1

'

0 













x y

y

loại m = 0

* m = 2 , ta có y’ = 3x2 – 12x + 9 và

y’’ = 6x -12

là điểm cực đại

 

''

0

1

'

0 













x y

y

Vậy m = 2

xi , i= 1; 2;

B3: Tính y”= f”(x) và f ' x i

B4: Từ dấu f”(xi) => xi là cực đại hay cực tiểu

HĐ1 : Tìm điểm cực trị của

1 f(x) = – 2x2 + 6

4

4

x

2 f(x) = sin2x

HĐ2: Tìm m để hàm số

đạt cực đại

3

y

tại x0 = 1

Củng cố : 1 Điều kiện để hàm số có cực trị ?

2 Qui tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x) ?

Tiết 6 : BÀI TẬP

HĐ1

HĐ2

1/ y'  2 cos 2x cosx 1  0































2 3

2

k x

k

x

x x x

y ''   4 sin cos  sin

khơng là điểm

cực trị

là điểm cực









2 3 0

2

3









 

đại

là điểm









2 3 0

2

3









 

cực tiểu

2/ Đs :

3 0

3 2

3









 

điểm cực đại

3 0

3 2

3









 

điểm cực tiểu

HĐ3 :

 m

R

D  \

2

'

m x

m mx

x

y











Đặt g(x) = x2 -2mx + m2 -1

g(x) = 0 xm 1 mm 1 suy ra

x0= m - 1

là điểm cực đại y0

2 1

1 2

0

0  x  m  m m

y

Toạ độ điểm cực đại của đồ thị (x0;y0)

thoả mãn điều kiện bài toán

1 0

0

0











y

x

HĐ1:

Dùng dấu hiệu I tìm cực trị của hàm số

HĐ2:

Dùng dấu hiệu II tìm cực trị của hàm số 1/ y 1  cosx sinx

2/ y  sin 2 xx

HĐ3: Chứng tỏ rằng với mọi m, hàm số :

luôn có cực đại,

m x

m x m m x y











cực tiểu Định m để điểm cực dại thuộc góc phần tư thứ nhất của trục toạ độ

Củng cố: Nắm chắc cách tìm cự trị của các hàm số dựa vào hai dấu hiệu.

Bài tập:

Bài 1: Dùng dấu hiệu I tìm cực trị của các hàm số :

1 y 2x3  3x2  1 2 y x4  2x2  3 3 4

4 3

3 2







x

x y

1

2 2







x

x x y

1

1 1

4









x x

y

1

2 



x

x

y y 3x2  8x3 y  x3  6x2  9x

3

16 2

y     y  x4  8x2  5 y 2xx2 y x2  2x 3

2

16 x

x

y





1

3

2 





x

x

y y 3  2xx2 y  2x 3 x2  1

Bài 2: Dùng dấu hiệu II tìm cực trị của hàm số

2

1 cos 



x

x y

cos

sin

1 



2

3 2 cos sin

.





y

Bài 3: Tìm m để hàm số y  x4  2mx2  2mm4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều

Bg: D = R

;

x m

x mx

x

y'  4 3  4  4 2  y'  0  xx2 m 0  1

Hàm số có cực đại, cực tiểu  1 có ba nghiệm phân biệt  m 0

Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x = 0, x m , x  m và tọa độ ba điểm cực trị :

A0 , 2  2 2 ,  , 4  2  2 , , 4  2  2

Ta có tam giác ABC đều  2  2   3 3











m AC

AB BC

AB

AC AB

Bài 4 : Cho hàm số cos 3 sin  8cos 2 1 1

3











y

a Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

b Giả sử hàm số đại, cực tiểu tại x1, x2 Chứng minh : x x2  18 , a

2

2 1

Bài 5 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số

m

x

m mx

x

y







 2 2

B1 : Tìm TXĐ của hàm số D \R  m

B2 : Tính đạo hàm y’  2 ,

2

m x

m m mx x











Giả sử y’ = 0 f(x) =  x2  2mx 2m2 m =0 (1)

B3 : Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có hai nghiệm phân biệt khác

d

e

























3

1 0

0

m m

f

B4 : Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

* Gọi (x0, y0) là tọa độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y’(x0) = 0 Do đó

m x

m mx x

x

y

0











* Ta thấy ngay tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn y = 2x - m

* phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số là :

y = 2x - m

Tiết 7 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :

- kiến thức trọng tâm: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Kỹ năng: Nắm vững và vận dụng tốt phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng , trên một đoạn

II PHƯƠNG PHÁP : Nêu vấn đề

III HOẠT ĐỘNG

- Ổn định lớp & Kiểm diện học sinh

- Kiểm tra bài cũ: Phương pháp tìm điểm cực trị ?

Aùp dụng : y = ; y = x – 1 –

1

3 2 2







x

x x

1

1



x

HĐ1

Xét hàm số f(x) = x – 5 +

x

1 Trên khoảng 0 ;  hàm số liên tục

(loại) 1 , 1 0

1

1

'   2   x x  

x

y

X 0 1 +

y’ - 0 +

y

-3

Vậy  min    3

;

 f x

1 Định nghĩa : sgk

2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

a Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục

trên (a ; b) Tìm GTLN và GTNN của f(x) trên (a ; b)

b Phương pháp : + Tính y’ và giải phương trình y’ = 0 + Lập bảng biến thiên.

* Nếu trên BBT hàm có cực trị duy nhất

trên (a ; b) thì cực trị đó là maxf(x) hoặc

minf(x)

HĐ1: Cho hàm số f(x) = x – 5 + (x > 0)

x

1

Tìm GTLN ; GTNN của f(x) trên (0 ; + ) 

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên một đoạn

a Cho hàm số f(x) liên tục trên [a ; b] và

chỉ có hữu hạn điểm làm cho y’ = 0 hoặc

y’ khơng xác định trên [ a ; b ] Tìm GTLN và GTNN của f(x) trên [a; b]

b Phương pháp : + Tính y’ và giải y’ = 0 tìm nghiệm

x1,x2, hoặc y’ khơng xác định

+ Tính f(a) , f(b) , f(xi) , i = 1,2,3,

Ta có y’ = 6x2 + 6x = 0  x 0 ,x  1

a   2 ; f(-2) = -5; f(-1) = 0

1

;

2

1

2

1

2

1 











f

Vậy min    2 5

2

1

;

2















  f x f

max     1 0

2

1

;

2













b    ; 1 ; f(0) = -1; f(1) = 4

2

1

0

2

1

2

1   











f

Vậy min    1 1

1

;

2







max     1 4

1

;

2







c Trên [ 1 ; 3 ) không có điểm tới hạn

nào Vì f’(2) = 36 > 0

nên hàm số đồng biến trên [ 1 ; 3 )

Vậy

min

3

;

1 f x  f 

+ Trong các số tính được => GTLN,

GTNN của f(x)

HĐ2: Tìm GTLN và GTNN của hs:

y=2x3+3x2–1 trên đoạn và nửa khoảng:

a/  2  b/ c/ [ 1 ; 3 )

1

;

2   1; 

2 1

Chú ý: Cho hàm số y = f(x) xác định trên

 a; b

* Nếu f' x  0 , x a;b thì

  f x f a

; min và

  f x f b

Max

;

* Nếu f' x  0 , x a;b thì

  f x f a

Max

; và

  f x f b

; min

Củng cố :

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

trên một khoảng hoặc trên một đoạn ?

Bài tập : (trang 23 - 24 SGK)

Tiết 8 – 9 : BÀI TẬP

Bài 1:

1 y’ = 8 – 4x

y’ = 0 x 2

x - 2 + 

y’ + 0

y 9

Vậy max  CD  9

R y y

2 y’ = 12x2 -12x3

y’ = 0  x  0 ,x  1

x - 0 1 + 

y’ + 0 + 0

y 1

0

Vậy max  CD  1

R y y

Bài 2 :

Hsinh lập BBT

Đsố :

1 min 8

;

 y y CT

2 min 3

;

 y y CT

Bài 3 :

Đs :

max

4

;

4

;

 



























2

; 1 , 2 3

10

; 2 1

; 10 ,

2 3

2

2

x x x

x x x

x -10 1 2 10

2 3 y’ - + 0 - +

132 72

4 1

0 0

Bài 1: Tìm GTLN của các hàm số:

1 y = 1 + 8x – 2x2

2 y = 4x3 – 3x4

HD : câu 2 có thể dùng BĐT Côsi để giải

Bài 2 : Tìm GTNN của các hàm số :

1 y =  22,(x0)

x x

2  2 2, (x  0 )

x x y

HD: Có thể dùng BĐT Côsi để giải Bài 3 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm

số

1 y = x3 -3x2 – 9x + 35 trên đoạn  4 ; 4

2 y  x2  3x 2 trên đoạn  10 ; 10

3 y  5  4x trên đoạn   1 ; 1

4 y = sin2x - x trên   

2

, 2





,

 max    172

10

;

 f x

 min    0

10

;

 f x

    3

max

1

;

 f x

    1

min

1

;

 f x

4 y’ = 2cos2x – 1

y’ = 0















































6

6 2

1 2 cos

2

; 2









x

x x

x

Đs : maxy = và miny

2



2







Củng cố : Nắm chác cách tìm GTLN, GTNN của các hàm số

Bài tập :

1 y = sinx - trên 2 y = 2sinx - sin3x trên [ 0,]

2

x







 2 ,

0 

3 4

3 y = -2sinx+ sin3x trên [ - ,0] 4 y = cosx - cos3x trên [ 0,]

3

3 2

5 y = -sinx +x trên [- , 6

2



] 2

4 x x

x

x y

sin

2

cos



Tiết 10 : TIỆM CẬN

I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :

- kiến thức trọng tâm: Nắm vững và xác định đúng các loại đường tiệm cận của (C)

- Kỹ năng: Tìm phương trình các đường tiệm cận

II PHƯƠNG PHÁP : Nêu vấn đề

III HOẠT ĐỘNG

- Ổn định lớp & Kiểm diện học sinh

- Kiểm tra bài cũ:

y

x

* Đường thẳng song song với trục hồnh

gọi là tiệm cân ngang

* Đường thẳng song song với trục tung gọi

là tiệm cân đưng

HĐ1

Đs :

a b y = 2 c y = 0

3

1



y

HĐ2















1 lim

; 2

1

lim

2

x x

x

x x

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng

b x 1và x  2 là những tiệm cận đứng

c Đồ thị hàm số khơng cĩ tiệm cận

1 Tiệm cận ngang

Định lý : sgk

HĐ1 : Tìm tiệm cận ngang của hàm số

a y = b y =

2 3

1





x

x

2 3

1 2 2

2







x x x

c y =

2 3

1

2 



x x

2 Tiệm cận đứng

Định lý : sgk

HĐ2 : Tìm tiệm cận đứng của hàm số

a y = b y =

2 3

1





x

x

2 3

1 2 2

2







x x x

c y =

2 3

1

2 



x x

Củng cố :Xác định đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) ?

Bài tập : (trang 30 SGK)