Chuyên đề Hình học phẳng: Các bài tập & hướng dẫn & kết quả

Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho.. Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net..[r]

CHUYấN

Đõy là những bài toỏn trong hỡnh học tọa độ phẳng chỳng ta cú thể gặp hoặc chưa gặp Chỳng cú thể chưa phải là những cỏch giải hoàn hảo và duy nhất, nhưng chỳng cho một cỏi nhỡn khỏi quỏt về cỏc dạng toỏn Mong đọc giả đọc và đúng gúp ý kiến.

CÁC BÀI

Bài 1: Trong #$% &'(!" %)* +, Oxy cho hỡnh 0'2 !'3% ABCD cú tõm ( ; 0)1 78!" %'(!" AB

2

I

cú &'79!" trỡnh: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành +, +CD# A õm Tỡm %)* +, cỏc +F!' 0G* hỡnh 0'2 !'3% +46

( , )

2

Suy

2 2

Do

2

2

( 2; 0), (2; 2)

2

0

x y

x

y

 





 



Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3

2

và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3 x  y 8 0 Tìm tọa độ đỉnh C.

Ta có: AB = 2, trung điểm M ( 5; 5) và ($)  &@  AB cú A$%  trỡnh:

SABC= d(C, AB).AB = 1 d(C, AB)=

2

3

2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC Suy ra d(G, AB)= 1

2 d(G, AB)= = t = 1 hoặc t = 2 Suy ra: G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)

2

t t  1

2 

Mà CM3GMnờn C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1)

Bài 3: Trong #$% &'(!" Oxy cho cỏc +CD# A 1;0 , B  2; 4 , C 1; 4 , D 3;5  

và +78!" %'(!" d : 3x  y 5 0 Tỡm +CD# M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD

cú JCL! tớch NO!" nhau.

C DE M x; y  d 3x  y 5 0

   

AB

CD

AB 5, CD 17

AB 3; 4 n 4;3 PT AB : 4x 3y 4 0

CD 4;1 n 1; 4 PT CD : x 4y 17 0

3x y 5 0

4x 3y 4 x 4y 17

3x y 5 0

3x 7y 21 0

  





  





7

M ; 2 , M 9; 32 3

3x y 5 0

5x y 13 0











Bài 4: Cho hỡnh tam giỏc ABC cú JCL! tớch NO!" 2 CQ% A(1;0), B(0;2) và trung +CD# I

0G* AC !O# trờn +78!" %'(!" y = x Tỡm % V +, +F!' C

2x  y 2 0

DoI d :y x I t t ;

I là trung C(2t1;2t).Theo bài ra: ( , ) 2

2

1















 3 4 0

t t

K (ú ta cú 2 (83 C(-1;0) M C( ) &C món

3

8

; 3 5

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(2;5), đỉnh C nằm trên

đường thẳng x40, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x  y 2 0.

Tính diện tích tam giác ABC.

Vì G nằm trên đường thẳng x  y20 nên G có tọa độ G(t;2t) Khi đó AG(t2;3t), AB(1;1) Vậy

2

1

2

2

S

2

3

2t

Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 13,5:34,5 Vậy 4,5, suy ra hoặc

2

3 2





t

6



t

3





) (

C y y y

Với G1(6;4) ta có C1 (15;9), với G2(3;1)ta có C2 (12;18)

Bài 6: Trong #$% &'(!" oxy cho ABC có A(2;1)

78!" cao qua +F!' B có &'79!" trình x- 3y - 7 = 0 6 78!" trung %P/Q! qua +F!' C

có &'79!" trình x + y +1 = 0 Xác +\!' %)* +, B và C Tính JCL! tích  ABC.

Trong 3M& A@  oxy cho ABC có A(2;1)

O$)  cao qua (P B có A$%  trình x- 3y - 7 = 0 O$)  trung &!"Q qua (P C có

M

C B

H

A

+AC qua A và vuông góc V BH do ( có VTPT làn(3;1) AC có A$%  trình 3x + y - 7 = 0

AC CM

+ 2 1 ; M &!1 CM ta ($7

;

C 2 2 2 1 2 1 0 ta ($7 B(-2 ;-3)

B B







Tính B2 tích  ABC

+

14

5

x

x y y

y

 





… Tính ($7 BH = 8 10 ; AC = 2

2 tích S = 1 1 8 10 ( (B&

2 AC BH 2 5 

Bài 7: Trong

$%  trình ($)  trung &#Z [ BC, ($)  trung &!"Q CC’ -6 -$7& là

x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tìm

Gäi C = (c; 2c+3) vµ I = (m; 6-m) lµ trung ®iÓm cña BC

Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C’ là trung điểm của AB nên: ' 2 5 11 2; 2 'nên

C      CC

m

6 6

I

   Phương trình BC: 3x – 3y + 23=0

Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;

x y

C

x y

  

 

 Tọa độ của B = 19 4;

3 3

Bài 8: Trong #$% &'(!" A]C 'L %)* +, Oxy cho +78!" trũn hai +78!" trũn

cựng +C qua M(1; 0)

( ) :C x  y – 2 – 2 x y  1  0, 2 2

( ') :C x  y 4 – 5 x  0

`CQ% &'79!"%1!' +78!" %'(!" qua M 0a% hai +78!" trũn ( ), ( ')C C bc! b7d% %VC A, B

sao cho MA= 2MB.

, ($)  &@  (d) qua M

1, ' 3

R R 

a x b y  ax by  a a b  +

MA MB IA IH  I A I H  2  2

1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]

9

4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35

36

a b

a b





d &e" b0 nờn 0 1 6

6

a b

a

 



 a83 tra (f! +2 IAIH #g thay vào (*) ta cú hai ($)  &@  &C món

Bài 9: Trong 'L %)* +, Oxy, cho hai +78!" trũn cú &'79!" trỡnh   2 2

C x y  y 

và   2 2 e3& &'79!" trỡnh %CQ& %P/Q! chung 0G* và

   C1 :I1 0; 2 ,R13; C2 :I23; 4 ,  R23

là

   C1 , C2 :AxBy C 0A2B20

là

;

;

 



K (1) và (2) suy ra A2B M 3 2

2



Trường hợp 1: A2B

50 B      1 A 2 C 2 3 5 : 2x  y 2 3 50

Trường hợp 2: 3 2 Thay vào (1) ($7

2



3

A B  A B  A A  B  y   x y 

Bài 10: Trong #$% &'(!" % V +, Oxy, cho hình 0'2 !'3% ABCD có &'79!" trình

+78!" %'(!" AB: x – 2y + 1 = 0, &'79!" trình +78!" %'(!" BD: x – 7y + 14 = 0,

+78!" %'(!" AC +C qua M(2; 1) Tìm % V +, các +F!' 0G* hình 0'2 !'3%6

Do B là giao

21

;

5

x

x y

B

x y

y

 





(với a 2 + b 2 > 0)

(1; 2); (1; 7); ( ; )

( ta có: cosn AB,n BD  cosn AC,n AB

3

2

7

a

 





  

 XV a = - b 50 a = 1 b = - 1 Khi ( $%  trình AC: x – y – 1 = 0, 

A

7

;

2

x

x y

I

x y

y

 



  



- XV b = - 7a -[ vì AC không l& BD)

Bài 11:Tam giác cân ABC có +áy BC !O# trên +78!" %'(!" : 2x – 5y + 1 = 0, 0V!' bên AB !O# trên +78!" %'(!" : 12x – y – 23 = 0 `CQ% ph79ng trình +78!" %'(!" AC NCQ% O!"

nó +i qua +CD# (3;1)

Ph$%ng trình 6 tìm là : 8x + 9y – 33 = 0

O$)  &@  AC (i qua (83 (3 ; 1) nên có ph$%ng trình :

a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) Góc



5



9a2 + 100ab – 96b2 = 0

8

9

 







 

 m23 a = -12b cho ta ($)  &@  song song V AB ( vỡ (83 ( 3 ; 1) khụng &!1 (AB) nờn khụng AC là

[ tam giỏc

Xj" cũn -[ : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9

Bài 12: Trong #$% &'(!" A]C 'L % V +, Oxy, cho +78!" trũn (C) : 2 2

x y 2x 8y 8  0

`CQ% &'79!" trỡnh +78!" %'(!" song song A]C +78!" %'(!" d: 3x+y-2=0 và 0a%

+78!" trũn theo #,% dõy cung cú +, dài NO!" 6.

O$)  trũn (C) cú tõm I(-1;4), bỏn kớnh R=5

0 A$%  trỡnh ($)  &@  6 tỡm là :3 x  y c 0 (c0) (vỡ // V ($)  &@  3x+y-2=0)

Vỡ ($)  &@  l& ($)  trũn theo 31& dõy cung cú (1 dài Ik  6

Suy ra: +C  cỏch &K tõm I (Q  Ik  2 2

5 3 4

c c

d I

c

  

Xj" A$%  trỡnh ($)  trũn 6 tỡm là: 3x y 4 10 1 0  M 3x y 4 10 1 0 

Bài 13: `CQ% ph79ng trỡnh cỏc 0V!' 0G* tam giỏc ABC NCQ% B(2; -1), +78!" cao và +78!"

phõn giỏc trong qua +F!' A, C bc! l7d% là : (d 1 ) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d 2 ) : x + 2y – 5 = 0



PT cạnh BC đi qua B(2 ; -1) và nhận VTCP u1 4;3 của (d 2 ) làm VTPT

(BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0

+) Tọa độ điểm C là nghiệm của HPT :

+) Đường thẳng j đi qua B và vuông góc với (d 2 ) có VTPT là u2 2; 1 

j có PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0

+) Tọa độ giao điểm H của j và (d 2 ) là nghiệm của HPT :

2x y 5 0 x 3 H  3;1

+) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d 2 ) thì B’ thuộc AC và H là trung điểm của BB’ nên :

 

B ' 4;3





+) Đường thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B ’ (4 ; 3) nên có PT : y - 3 = 0

+) Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT :

y 3 0 x 5 A ( 5;3)

+) Đường thẳng qua AB có VTCP AB7; 4 , nên có PT :

Bài 14: Trong #$% &'(!" A]C 'L %)* +, Oxy Cho +78!" tròn (C) :x2y24x2y10

và +78!" %'(!" d : x  y 1  0 Tìm !'2!" +CD# M %'P,0 +78!" %'(!" d sao cho

%k +CD# M lm +7d0 +Q! (C) hai %CQ& %P/Q! 'd& A]C nhau góc 90 0

+ (C) có tâm I(2 , 1) và bán kính R = 6

+ A MˆB  900 (A,B là các &QA (83 ) suy ra :MI  MA 2  R 2  12

Xj" M &!1 ($)  tròn tâm I bán kính R/ = 12 và M

   





























































2 1

2 2

1

2 0

1

12 1

y

x y

x y

x

y x

Bài 15: Trong #$% &'(!" %)* +, Oxy cho +CD# A(1;1) và +78!" %'(!" : 2x + 3y + 4 = 0 

Tìm %)* +, +CD# B %'P,0 +78!" %'(!" sao cho +78!" %'(!" AB và 'd& A]C  

nhau góc 45 0

có A$%  trình tham D9 và có vtcp

2 2

 



   



*A &!1  A(1 3 ; 2 2 ) t   t

*Ta có (AB; )=45 0 os( ; ) 1

2

2

AB u

AB u

 



*Các (83 6 tìm là 1 2

Bài 16: Trong 3M& A@  V 2 &#s &[ (1 Oxy cho cho hai ($)  &@  d1:2x  y50

d2: 3x +6y – 7 = 0 hjA A$%  trình ($)  &@  ( qua (83 P( 2; -1) sao cho

($)  &@  ( l& hai ($)  &@  d1 và d2 &[ ra 31& tam giác cân có (P là giao (83

1, d2

Cách 1: d1 có H&% P A$%  a1(2;1); d2 có H&% P A$%  a2(3;6)

Ta có: a1.a2 2.31.60 nên d1d2 và d1 l& d2 &[ 31& (83 I khác P 0 d là ($)  &@  ( qua P( 2; -1) có A$%  trình: d:A(x2)B(y1)0AxBy2AB0

d l& d1, d2 &[ ra 31& tam giác cân có (P I khi và P khi d &[ V d1 ( M d2) 31& góc 450



































A 3 B

B 3 A 0 B 3 AB 8 A 3 45 cos )

1 ( 2 B

A

B A

2 2

2

2

mQ! A = 3B ta có ($)  &@  d: xy50

mQ! B = -3A ta có ($)  &@  d:x y50

Xj" qua P có hai ($)  &@  &C mãn yêu 6! bài toán d: xy50

0 5

y

x

:

Cách 2:

1, d2





















































) ( 0 8 y x

) ( 0 22 y x 7

y 6 x 5 y x 3 6

3

7 y 6 x )

1

(

2

5

y

x

2

1 2

2 2

2

mQ! d // 1 thì d có A$%  trình x9yc0

Do P d nên  69c0c15d:x y50

mQ! d // 2 thì d có A$%  trình x yc0

Do P d nên  183c0c15d: xy50

Xj" qua P có hai ($)  &@  &C mãn yêu 6! bài toán d: xy50

0 5

y

x

:

Bài 17: Trong 3M& A@  V 2 &[ (1 Oxy, cho ($)  tròn (C) có A$%  trình: x2y24 3x 4 0 Tia Oy l& (C) &[ A hjA A$%  trình ($)  tròn (C’), bán kính R’ = 2 và &QA xúc ngoài

V (C) &[ A

Pt ($)  &@  IA : 2 3 , => I’( ),

y t

 





 

 I'IA 2 3 ; 2t t2

1

2

AI  I A  t I

 

Xj" ($)  tròn (C’):  2  2

x  y 

Bài 18: Trong mp (Oxy) cho +78ng th(ng () có ph79ng trình: x – 2y – 2 = 0 và hai +iDm

A (-1;2); B (3;4) Tìm +iDm M () sao cho 2MA 2 + MB 2 có giá tr \ nho nhpt.

Ta có: M  M(2t2; ),t AM (2t3;t2),BM (2t1;t4)

f t  t  t

2 '( ) 30 4

15

f t  t   t

Min f(t) = 2 => M

15

f  

;

Bài 19:

(C) : I(1; 3), R= 2, A, B ( )C , M là trung (83 AB => IM AB O$)  &@  d 6 tìm là ( &@  AB

d ( qua M có H&% pháp &!"Q là IM=> d: x + y - 6 =0

O &@  &QA &!"Q có B[  : y = - x + m  x + y – m =0 (d’)

d’ &QA xúc V (C)d I d( ; ') R 2

4 2 2

4 2 2

m

m

  

 

 



Pt &QA &!"Q : (4 2 2) 0

(4 2 2) 0

x y

x y





Bài 20: Trong #$% &'(!" A]C 'L %)* +, Oxy, cho +78!" tròn (C): x 2 + y 2 - 2x - 2my + m 2 - 24 = 0

có tâm I và +78!" %'(!" : mx + 4y = 0 Tìm m NCQ% +78!" %'(!"  0a% +78!" tròn (C) %VC hai +CD# phân NCL% A,B %'o* mãn JCL! tích tam giác IAB NO!" 12.

O$)  tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5

Ta có IH là

( , )

d I



2

25

m

2 tích tam giác IAB là SIAB 122SIAH 12

3

3

m

m

 





  



Bài 21: Trong #$% &'(!" A]C 'L %)* +, Oxy, cho tam giác ABC có &'79!" trình 0V!' AB:

x - y - 2 = 0, &'79!" trình 0V!' AC: x + 2y - 5 = 0

CQ% %)!" tâm 0G* tam giác G(3; 2) `CQ% &'79!" trình 0V!' BC.

 A(3; 1)

- - 2 0

2 - 5 0

x y







0 B(b; b- 2)  AB, C(5- 2c; c)  AC



    



5 2

b c





 



( 4; 1)

u  BC    $%  trình [ BC là: x - 4y + 7 = 0

Bài 22: XQ& A$%  trình ($)  tròn ( qua hai (83 A(2; 5), B(4;1) và &QA xúc V ($)  &@ 

có A$%  trình 3x – y + 9 = 0

0 I a b   ; là tâm ($)  tròn ta có 2

 

2

10







&Q vào (2) ta có

I

 H

5

`V     2 2

Bài 23:

`CQ% &'79!" trỡnh +78!" trũn (C') tõm M(5, 1) NCQ% (C') 0a% (C) %VC cỏc +CD# A, B

sao cho AB 3.

$%  trỡnh ($)  trũn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 cú tõm I(1, –2) R 3

Ta cú

2

3 2

AB BH

Cú 2 T trớ cho AB (9 :;  qua tõm I

Ta cú:

2

Ta cú:   2 2

MI 51  1 2 5

2

7 2

3 5 HI MI

4

52 4

49 4

3 MH AH

MA

4

172 4

169 4

3 ' MH ' H ' A ' MA

2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43

Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1) 2 + (y+2) 2 = 9

và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A

mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm)

sao cho tam giác ABC vuông.

Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC tới

đường tròn và AB AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA3 2



























7

5 6

1 2

3

2

1

m

m m

m

Bài 25: Trong #$% &'(!" % V +, Oxy cho hai +78!" %'(!" (d 1 ) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d 2 ): 4x + 3y - 12 = 0 Tỡm % V +, tõm và bỏn kớnh +78!" trũn !,C %CQ& tam giỏc cú 3 0V!' !O# trờn (d 1 ), (d 2 ), %s0 Oy.

0 A là giao (83 d1 và d2 ta cú A(3 ;0)

0 B là giao (83 d1V &#s Oy ta cú B(0 ; - 4)

0 BI là ($)  phân giác trong góc B V I &!1 OA khi ( ta có

I(4/3 ; 0), R = 4/3

Bài 26: Trong 3M& A@  V 2 &[ ( 1 Oxy cho (83 C(2;-5 ) và ($)  &@  : 3x4y 4 0

Tìm trên  hai (83 A và B (9 :;  nhau qua I(2;5/2) sao cho B2 tích tam giác ABC

Ik 

)C ( ;3 4) (4 ;16 3 ) Khi +ó JCL! tích tam giác ABC là

A a  B a 

1 ( ) 3 .

2

ABC

S  AB d C   AB

Theo "Ct %'CQ% ta có

2

0 2

a a

a







`3/ hai +CD# 0c! tìm là A(0;1) và B(4;4).

Bài 27: Trong #$% &'(!" %)* +, Oxy cho hình 0'2 !'3% ABCD có tâm ( ; 0)1

2

I

78!" %'(!" AB có &'79!" trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành +, +CD# A âm Tìm %)* +, các +F!' 0G* hình 0'2 !'3% +46

AD =  AB = 2  BD = 5

5 ( , )

2

+) PT ($)  tròn Oa BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4

+)

2 2

2

2 ( )

( 2; 0), (2; 2)

2

2 2 0

0

x y

x

x y

y

  





 



(3; 0), ( 1; 2)

Bài 28: Trong #$% &'(!" Oxy cho tam giác ABC A]C A(1; -2), +78!" cao CH x:   y 1 0,

phân giác trong BN: 2x  y 5 0.Tìm % V +, các +F!' B,C và tính JCL! tích tam giác ABC

Do ABCH nên AB: x  y 1 0

ta có (x; y)=(-4; 3).

1 0

x y

x y

  



   



Do ABBN B( 4;3)

+ he" A’ (9 :;  A qua BN thì A'BC

- $%  trình ($)  &@  (d) qua A và vuông góc V BN là (d): x2y 5 0 0 I ( )d BN

Suy ra: I(-1; 3)

x y

x y

  



   

+ $%  trình BC: 7x y 250 7 25 0

1 0

x y

x y



 Suy ra: ( 13; 9)

C  

Bài 10: Trong #$% &''( !&# 34; % V +, Oxy, cho hình 0''2 !''3% ABCD có &''79 !&# 34; trình

+78 !&# 34; %''( !&# 34; AB: x – 2y + = 0, &''79 !&# 34; trình +78 !&# 34;...

Bài 15: Trong #$% &''( !&# 34; %)* +, Oxy cho +CD# A(1;1) +78 !&# 34; %''( !&# 34; : 2x + 3y + = 

Tìm %)* +, +CD# B %''P,0 +78 !&# 34; %''( !&# 34; cho +78 !&# 34; %''( !&# 34;... l& BD)

Bài 11:Tam giác cân ABC có +áy BC !O# +78 !&# 34; %''( !&# 34; : 2x – 5y + = 0, 0V!'' bên AB !O# +78 !&# 34; %''( !&# 34; : 12x – y – 23 = `CQ% ph79ng trình +78 !&# 34;