Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình vô tỷ

* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nế[r]

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A Phương trình - bất phương trình chứa căn thức

I Phương pháp biến đổi tương đương

1 Kiến thức cần nhớ:

 

2 1 2 1

2 1 2 1

1

n

n



2 Các dạng cơ bản:

* Dạng 1:       (Không cần đặt điều kiện )

0

g x





* Dạng 2: f x g x  xét 2 trường hợp:

 

0 0

g x

f x







( ) 0

g x







* Dạng 3:      

( ) 0 0

f x





Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai

(ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g x 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trìnhbất phương trình về dạng quen thuộc



trình

* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm

số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác

* Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3

và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác

“Cũng như không ?!”

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x  1  x2  3 x  1  0(ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phương trình thành: 2x   1 x2 3x1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:

ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:

0 2 8 11

4  x  x  x  

x

(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:   2   2, ĐK:

4 x1  2x10 1 3 2 x

2

3





x

2

x 

âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 0   2

b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x  * f x g x 

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x2 6x   1 x 2 0 1 

Giải

bất phương trình tương đương với hệ:

 1  2x2 6x  1 x 2

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

2

2

2

2 0

x x





 

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2mx  1 m 2có nghiêm

Giải

* Nếu m < 2  phương trình vô nghiệm.

* Nếu m  2  phương trình  x22mxm2+4m3=0 Phương trình này có =2m24m+3>0 với mọi m.

Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiêm.

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx  3 x 1 có hai nghiệm phân biệt

Giải:

2

1

x PT

 





Phương trình đã cho có 2 nghiệm (*) có

2 nghiệm x  1

2

2

4

m







Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.

+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x   1 t 0

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx 2 2x1, (1)

2

x

pt

 





2



0

1

m

S





  





 





Chú ý : Cách 2: đặt 1, khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng thì

2

2



có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0

2

3 Các kỹ năng:

a Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x4 (ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5x 1 x 1 2x4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải

Ví dụ 2: Giải phương trình: x x  1 x x 22 x2  1

Giải

1

2 * 0

x

x

x





  



 



2

2

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9

8

x

(Hãy tìm thêm cách giải khác)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2x2 mx  x2 4 0 có nghiệm

2 1,2

16 2



được |m|  4.

b Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:

- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích

Ví dụ 4: Giải phương trình: x2  x 7 7

HD:

 Bình phương hai vế

 Dùng hằng đẳng thức a2 b2=0

2

x x 

2

x

x x

 

ĐS: a 1x<8, b ; 1  2 3; 

2

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai

nghiệm thực phân biệt: x22x 8 m x 2.(1)

Giải: ĐK: x2, do m > 0.

























) 2 ( , 32 6

2 2

4

m x

x

x x

m x

x

2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2

Thật vậy: đặt f x  x36x232,x2, ta có f(2) = 0, lim   , '  3 2 12 0, 2

nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến trên khoảng đó suy ra m0 phương trình (2) luôn có

nghiệm x0 mà 2 < x0 < 

Một số dạng chuyển thành tích:

- Dạng: a c x-  b d- 

m



   

Ta biến đổi thành: m ax b(   cx d )ax b   cx d 

5

x

x  x  

- Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0

Ví dụ: Giải phương trình: 3x 1 3 x  2 1 3x2 3x2 ĐS: x=0, x=1

Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 x 1 4x3 x2 ĐS: x=0, x=1.

- Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0

Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x2 4x3 ĐS: x=0, x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: x3x2 3x 3 2x x2  3 2x2 2x ĐS: x=0.

- Dạng: a 3b3  (ab)(a 2 +ab+b 2 )=0  a=b

2 3 9 x x2 2x3 3x x2

c Chuyển về dạng: A1 + A2 + + An = 0 với A i  0 1,  i n khi đó pt tương đương với:

.

1 0 2 0  n 0

Ví dụ 1: Giải phương trình:4x2 3x 3 4x x 3 2 2x1

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

HD: Phương trình tương đương 4x2 4x x  3 x 3 1 2 2  x 1 2x 1 0 ĐS: x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x y 2  y 2 4x2 y

Giải

2

d Sử dụng lập phương:

Với dạng tổng quát 3a 3b 3c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức

3

3

3







nghiệm của phương trình

Ví dụ: Giải bất phương trình 3x 1 3 x 2 32x3 ĐS: 1; 2; 3

2

x x x

e Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:

- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:   (ĐH Khối A2004)

 

2

x

Giải

ĐK: x4  1  2x2 16     x 3 7 x 2x2 1610 2 x

 2   2

4

5

x

x x

x

x

 

 











Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x10 34

- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a x3 x2  4 x2 9 b 51 2 2 1

1

x x x





6

Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a x2 x 1 x x  1 x2  x 0

HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2x x2 x 4 x2 x x34x26x 4 0

b 4x2 5x 1 2 x2   x 1 9x3 HD: Nhân lượng liên hợp

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1 2 x 1 2 x  2 x2

16

A1, A2 0

Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3  x  x 2 (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy

đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức)

Bài 5: Giải phương trình 2x 6x2   1 x 1

Bài 6: Giải các phương trình sau:

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

2

4

x

4

x

x  x  

7 5x 3 3x  1 x 1 (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0)

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x  m x m

Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 4x x 2  x m

a Có nghiệm

b Có hai nghiệm phân biệt

Bài 9: Giải các bất phương trình sau:

2

3

x x

b x23x 2 x26x 5 2x29x7

c x2  x 2 x2 2x 3 x24x5

Bài 10: Giải các phương trình:

3

x

x



x

e 2x x2   x 1 4 3x 1 2x2 2x6

II Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: Fn f x  0, đặt tn f x  (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t  0).

Ví dụ 1: Giải các phương trình: a x2  x2 11 31 b x5 2 x3 x23x

2

x 

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x2m 5 2 x x 2 m2

Giải

Khi đó phương trình trở thành t2 2mt m 2  5 0 *   t m 5 Phương trình đã cho có nghiệm khi (*)

có nghiệm t  0; 6 hay 00 m m 55 66 55 m m 66 55



Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: m x( 22x  2 1) x2x0, (1) có nghiệmx 0;1 3

Giải: Đặt t x22x 2 x2 2x t 2 2 Nếu x   0 ; 1  3  thì t  x12 1 1;2

BPT trở thành: m t   1 2 t2 0, 2 

1

t

m t

1

t

f t

t







2 3

m

Dạng 2:

m f x  g x  n f x g x n f x g x  p t f x  g x 

vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t.

Ví dụ 1: Cho phương trình 3 x 6  x m 3x6x

a Giải phương trình khi m=3.

b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

Giải

Đặt: t 3 x 6   x t2 9 2 3 x6x  * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Phương trình đã cho trở thành t22t9=2m (1).

a Với m=3 (1)  t22t3  t =3 Thay vào (*) ta được x=3, x=6.

b PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t  3;3 2 Xét hàm số f t t22t9 với

3;3 2

(1) có nghiệm t  3;3 2 khi và chỉ khi   6 2m 9 6 2 6 2 92  m 3

Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:

Ví dụ 2: Giải phương trình x335x3x335x330

3

3

t

t



Ví dụ 3: Giải bất phương trình 7x 7 7x 6 2 49x2 7x42 181 14  x

HD: Đặt t 7x 7 7x 6 0  … 6 6

7 x

Dạng 3:

, trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k.

TH1: Kiểm tra nghiệm với g x 0

TH2: Giả sử g x 0 chia hai vế phương trình cho g k x và đặt  

 

n f x t

g x



Ví dụ 1: Giải phương trình 5 x3 1 2x2 2

ĐK: x 1 5 x3  1 2x2 25 x1 x2   x 1 2 x2   x 1 2x1

1

x



 

2

2

2

t

t







   

 



 Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.

2

2

x 

Ví dụ 2: Giải phương trình 5x2 14x 9 x2  x 20 5 x1

Giải

ĐK: x5 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1 5x2 14x 9 5 x 1 x2  x 20

Bình phương hai vế: 2x24x53x45 x2 4x5 x4

4

x



2

2

5

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 24x2 1

HD: ĐK x1 Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4x21 đặt

1

x

t



3

m

  

Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để).

Ví dụ: Giải phương trình 2 1 x x2 2x 1 x2 2x1

HD

Đặt t x2 2x 1 x  1 6

(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!)

Bài tập

Giải các phương trình sau:



x

2

x 

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác).

Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này

Lưu ý vài tính chất cơ bản:

2

1

1 tan

cos

a

a

2

1

1 cot

sin

a

a

Ví dụ 1: Giải phương trình 1 1x2 2x2

Giải

ĐK x 1 Đặt xcos ,t t 0; Khi đó phương trình trở thành

2

t

2

x t   t  

Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x  a Ta có thể nghĩ đến cách đặt   sin , ;

2 2

u x a t t   

hoặc đặt u x acos ,t t 0;

* Nếu u x  0;a ta có thể đặt   sin ,2 0;

2

HD: Đặt xcos ,t t 0; dưa về phương trình lượng giác sintcost1 sin cos t t 2 sin cost t Để gải phương trình này ta lại đặt usintcos ,t u  2

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

4 2

x  x  

Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình).

* Khi gặp phương trình có dạng F f x  ,n a f x ,m b f x   0

Đặt un a f x v , m b f x  Khi đó ta được hệ phương trình sau:  , 0 Giải hệ này tìm u, v

F u v







rồi ta lại tìm x Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình un a f x  hoặc vm b f x 

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 6  x 3 3x6x ĐS: x0, x 3

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x 1 3x 3 32, đặt u 3 x1,v 3x3, pt trở thành: 3

3 3

2 2

u v

  







1

,

u  x v x

Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1  x 31  x  acó nghiệm

Đặt u 3 1  x , v 31  x Phương trình trở thành: a u 2 v2 uv 2

u v a





 



TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.

3

u v a

a

 







phương trình có nghiệm khi 0 a 2

* Khi gặp phương trình có dạng f n x  b a af x n  b.

Đặt t f x , yn af x b ta có hệ

n n

  





 



Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3  1 2 23 x1 ĐS: 1, 1 5

2

2

x

Giải

x

2

2

1 1 2 1 1 2

  







Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổi

để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải phương trình 4x27x 1 2 x2 ĐS: 1, 7, 1

x  x  x

Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương.

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải cácbất phương trình sau:

4

x

Bài 3: Giải các phương trình sau:

2

4

x

III Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f u( ) f v  u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì c a;b :

Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì

F c

b a







có nghiệm thuộc (a;b).

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến

(nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x)

đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.

Ví dụ: Giải phương trình: 4x 1 4x2 1 1

2

2

x ' 

2

0

x

f x

Do đó hàm số đồng biến với 1 , nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Thấy là

2

2

x nghiệm của phương trình

Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng

d: y = g(m).

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

x D f x m g m x D f x m

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C )

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x2  x 1 x2  x 1 mcó nghiệm

TXĐ: R

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

Xét hs: y f x  x2  x 1 x2 x 1, Df = R,

'

y

(v.nghiệm)





Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

2

2

x

x

 

 

1 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.

Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập

giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm

giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x  3 m 1, ĐK: x3

1

x

x

'

2

BBT:

1 2

0

4

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: x x  x12 m 5 x 4x có nghiệm

Giải: ĐK: 0 x 4

pt x x x  x x m y f x (x x x12) 5 x 4x

định: D 0; 4

Nhận xét: Hàm số h x x x x12 đồng biến trên D.

Hàm số g x  5 x 4x đồng biến trên D.

Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

f m f

Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 m x21

Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:

2

3 1

x

m x



2

3 1

x y x





