Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình

B/ Thực hiện các giải pháp của đề tài: Để giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt c[r]

TRÌNH,   TRÌNH.

I/ LÍ DO   TÀI

trình,

xuyên

bài 1 2 có !" )* bài 1 mà ta không 3 4 $ 5  pháp thông 6

7 4 $  7  khó %8 và 9 :

>? : hàm 3 4 các bài toán 2 thì bài toán $  4  Tuy nhiên không

4 bài nào ta @ )= >?  pháp hàm )* 3 4  9 >? : hàm A hàm )* 3 4 là  #' và 7  trong !" )*  thi B: CD Cao BF A G

8! H I thì có không ít bài toán 4 5  pháp hàm )* mà  H 

trong các bài toán #121 3)45"# trình, 07, 3)45"# trình”.

II/ 9   : KHI 9 <  TÀI.

1 )>?" @A1B

và giúp

cho tôi Q   G 4 pháp A  tài này

2 Khó E)F"B

ngoài 6 gian  U 6 các em còn 4 ? giúp gia 

B )* 3! H vào A  sinh còn  7  là " môn toán

3 HI @1J> ,)I"# kê: W4 sát 100  sinh A 6 #' 12.

/' khi áp >?  tài

Sau khi áp >?  tài

III/ L DUNG  TÀI

A/ 5 NO lí @>?"B

 ! ? trung tâm trong 6  THPT là : " >: A H và :

"  A trò, ( phát + !? tiêu 0 : “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,

môn toán

môn

môn này

b*  * môn toán các em 4 c! G G tri 9 khoa  U môn toán

 giáo viên H d ' cho  sinh  và nghiên 9 môn toán có  * trong

e  $ cách 4

Trong sách giáo khoa : )* 10, 11, 12 f nêu !" )* cách 4 các  trình,   trình !" cách  4 L  )= >? : hàm A f 3 %4 sát và <

e d các hàm )* còn 9 >? : hàm trong   4 các bài toán )  thì 

 và cao F H I   4 các bài toán có )Q 9 >? A : hàm   B7  là 9 >? : hàm 3 4 các bài toán   trình,   trình, 

 trình,    trình giúp cho  sinh 4 !" )* bài toán )g  4



Ví dụ 1: Z4  trình: 3x  1 x 7x  2 4

và x 1 là !"  ! A  )= >?  pháp : hàm thì ta 4  trình này   4

2009 (x x   1 x) 1 

Bài này ta không

>?  pháp hàm )* thì )g  4   Và   bài toán khác =

Do

 sinh THPT 1 >? và tìm ra  pháp 4 khi 7 các bài toán 4  trình và   trình

Trong

pháp 4  trình và   trình 5  pháp 9 >? : hàm

B/ )R )1J" các #121 pháp ST &U tài:

B3 giúp  sinh 4 * các  trình,   trình trong các kì thi, giáo viên H 4 ' >o cho  sinh 1 >: và )= >? * các  pháp M Các

A hàm )* 3 4

 trình 5  pháp 9 >? tính   A hàm )* Sau I tôi )< vào + " dung ? 3

1/ 5 NO lí ,)>VW,B

1.1/ Cho hàm )* y f x( )xác d trên D

> 5 (4 ra : G : 3! thì   8

trên D

> 5 (4 ra : G : 3! thì   4!

trên D

Hàm )*   là hàm )* 7 8 7 4!.

luôn

( )

y f x

D thì )*  ! A  trình trên D: f x( ) k không   !" và f u( )  f v( )

khi và f khi uv u v, D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f x( ) k có nghiệm xa , tức là f a( ) k Do f(x) đồng biến nên:

+ xa suy ra f x( )  f a( ) k nên phương trình f x( ) k vô nghiệm.

+ xa suy ra f x( )  f a( ) k nên phương trình f x( ) k vô nghiệm.

Vậy phương trình f x( ) k có nhiều nhất là một nghiệm.

*Chú ý:

+Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

Bài toán yêu cầu giải phương trình: F(x) = 0 Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f x( ) k hoặc f u( )  f v( ) (trong đó uu x( ); vv x( ))

và ta chứng minh được f(x)là hàm luôn đồng biến (nghịch biến).

Nếu là phương trình: f x( ) k ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

Nếu là phương trình: f u( )  f v( )ta có ngay uv giải phương trình này ta tìm được nghiệm.

+Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.

XY") lí 2:

luôn

( )

luôn

 trình f x( ) g x( ) không   !"

Chứng minh:

Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình: f x( ) g x( ) tức là f a( ) g a( ) Ta giả sử

đồng biến còn nghịch biến.

( )

y f x yg x( )

+Nếu xa suy ra f x( )  f a( ) g a( ) g x( )nên phương trình f x( ) g x( )vô nghiệm +Nếu xa suy ra f x( )  f a( ) g a( ) g x( )nên phương trình f x( ) g x( )vô nghiệm Vậy phương trình f x( ) g x( )có nhiều nhất một nghiệm.

*Chú ý:

Khi gặp phương trình F(x) = 0 ta có thể biến đổi về dạng; f x( ) g x( ), trong đó f

và g khác tính đơn điệu khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

XY") lí 3:

luôn

( )

y f x

f x  f y  xy (x y)

2/ "# $%"# &'( hàm &\ #121 3)45"# trình:

2.1/ f x( ) g x( )l7 f u( ) g u( ))trong

2 uu x( )

T])45"# pháp:

f x g x f u( ) g u( )

B' 2: Xét hàm )* y f x( )và yg x( ) trên D

*Tính ' , và xét > ,

( )

f x g x'( ) f x'( ) g x'( )

và trên D

( )

y f x yg x( )

và   $ nhau 7 !"

( )

y f x yg x( )

trong hai là hàm )* 5

*Tìm x0 sao cho f x( )0 g x( )0 l7 tìm u0 sao cho ( )f u0  f u( ))

l7 e 4

0

xx uu0

 trình uu0)

b)Ví $% áp $%"#B

Z4 các  trình sau:

Bài 1: 3x  1 x 7x  2 4

 ! duy  L1 ta có cách 4 sau

, 2

D

Xét hàm )*M f(x)= 3x +1 + x + 7x + 2 , ta có f(x) là hàm liên ? trên D và

nên hàm

7 1

x

f x





7 - 57 2

 x

b7 khác ta  f(1)= 4

nên  trình vô  !

x  f x  f 

nên  trình vô  !

x  f x  f 

L1 x = 1 là  ! duy  A  trình

*Chú ý:

+Vì các hàm )* yax b f x( )là hàm

hàm )* n f x( )

rnQ &  ! thì ta  tiên G giá d A x sao cho các 3 9 >' >

8 1 giá d là )* chính 

Bài 2: x  3 x - 3  9 -x (2)

u1 xét: 7  %  và bình  4 $   4

Ta có 3 4 $ 5  pháp hàm )* sau:

BWM Dx x/  3

Xét hàm )*M f x( )  x 3 x   3 x 9, khi 2 (2) f x( )  0, ta có f(x) là hàm liên ? trên

D và '( ) 1 3 1 0, nên hàm

f x

b7 khác ta  f(4)= 0

nên  trình vô  !

x  f x  f 

nên  trình vô  !

x  f x  f 

L1 x = 4 là  ! duy  A  trình

1 1 2

u1 xét: 7  %  và bình     trình 1 6 l khó 4m

Vì 1 ta có 3 4 $ 5  pháp hàm )* sau:

BWM Dx x/   1

Xét hàm )*M 3 2 , khi 2 (3) , ta có f(x) là hàm liên ?

f x x x  x  x  f x( )  0

x

b7 khác ta  f(0)= 0

nên  trình vô  !

x  f x  f 

nên  trình vô  !

x  f x  f 

L1 x = 0 là  ! duy  A  trình

2009 (x x   1 x) 1 

Vì 1 ta có 3 4 $ 5  pháp hàm )* sau:

=

2 2

2

1

1

x

  

1

x  x ln 2009  0 f x'( )  0 ,   x

b7 khác ta  f(0)= 1

nên  trình vô  !

x  f x  f 

nên  trình vô  !

x  f x  f 

L1 x = 0 là  ! duy  A  trình

Bài 5: 3x   4 x (5)

Vì 1 ta f có 3 4 $ 5  pháp hàm )* sau:

Ta có: 3x    4 x 3x  x 4 0

B7 ( ) 3x 4 ta có nên hàm

b7 khác ta  f(1)= 0.

nên  trình vô  !

x  f x  f 

nên  trình vô  !

x  f x  f 

L1 x = 1 là  ! duy  A  trình

Bài 6: log(x   5) 6 x (6)

BWM Dx x/  5

Xét hàm )*M f x( )  log(x   5) x 6, khi 2 (6) f x( )  0, ta có f(x) là hàm liên ? trên D

và '( ) 1 1 0, nên hàm

f x

x

b7 khác ta  f(6)= 0

nên  trình vô  !

x  f x  f 

nên  trình vô  !

x  f x  f 

L1 x = 6 là  ! duy  A  trình

*Chú ý:

ta 6 4 5  pháp : hàm

u1 xét: L' bài này ta không 3 4 5  pháp thông 6 vì  9

: và khó 4 Ta có 3 4 5  pháp sau:

BWM Dx x/  0

2

x  t x   x

; trình (7) U thành: 6 4

3 3log (1 2  t 2 ) 12t  t

1 (7')

Xét hàm ( ) 1 64 16 có

f t      

nên hàm

b7 khác ta  f(1)= 1

nên  trình vô  !

t  f t  f 

nên  trình vô  !

t  f t  f 

L1  trình (7’) có  ! duy  là t =1  6 12

x   x  x

uu x vv x

T])45"# pháp:

f u  f v

\' 2: Xét hàm )* y f t( ) trên D

*Tính y' và xét > y’

là hàm )*   trên D,

( )

y f t

uv

uZ4  trình: uv

b)Ví $% áp $%"#B

Z4 các  trình sau:

x  x  x   x

D = R

bài này Tuy nhiên

!" !* liên  là x    2 (x 1) 1 và 2 2 , do và

1

2

v x

là !" hàm liên ? và có: nên luôn

3 3

f t  t  t

2 2 3 3

1

t

f t

t



( )

f t

2

L1  trình có hai  !M 1, 1

2

x x 

3 2x  9x  3  (4x 2) 1  x x   1 0

D = R

3 2x  9x  3   (4x 2) 1  x x  1

2u u u 3 2v v v 3 f u( ) f v( )

Trong 2M 2 ' Là hàm )* liên ? và có:

f t  t t t  tR

suy ra là hàm   8

2 2

2

3

t

t

Do 2M f u( )  f v( )   u v 3x   2x 1 1

5

x

  

L1  trình có  !M 1

5

x 

và 4 5

f u  f v

 pháp : hàm:

BWM sin 0

x x







 



Ta  s inx  1, cosx  1 không là  ! A  trình

; trình (3)  1975 1975

2009

1

f t t

t

Ta có 1974 nên f(t) là hàm   8

2010

2009

t

Do 2M ( ) ( ) sin cos

4

2

2

x

u1 xét: L' bài này ta không 3 4 5  pháp thông 6 vì  9

theo cách sau

2

L'  %  2  trình  cho  

2, và v 2

x

log u u  2u log v v  2v ( )f u  f v( )

Trong 2M 2 ' Là hàm )* liên ? và có:

2

f t  t t t t 0

suy ra là hàm   8 trên

t

x

L1  trình có  !M x  1

Bài 5: x x x 1 2 (5)

) 1 x ( 2

xét

/tBM D = 

; trình (5)   2x2x  2x1  x2  2 x  1  2x1  x  1  2x2x  x2  x

B7 2 ta $

1 và

Xét hàm )* ( ) 2t víi t

t f(t) là hàm

t

’( ) 2 ln2 1 0

x - 1 = x2 - x x2 - 2x + 1 = 0 x = 1

f u f v

L1  trình có  !M x 1

2

2

x x

 

BW : Dx x/  

Phng trình U thành: log2u v u log2u log2v v u u log2u v log2v (6’)

Xét hàm )* f t( ) t log2t víi t >0

f(t) là hàm

1

’( ) 1 0 0

.ln 2

t

u = v u- v =0

f u f v

L1  trình có  !M x 1, x 2

3/ "# $%"# &'( hàm &\ #121 07, 3)45"# trình:

)trong 2 uu x( )

T])45"# pháp:

f x g x f u( ) g u( )

B' 2: Xét hàm )* y f x( )và yg x( ) trên D

*Tính ' , xét > và ,

( )

f x g x'( ) f x'( ) g x'( )

và trên D

( )

y f x yg x( )

*Tìm x0 sao cho f x( )0 g x( )0 l7 tìm u0 sao cho ( )f u0  f u( ))

0

f x g x  x x xD f u( ) g u( )  u u0 , xD

0

f x g x  x x xD f u( ) g u( )  u u0 , xD

b) Ví $% áp $%"#B

Z4 các   trình sau:

Bài 1: x  6  x  2  4  x  3

BWM 2  x 4

Xét hàm )*: f x( )  x  6 x  2 4 x víi x D

: có: f(3) = 3 do 2   trình có  ! x thì x(3;)

3;4

Bài 2: 3 3 2 5 2 6

x



x



Ta

Do 2 f(x) 6 = f(1)  x 1

3 1;

2

Bài 3: log2 x 1 log3 x 9 1 (3)

BW: x>-1

Các hàm )* f x1( )log2 x1 và f x2( )log3 x9 là các hàm

%4 ( 1; )nên hàm )* f x( )log2 x 1 log3 x9 là hàm

%4 ( 1; )

b7 khác: f(0) 1 1 (3)  f x( ) f(0) x 0

L1 1  ! A   trình là: S =0; 

Bài 4: 2.2x 3.3x 6x 1 (4)

\  trình (4)  2.2 3.3 1 6 2 1 3 1 1 1 (4’)

Xét hàm )*M ( ) 2 1 3 1 1 là hàm

f x        

b7 khác: f(2) 1 1 (4’)  f x( ) f(0) x 2

L1 1  ! A   trình là: S = ; 2

Bài 5: x 1 3 5x 7 4 7x 5 513x 7 8 (5)

BWM 5 7

7

x f x( ) x 1 3 5x 7 4 7x 5 513x7

Ta có:

f x

( )

f x

7



L1 1  ! A   trình là: S = 5;3

7



 

uu x vv x

T])45"# pháp:

f u  f v

\' 2: Xét hàm )* y f t( ) trên D

*Tính y' và xét > y’

là hàm )*   trên D

( )

y f t

f u g v  u v

f u g v  u v

b)Ví $% áp $%"#B

Z4 các   trình sau:

3 2x  9x  3  (4x 2) 1  x x   1 0

D = R

\  trình (1)  3 2x  9x2  3  (4x 2) 1  x x2  1

2u u u 3 2v v v 3 f u( ) f v( )

Trong 2M 2 ' Là hàm )* liên ? và có:

f t  t t t  tR

suy ra là hàm   8

2 2

2

3

t

t

Do 2M f u( )  f v( )   u v 3x   2x 1 1

5

x

  

L1 1  ! A   trình: 1;

5

 

Bài 2: 4 2x1 (x2   x 1) x36x2 15x14 (2)

2x1 (2 x1) 3(x2) 3x6

2x 1 3 2x 1 (x2) 3(x2)

( ) 3

'( )3  3 0,  

Khi 2 : (*)  ( 2 1)f x  f x( 2) 2x  1 x 2

x

L1   trình  ! R x  

Bài 3: 3 2(x 1) 13x x2 4x3 (3)

/tBM D = 1; 

3 x  2(x 1) 3x x 2x 1 2( 1) 1 ( 1) 1 2

3 x  2(x 1) 3x  (x1) Xét hàm )*M f t( )3t1t2, ta cĩ: 1

'( )3 ln 3 2t  0,  0

L1 trên D: (*)  ( 2(f x1)) f x(  1) 2(x  1) x 1

2(x 1) (x1) ,(do x 1) 2

L1  ! A   trình là: x = 1 và x 3. 

4/ Bài ,?3 ,R @>VJ"B

Giải các phương trình sau :

7) ( 2  3 )x  ( 2  3 )x  2x 8)

x log ) x 1 (

2

tan

osx=2 với - ;

2 2

x

5 2 8 17 10



13) 3 21 2  1 3  1   2  0 (HSG Huế - 2002 )

x x x

14)2009x( x2  1 x)  1 (HSG Nghệ An -2010)

5 2 2

2 5

16) 2 2

2 3

2 2 3

17) 2 2 3 2 2 3 4 4 lBC W* D-2010).

4 x x 2x 4  x 2x  x

Giải các bất phương trình sau:

4x  1 4x   1 1

x  x  x   x

x   x

2 3

2 2 3

V/ BÀI

L  )= >? Q!"# $%"# &'( hàm trong các bài toán #121 3)45"# trình, 07, 3)45"# trình” có   K4.

- Giáo viên 4 ' các em xoáy sâu vào  tâm A bài  tùy vào + bài, + " dung mà áp >? G  pháp 4 !" cách phù $

-

- Giáo viên

*

- EH cung  thêm tài #  liên quan ' môn 

- bU #' e >S #  thi :  cao F cho  sinh

VI/ ;f Mg

Hàm )* có   9 >? và !" trong các 9 >? 2 là )= >? 4

 trình và   trình

các bài toán ? 3 e 6 @  ra cho ! >: !" )* bài 1 ' các !9 " khác nhau

Tuy 1 do  nguyên nhân khác nhau, khách quan và A quan nên  tài không tránh

e   và " e nhà 6

VII/

1 ; pháp 9 >? : hàm 3 4 các bài toán #  thi : D C‚C CÔNG THÁI (Biên ):m

2 Sách giáo khoa: B: )* và 4 tích 11-12

3 Bài 4 trong tâm ôn #  môn toán – /{‡ ;Cˆ‰Z

4 b" )*  #  trên !:

e  $ cách 4

Trong sách giáo khoa : )* 10, 11, 12 f nêu !" )* cách 4  trình,   trình !" cách  4 L  )= >? : hàm A f %4 sát...

e d hàm )* 9 >? : hàm   4 toán )  

 cao F H I   4 tốn có )Q 9 >? A : hàm   B7  9 >? : hàm 4 toán   trình, ... G

8! H I có khơng tốn 4 5  pháp hàm )* mà  H 

trong toán #121 3)45"# trình, 07, 3)45"# trình? ??.

II/ 9   : KHI 9 <