Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn... Cách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xe[r]
Trang 1T h.
uâ n
Th.s ĐỖ MINH TUÂN
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
NAM ĐỊNH, NĂM 2010
http://www.aotrangtb.com
Trang 2T h.
uâ n
Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không còn tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt Một số tài liệu giảng dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó Chắt lọc những tài liệu này, bám sát những đề thi tuyển sinh những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy luyện thi của mình (có tham khảo một số bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp nghé cổng trường Đại học
Tài liệu này gồm 13 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1 Phương trình đại số
2 Phương trình lượng giác
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
4 Hệ phương trình đại số
5 Giải tích tổ hợp
6 Hình phẳng tọa độ
7 Giới hạn
8 Bất đẳng thức
9 Hàm số và đồ thị
10 Hình học không gian tọa độ (Đã chỉnh sửa, chỉ thiếu phần tọa độ hóa hình học không gian)
11 Tích phân và ứng dụng
12 Số phức
13 Hình học không gian cổ điển
Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai, Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về:
Th.s Đỗ Minh Tuân
Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định
Email: xuxutit@gmail.com
Mobile: 0982843882
—————————————
Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!
Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010
Tác giả
Đỗ Minh Tuân
http://www.aotrangtb.com
Trang 3T h.
uâ n
Mục lục
1.1 Lý thuyết về đa thức 9
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 9
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ 10
1.2 Phương trình bậc nhất 10
1.2.1 Phương pháp giải 10
1.2.2 Các ví dụ 10
1.3 Phương trình bậc hai 11
1.3.1 Phương pháp giải 11
1.4 Phương trình bậc 3 15
1.4.1 Tính chất của đa thức 15
1.4.2 Đa thức bậc 3 15
1.4.3 Các ví dụ 16
1.5 Phương trình bậc 4 17
1.5.1 Dạng tổng quát 17
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 18
1.5.3 Các ví dụ 19
1.6 Dấu của đa thức 21
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 21
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát 24
1.6.3 Giải hệ bất phương trình 27
1.7 Bài tập 27
2 Phương trình lượng giác 33 2.1 Các kiến thức cơ bản 33
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác 33
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α 33
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác 34
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác 34
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu 34
2.1.6 Công thức cộng lượng giác 35
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng 35
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc 35
2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x 36
2.1.10 Bài tập 36
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản 37
http://www.aotrangtb.com
Trang 4T h.
s Đ
ỗ M
in h
T uâ
n
2.2.1 Phương trình sin x = m 37
2.2.2 Phương trình cos x = m 37
2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m 37
2.2.4 Các ví dụ 38
2.2.5 Bài tập 39
2.3 Các phương trình lượng giác khác 40
2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c 40
2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos 41
2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác 42
2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos 43
2.3.5 Phân tích thành nhân tử 44
2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức 45
2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp 45
2.3.8 Bài tập 46
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 51 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 51
3.1.1 Kiến thức cần nhớ 51
3.1.2 Các dạng bài tập 51
3.1.3 Các ví dụ 52
3.2 Phương trình chứa căn thức 53
3.2.1 Các dạng bài tập 53
3.2.2 Các ví dụ 54
3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 55
3.3.1 Dạng cơ bản 55
3.3.2 Các ví dụ 55
3.4 Bất phương trình chứa căn thức 55
3.4.1 Dạng cơ bản 55
3.4.2 Các ví dụ 56
3.5 Bài tập 57
4 Hệ phương trình đại số 61 4.1 Hệ phương trình bậc nhất 61
4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 61
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 62
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn 62
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: 63
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: 64
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 64
4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 65
4.4 Hệ đối xứng 67
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: 67
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: 68
4.5 Hệ phương trình tổng quát 71
4.6 Bài tập 73
Trang 5T h.
s Đ
ỗ M
in h
T uâ
n
5.1 Khái quát chung 79
5.2 Kiến thức cơ bản 79
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân 79
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị 80
5.2.3 Công thức nhị thức Newton 80
5.3 Các ví dụ 81
5.4 Bài tập 84
6 Hình phẳng tọa độ 87 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng 87
6.1.1 Kiến thức cơ bản 87
6.1.2 Dạng bài 88
6.2 Đường tròn 93
6.2.1 Kiến thức cơ bản 93
6.2.2 Các dạng bài 96
6.3 Ba đường Conic 103
6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic 103
6.3.2 Elip 103
6.3.3 Hyperbol 109
6.3.4 Parabol 114
6.4 Bài tập 116
7 Giới hạn 128 7.1 Giới hạn dãy số 128
7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn 128
7.1.2 Các ví dụ 129
7.2 Giới hạn hàm số 130
7.2.1 Giới hạn cơ bản 130
7.2.2 Phương pháp tính giới hạn 131
7.2.3 Các ví dụ 131
7.3 Bài tập 134
8 Bất đẳng thức 137 8.1 Các bất đẳng thức cơ bản 137
8.2 Bất đẳng thức Cauchy 140
8.2.1 Tìm min tổng, max của tích 140
8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng 142
8.2.3 Cực trị có điều kiện 146
8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 149
8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 151
8.5 Bài tập 152
9 Hàm số và đồ thị 155 9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 155
9.1.1 Kiến thức cần nhớ 155
9.1.2 Các bước khảo sát hàm số 158
9.1.3 Hàm đa thức 158
9.1.4 Hàm phân thức 160
Trang 6T h.
s Đ
ỗ M
in h
T uâ
n
9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số 161
9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số 161
9.2.2 Cực trị hàm số 162
9.2.3 Các bài toán tiệm cận 165
9.2.4 Củng cố kiến thức 168
9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 170
9.3.1 Kiến thức cơ bản 170
9.3.2 Các bài toán đơn thuần 171
9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số 173
9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số 175
9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên 177
9.3.6 Củng cố kiến thức 179
9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 180
9.4.1 Kiến thức cần nhớ 180
9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M 181
9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M 181
9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng 182
9.4.5 Củng cố kiến thức 183
9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 184
9.5.1 Kiến thức cơ bản 184
9.5.2 Tìm điểm không thuộc mọi đường cong trong họ y = f(x, m) 186
9.6 Sự tương giao 188
9.6.1 Kiến thức cơ bản 188
9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox 189
9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức 191
9.6.4 Củng cố kiến thức 193
9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong 194
9.7.1 Kiến thức cơ bản 194
9.7.2 Các ví dụ 195
9.7.3 Củng cố 198
9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị 199
9.8.1 Kiến thức cơ bản 199
9.8.2 Các ví dụ 199
9.9 Bài tập 202
10 Hình không gian tọa độ 210 10.1 Hệ tọa độ, véc tơ, điểm 210
10.1.1 Hệ tọa độ Đề Các 210
10.2 Phép toán trên véc tơ 210
10.3 Điểm 211
10.3.1 Tích có hướng của 2 véc tơ và ý nghĩa 211
10.3.2 Bài tập 212
10.4 Phương trình mặt phẳng 213
10.4.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 213
10.4.2 Phương pháp xác định mặt phẳng 213
10.4.3 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng 214
10.4.4 Bài tập 214
10.5 Phương trình đường thẳng 214
Trang 7T h.
s Đ
ỗ M
in h
T uâ
n
10.5.1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 215
10.5.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng 216
10.5.3 Một số dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng 216
10.5.4 Bài tập 218
10.6 Góc 220
10.6.1 Kiến thức cơ bản 220
10.6.2 Các ví dụ 220
10.6.3 Bài tập 221
10.7 Khoảng cách 221
10.7.1 Các công thức khoảng cách 221
10.7.2 Các ví dụ 222
10.7.3 Bài tập 223
10.8 Mặt cầu và đường tròn 224
10.8.1 Mặt cầu 224
10.8.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 224
10.8.3 Đường tròn 225
10.8.4 Bài tập 226
10.9 Tọa độ hóa hình học không gian 227
10.9.1 Hình chóp 227
11 Tích phân 229 11.1 Vi phân 229
11.1.1 Định nghĩa 229
11.1.2 Các tính chất 229
11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 229
11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định 230
11.2.1 Định nghĩa 230
11.2.2 Các tính chất 230
11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 231
11.3 Các phương pháp tính tích phân 232
11.3.1 Phép đổi biến số 232
11.3.2 Tích phân từng phần 234
11.3.3 Tích phân hàm phân thức 235
11.4 Tích phân xác định 237
11.5 Ứng dụng của tích phân 238
11.5.1 Tính diện tích 239
11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay 239
11.6 Bài tập 240
12 Số phức 263 12.1 Kiến thức cơ bản 263
12.1.1 Các kiến thức chung 263
12.1.2 Các phép toán trên số phức 263
12.2 Các dạng bài tập 264
12.2.1 Thực hiện các phép toán 264
12.2.2 Khai căn bậc 2 264
12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan 266
12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 267
Trang 8T h.
s Đ
ỗ M
in h
T uâ
n
12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp 267
12.3 Bài tập 267
13 Hình học không gian 269 13.1 Mở đầu về hình học không gian 269
13.1.1 Đối tượng của hình học không gian 269
13.1.2 Quan hệ 269
13.1.3 Hình biểu diễn trong hình học không gian 269
13.1.4 Một số hình thông dụng 270
13.1.5 Các tiên đề hình học không gian 272
13.1.6 Các tiên đề 272
13.1.7 Định lý về giao tuyến 272
13.2 Vị trí tương đối 272
13.2.1 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt phẳng 272
13.2.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 272
13.2.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng 272
13.2.4 Các phương pháp xác định mặt phẳng 273
13.3 Các dạng toán 273
13.3.1 Sử dụng tiên đề, vị trí tương đối 273
13.3.2 Tìm giao tuyến giữa 2 mặt phẳng (Cách 1) 276
13.3.3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt cả 2 đường thẳng 283 13.3.4 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 285
13.3.5 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng quy 288
13.3.6 Thiết diện 292
13.3.7 Bài tập 300
Trang 9T h.
uâ n
Chương 1 Phương trình đại số
Chương 1
Phương trình đại số
1.1 Lý thuyết về đa thức
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử
+) Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 thì P (x) = a.(x − x1).(x2) (a là hệ số bậc cao nhất của P (x))
+) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x1, x2,· · · , xn thì
P (x) = a(x− x1)(x− x2)· · · (x − xn) +) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 (vô nghiệm)
Ví dụ 1.1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P (x) = 2x2− 5x + 2
b) P (x) = −3x2+ 12x− 12
c) P (x) = 4x3− 4x2− 7x − 2
d) P (x) = 6x3− 13x2+ 4x + 3
Giải: a) P (x) có a = 2, x1 = 2, x2 = 1
2 nên P (x) = 2(x − 2) x− 12
!
= (x− 2)(2x − 1)
b) P (x) có nghiệm kép x = 2 nên P (x) = −3(x − 2)2
c) P (x) có a = 4 và 2 nghiệm x = −1
2 và x = 2???
Chú ý: P (x) là đa thức bậc 3 nhưng lại chỉ có 2 nghiệm Nên sẽ có một nghiệm là nghiệm kép Tốt nhất trong trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải quyết
Kết quả: P (x) = 4 x +1
2
!2
(x− 2)
http://aotrangtb.com
Trang 10T h.
uâ n
1.2 Phương trình bậc nhất Chương 1 Phương trình đại số
d) P (x) có a = 6 và 3 nghiệm x = 1, x = −1
3, x = 3
2
P (x) = 6(x− 1) x +1
3
!
x− 3 2
!
= (x− 1)(3x + 1)(2x − 3)
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES
Ví dụ 1.1.2: Tính giá trị biểu thức:
a) y = x3− 3x2− x − 1 tại x = 1 −√3 và x = 1 +√
3
b) y = x2− x − 1
2x + 3 tại x = 3 +√2 và x = 3−√2
Giải: a) x = 1 −√3⇒ y = −4 +√3
x = 1 +√
3⇒ y = −4 −√3 b) x = 3 +√2⇒ y = 43 + 31
√ 2 73
x = 3−√2⇒ y = 43− 31
√ 2 73
1.2 Phương trình bậc nhất
1.2.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0
☞ Cách giải:
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
➤ Với a = 0, b 6= 0: Phương trình vô nghiệm
➤ Với a =6 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −b
a 1.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.2.1: Giải và biện luận phương trình: (m2− 1)x + m − 1 = 0
Giải: - Nếu m2− 1 = 0 ⇔ m = ±1
+) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0 Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
+) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0 Phương trình vô nghiệm
- Nếu m2− 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = − 1
m + 1
Ví dụ 1.2.2: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(dm) : y = (m− 2)x + 2m − 3
http://aotrangtb.com
Trang 11T h.
s Đ
ỗ M
in h
T uâ
n
1.3 Phương trình bậc hai Chương 1 Phương trình đại số
Giải: Gọi (x0, y0) là điểm cố định của (dm)
⇒ y0 = (m− 2)x0+ 2m− 3 ∀m
⇔ m(x0+ 2)− 2x0− 3 − y0 = 0∀m
⇔
x0+ 2 = 0
−2x0− 3 − y0 = 0 ⇔
x0 =−20
y0 = 1
Vậy điểm cố định của họ (dm) là điểm A(−2; 1)
1.3 Phương trình bậc hai
1.3.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax2+ bx + c = 0
☞ Biện luận:
➢ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất
➢ Nếu a 6= 0: ∆ = b2− 4ac hoặc ∆0 = b02− ac
+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm
+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =−2ab =−b
0
a +) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1,2 = − b ±√∆
− b0 ±√∆0
a
☞ Nhẩm nghiệm:
➢ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, x2 = c
a
➢ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 =−1, x2 =−c
a
☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử
Giả sử f(x) = ax2+ bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì f(x) = a(x − x1)(x− x2)
Ví dụ: f(x) = 2x2− 5x + 2 có 2 nghiệm x1 = 2, x2 = 1
2 nên f(x) = 2(x − 2)(x − 1
2) = (x− 2)(2x − 1)
☞ Định lý Vi-et: Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình thì ta có:
x1+ x2 =−b
a
x1x2 = c
a
Trang 12T h.
uâ n
1.3 Phương trình bậc hai Chương 1 Phương trình đại số
☞ Định lý Vi-et đảo:
Nếu
x + y = S x.y = P , x, y là 2 nghiệm của phương trình:
X2− S.X + P = 0
☞ Dấu của nghiệm:
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔
∆ > 0
S > 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt âm ⇔
∆ > 0
S < 0
P > 0
➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0
➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu ⇔ max(x1, x2) > 0
∆≥ 0
Ở đó max (x1, x2) =
−b +√∆
−b −√∆
Hoặc ta có thể xét 2 trường hợp:
- Phương trình có 2 nghiệm dương (không cần phân biệt) hoặc có một nghiệm bằng không, một nghiệm dương ⇔
∆≥ 0
S > 0
P ≥ 0
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự như trên:
⇔
∆≥ 0
S < 0
P ≥ 0
P < 0
⇔
∆≥ 0 min (x1, x2) < 0
Ở đó min (x1, x2) =
−b −√∆
−b +√∆
☞ So sánh nghiệm với một số:
➢ α ∈ (x1, x2)⇔ a.f (α) < 0
➢ α ∈/ [x1, x2]⇔
∆≥ 0 a.f (α) > 0
➢ x1 < x2 < α⇔
∆ > 0 a.f (α) > 0 S/2 < α
http://aotrangtb.com