Đặc biệt: Nếu d1 d 2 thì để viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của d1, d2 ta làm như sau: + Viết phương trình mpP chứa đường thẳng d1 và vuông góc với đường thẳng[r]
Trang 1Tài
5: ! " #$ TRONG KHÔNG GIAN
I CÁC -.' #/ LIÊN QUAN #4' ! " #$ TRONG KHÔNG GIAN 1)
Tọa độ không gian.
1 u x y z( ; ; ) u x i. y j.z k.
2 M x y z( ; ; )OMxiyjzkOM x y z( ; ; )
3 a x y z b x y z( ; ; ), ( '; '; ') thì:
+ a b (xx y'; y z'; z') + ak( x;k ky k; z)
+ a b x x 'y y 'z z ' +| |a x2 y2 z2
+
cos( , )
a b
+ a b a b.0 +
' ' '
4 1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì:
+ AB(x2 x y1; 2 y z1; 2 z1)
+ |AB| (x2 x1)2 (y2 y1)2(z2 z1)2
1 1 1
M
M
M
x kx x
k
y ky y
k
z kz z
k
+
2 2 2
M
M
M
x
y
z
Tích có hướng của hai vectơ.
Trang 2* a x y z b x y z( ; ; ), ( '; '; ') thì tích có
[ , ] ; ;
a b
* [ , ]a b vuông góc 43 và .
a b + Hai a và cùng b A25%' thì [ , ]a b = 0 + Ba a b, và #C%' A&%' thì = 0
c [ , ].ca b
+ |[ , ]|=| |.| |.sin( , )a b a b a b
+ 1| [ , ] |
2
ABC
S AB AC
+ 1| [ , ] |
6
ABCD
V AB AC AD
+ V ABCD A B C D ' ' ' ' | [ AB AD AA, ] ' |
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
là:
( ; ; )
n A B C
A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0
Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( =3 D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0)
n
= (A; B; C)
*)
x y z 1 ( E25%' trình #$% M%
a b c
Chú ý :
và 1
° ( ) cắt( ) A B C1: 1: 1 A2:B2:C2
( ) / / ( ) A B C D
° ( ) ( ) A A1 2 B B1 2C C1 2 0
3) Phương trình đường thẳng.
A25%' u( ; ; )a b c là: 0
0 0
) A25%' u( ; ; )a b c là:
Trang 3Tìm quan W ' Y 2 vtcp ud,
/
d
u
Tìm # ! chung . d , d’XZ%' cách xét W 00 00
x + at = x' + a't'
y + bt = y' + b't' (I)
z + ct = z' + c't'
?W (I) ' Y , Quan W
'
d
u
/
d
u =O trí ' Y d
, d’
Vô *
%' W!
'
dd
Vô %' W!
Cùng
/ /
d d
Có 1
’
Vô %' W!
Không cùng A25%' d , d’ chéo
nhau
4) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Tùy theo dang
+ Xét
+ Quan
+ Quan
5) Góc và khoảng cách.
+ 1, d2 là nên ta có:
cos | cos( u d1, ud2) |= 1 2
1 2
cos | cos(n ( )P ,n( )Q ) |
sin | cos(u n d, ( )P ) |
+ 0;y0;z0)
là: 0 0 0
| Ax + By + Cz + D | ( / ( ))
A + B + C
+
A25%' là: u | [u , ] |
( / )
| u |
AM
Trang 41 2
1 2
1 2
| [u , u ] | ( / )
| [u , u ] |
M M
6) Mặt cầu:
+
(x – a )2 + (y – b )2 + (z – c)2 = R2
+ E25%' trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là
N khi và ) khi A2 + B2 + C2 – D > 0
+
+
+
II CÁC L' TOÁN MN' O
1 Jl%' minh A,B,C là ba #)% tam giác, xác #O% hình S$%' . tam giác
A,B,C là ba #)% tam giác
AC ,
AB không cùng A25%'
2 Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
ABCD là hình bình hành ABDC
3
+
+ Tính S W% tích tam giác ABC
+ Tính
( ?H l%' minh AB AC AD, 0 )
A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0
2
+ n( )P [ AB AC, ]
+
3
+ n( )P ud
+
4
+ n( )P n( )Q
+
5
+ n( )P [MM0,u ]d ( )
0
M d
Trang 5+
+
1 2
( )P [u ,u ]d d
+ 1 1 H M2 2 H giao # !
7
+ n( )P u MMd, '
+
8 1 và song song 43 d2 (d1 và d2 chéo nhau)
+
1 2
( )P [u ,u ]d d
9 1 và vuông góc
+
1
( )P [ d , ( )Q ]
n u n
+
1 2
( )P [u ,u ]d d
+
11
+ n( )P [n( )R ,n( )Q ]
+
12
cho
+ n ( )P n( )Q PTTQ . mp (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D
13
+ n ( )P n( )Q PTTQ . mp (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D
14
+ n( )P u u d, d' PTTQ . mp (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D
1.
a) 0;y0;z0) và có u( ; ; )a b c :
+ E25%' trình tham *
0 0 0
+
x x0 y y0 z z0
Trang 6Ax + By + Cz + D = 0
+ ud n( )P =(A;B;C)
A25%' ud' ( ; ; )a b c
+ ud ud' ( ; ; )a b c
Cách 1:
+ ud [n( )P , n( )Q ]
+
Cách 2:
giao
Cách 3:
hai
mp(P):
Cách 1:
+
+ Khi
Cách 2:
+
+ Tìm
Khi
4
d 1 , d 2
1 2 2
1 2
u
[u , u ] u
u
u
5
mp(Q).
Vì
( )
( ) ( ) ( )
n
[n , n ] n
u
u u
Trang 7Cách 1:
Khi ud , và không cùng
1
d
u
2
,
giao
Cách 2:
+
d1 không cùng
Cách 1:
cùng
Cách 2:
Khi
2 , d 3
Cách 1:
2
,
d d
u u
3
,
d d
u u cùng
Cách 2:
không cùng
2
,
d d
u u
Cách 3:
+ ` < s 2 ta
3
+ Vì d song song d1 AB cùng A25%' 43 Ta có W hai A25%'
ud ABkud
trình hai u% t và t’
Trang 8
9
1 , d 2 Cách 1:
+ ` < s 1 ta
2
+ Vì 1 1 Ta có W hai A25%' trình hai u% t và
1 2
Cách 2:
A25%' là: ud [u , u ] d1 d2
( )P d, d1
n u u
( )Q d, d2
n u u
Suy ra: giao
thì
chung . d1, d2 ta làm %2 sau:
Khi
10
+ Tìm
+ ud n( )P ,ud'
a H là hình > Q > G M trên mp()
H = d ()
b H là hình
Tính MH
Ta có MH u d MH u d 0 t ?
a #d M /
Tìm hình H . M trên mp()
Trang 9M/#* l%' 43 M qua () H là trung # ! . MM /
/
/
/
2 2 2
M
M
M
b #d M /
Tìm hình H . M trên d
M/ #* l%' 43 M qua d H là trung # ! . MM /
/
/
/
2 2 2
M
M
M
a)
+ Tìm giao # ! H . và ( )
+ Tính d(A, ) = AH
+ rm M trên
+ d( , ( )) d M( , ( ))
+ rm M trên
( , ) ( , ( ))
d d M
Chú ý:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hình
0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) =3 a > b > 0)
`P M là trung # ! CC’
b
Giải:
* Theo gt ta luôn có: C(a; a; 0),
C’(a; a; b)
Vì M là trung # ! CC’ nên
M(a; a; b/2)
Khi #1
' (a;0; b)
' ' (0;a; b)
(0; a; b/2) ' ( a;0; b/2)
A B
A D
MB
A B
Do
mp(A’BD)là:
2
1 [ , ]=(ab;ab;a )
n A B A D
Và : n2 [MB MD , ]=(ab/2; ab/2; a ) 2
b
a
a z
x
y D
C B
A
D'
C' B'
A'
Trang 10P N
K
x
z
y
M
H
D
C B
A
S
*
2
2
a b a b
a 1 thì hai
b
Bài 3: (Đề thi Đại học khối A năm 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có
giác
. các $% SB, BC, CD CMR : AM BP Tính CMNP
Giải:
* Do SAD #| và (SAD)(ABCD) nên % 'P H là
trung # ! AD SH ADSH (ABCD)
Khi
O = H = (0 ; 0 ; 0),
N = (a ; 0 ; 0),
D = (0 ; a/2 ; 0),
S = (0 ; 0 ; a 3)
2 B(a ; -a/2; 0), P(-a/2; -a/2; 0),
A(0; -a/2; 0), M(a; a a 3; )
2 4 4
( ; ; ), D( ;a;0)
={ AM BP
* Ta có : 1
3
Mà :
2
CNP
CMNP
V
III BÀI p MINH "
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3)
a)
b)
giác ABC
c)
Trang 11d) Tính
Bài i
a)
Ta có: AB ( 2; 2;4) AB2 6, AC(0; 2; 1) AC 5
Suy ra: AB AC 0 4 4 0 ABAC
Hay tam giác ABC vuông
K W% tích tam giác ABC: 1 1
b)
M là trung # ! . BC nên 1
0;1;
2
M
1; 2;
2
AM
tham *
1
3 2 3 2 2
c)
`P n ABAC (10; 2; 4)
Mp(P) qua A(1;3;-2) %{% n (10; 2; 4) làm VTPT có
10( 1) 2( 3) 4( 2) 0
A x x B y y C z z
x y z
d)
( , ( ))
2
25 1 4
Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x 2y 2z 1 0
a)
b)
c)
Bài i
a)
AB
b)
`P I là trung # ! BC
1; ; 2 ,
I BC
Trang 12, bán kính r = có A25%' trình:
3 1; ; 2 2
I
69 2
( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( 2)
x a y b z c r
c)
0 4 12 1
1 4 4
x y z x y z a) Xác
b)
Bài i
a)
UP #6 tâm I(1; -3; 4)
Bán kính: R 1 9 16 1 5
b)
(0; 4; 3)
Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0; 4; 3) có A25%' trình:
0( 1) 4( 1) 3( 1) 0
y z
Bài 4:
a) (P) # qua 3 # ! A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1)
b) (P) qua DE và song song 43 GH 43 D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) và H(2;1;-1) c) (P) là
Bài i
a) Ta có: AB ( 3; 0; 2), BC (4; 3; 5)
, (6; 7;9)
n AB BC Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT n (6; 7;9) có A25%' trình:
6( 0) 7( 1) 9( 2) 0
b) DE (1; 0;1),GH (3; 1; 3), n DE GH, (1; 6; 1)
Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có A25%' trình:
1( 1) 6( 1) 1( 1) 0
x y z
Trang 13c) `P I là trung # ! MN, I 1; 2;3
( 6; 2; 4)
MN
MN ( 6; 2; 4) làm VTPT có A25%' trình:
6( 1) 2( 2) 4( 3) 0
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1)
tham
a) d qua
b) d qua C và vuông góc 43 mp(ABC)
Bài i
a)
I là trung # ! BC nên 1; 1 3; VTCP:
2 2
I
1; ;
AI
3 1 2 1 2 2
x t
b) AB ( 3; 0; 2), BC (4; 3; 5)
VTCP: u AB BC, (6; 7;9)
1 6
2 7
1 9
Bài 6: Xét
1 3 3
z t
1 2
3 6
2
2
1 4
3
1 2
1 3
Bài i
d có VTCP u (1; 1;3) .
a)
1
u1 (2; 2; 6)
Và u1 (2; 2; 6) 2u
Suy ra: d // 1
b)
2
Trang 14c)
3
Bài 7: Cho 4 # ! A(-2;6;1) B(-1;1;2) C(2;-1;2) D(-1;1;0)
1
2 Tìm
3 Tìm
4 Tìm
5 Tìm
i
1 Ta có: BC(3; 2;0) BD(0;0; 2)
BC BD
(BCD) có VTPT: EU U d là:
2 2
6 3 1
z
2 PTMP (BCD) là: 2x + 3y - 1 = 0
U$ #6 # ! H là %' W! . W pt:
2 2
4
6 3
1
1
x
z
z
3 Do A’ #* l%' 43 A qua (BCD) nên H là trung # ! . AA’
4 BC(3; 2;0) EU U BC:
1 3
1 2 2
z
Do KBC K(-1+3t;1-2t;2) KD3 ;2 ;2t t
Do KD BC KD BC 0 t 0 K( 1;1;2)
5 Do D’ #* l%' 43 D qua BC nên K là trung # ! . BC D’(-1;1;4)
Bài 8:
A(-1; 2; -3) và
1 3
1 2
3 5
;
(3;2;-5)
d
u
=(-2; 3; -6)
MA
`P n(P) là
Vì mp(P)
Suy ra A25%' trình mp(P) là:
( )P [ , d] (-3; -28; -13)
n MA u
3(x + 1) + 28(y – 2) + 13(z + 3) = 0
3x + 28y + 13z – 14 = 0
3x + 28y + 13z – 14 = 0
Trang 15Bài 9 : Trong không gian cho hai
1: 2 2 và
:
a) Jl%' minh -Z%' d1, d2 chéo nhau
Giải:
Ta luôn có:
1
u ( 1;1;2)d
2
u (3; 1;1)d
0
Suy ra : d1 song song 43 d2 H d1 và d2 chéo nhau
, không cùng A25%' nên d1
1
u ( 1;1;2)d
2
u (3; 1;1)d không 2 , do #1 d1 và d2 chéo nhau
b) Vì mp(P) là 1 và song song d2 nên ta có:
, và do mp(P) qua M1(-2; 2; 0) 1 nên A25%'
1 2
( )P =[u , u ]=(3; 7; -2)d d
trình
3(x + 2) + 7(y – 2) – 2z = 0
3x + 7y – 2z – 8 = 0
r2 ý : l%' minh d1 chéo d2 các em
[u , u ]. d d M M0
x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z – 2 =0
và song song
Giải:
Vì song song có S$%' : 4x + 3y -12z + D =0
( )
78
4 6 3.6
26
16 9 144
D D
D
4x + 3y -12z + 78 =0
và 4x + 3y -12z -26 =0
Trang 16Bài 11 : Trong không gian
và
:
a, Tìm
b, Tìm A d P ~ %Z! trong (P), # qua A và vuông góc
Giải:
a, Theo Id nên
I( 1-t; -3+2t; 3+t)
?5% %Y
2
4 1 4
9
P
d I
t
t
* =3 t=2 ta có : I (3;-7;1)
* =3 t =4 ta có: I( -3;5;7)
b, Do A d P nên
( )P , d
u n u
Mà : n( )P (2;1; 2), ud ( 1;2;1)
(5;0;5) (1;0;1)
4
y
Bài 12 : Cho 2 + y2 + z2 – 2y– 4z -20 = 0
và
Xác
Giải:
Ta luôn có :
Vì: ( )
P
Trang 17`P H là hình . I trên (P) H là tâm #2R%' tròn (C) và bán kính . (C) là:
( )P
r R d I
*
( ) (1;2 : 1)
2
Khi #1 U$ #6 # ! H là %' W! . W :
4 3
( ; ; )
10
3
x
x t
Và bán kinh . (C) là: 64 23
25
và bán kính .
4 5 10
8
r
Bài 13: Trong không gian Oxyz cho hình
0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) =3 a > b > 0)
`P M là trung # ! CC’
b
Giải:
* Theo gt ta luôn có: C(a; a; 0),
C’(a; a; b)
Vì M là trung # ! CC’ nên
M(a; a; b/2)
Khi #1
' (a;0; b)
' ' (0;a; b)
(0; a; b/2) ' ( a;0; b/2)
A B
A D
MB
A B
Do
mp(A’BD)là:
2
1 [ , ]=(ab;ab;a )
n A B A D
Và : n2 [MB MD , ]=(ab/2; ab/2; a ) 2
b
a
a z
x
y D
C B
A
D'
C' B'
A'
Trang 18P N
K
x
z
y
M
H
D
C B
A
S
*
2
2
a b a b
a 1 thì hai
b
Bài 14: (Đề thi Đại học khối A năm 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có
giác
. các $% SB, BC, CD CMR : AM BP Tính CMNP
Giải:
* Do SAD #| và (SAD)(ABCD) nên % 'P H là
trung # ! AD SH ADSH (ABCD)
Khi
O = H = (0 ; 0 ; 0),
N = (a ; 0 ; 0),
D = (0 ; a/2 ; 0),
S = (0 ; 0 ; a 3)
2 B(a ; -a/2; 0), P(-a/2; -a/2; 0),
A(0; -a/2; 0), M(a; a a 3; )
2 4 4
( ; ; ), D( ;a;0)
={ AM BP
* Ta có : 1
3
Mà :
2
CNP
CMNP
V
III BÀI p RÈN 03r!'
Bài 1: Trong không gian
(P): x + y – 2z + 3 = 0
1/
A&%' (P)
2/
Trang 193/
giao # ! I . d và (P)
p 1/ x + y -2z - 2 = 0 2/ 2 2 2 25
6
3/
1 1 2
1 1 1
; ;
6 6 3
Bài 2: Trong không gian
C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2)
1/
2/
3/
4/ Tính
p 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 0 2/ 2x - 3y - z + 7 = 0
3/ 1 2 4/
4 3
Bài 3: Trong không gian
# ! M(1, -2 ; 3)
1/
cách
2/ Tìm
p 1/ 2x + y - z - 6 = 0 ( ,( )) 3 6 2/
2
2 2
Bài 4: Trong không gian
# qua ba # ! A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8)
1/
1/ (P): 2x - 3y + z - 7 = 0 2/
1
11
Bài 5: Trong không gian
C(1 ; 0 ; -4)
1/ Tìm
hành
2/
góc 43 mp(ABC)
p 1/ D(2;2;-5) I(1;2;-2) 2/
2 3 3 2 1
Trang 20Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho X*% # ! A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), D(0 ; 0 ; 3)
1/
2/ Tìm
p 1/ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 2/ A’(73; 86 106; )
49 49 49
Bài 7: Trong không gian
1/
2/
3/ Tìm
p 1/ 2 2 2 2/ y - 2z + 1 = 0 3/ M(2;5;-7)
Bài 8: Trong không gian
1/
#P% AB
2/
qua A
p 1/ 2/ x + y - 3z + 2 = 0
3
2 3
Bài 9 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
p a/ x - z - 1 = 0 b/ 2x - y - 3z + 7 = 0 c/ x - z + 2 = 0 d/ x + z = 0
e/ x + 4 = 0 f/ 6x - 4y + 3z - 12 = 0
x y z
a)
c)Tính góc ' Y (d1) và (d2)
p a/ 62 b/
195
Bài 11:Trong không gian Oxyz cho X*% # ! A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a)
b)
p a/ b/ V =
0 2 1
x
3 2
... 5: ! " #$ TRONG KHÔNG GIAN< /b>I CÁC -.'' #/ LIÊN QUAN #4'' ! " #$ TRONG KHƠNG GIAN 1)
Tọa độ khơng gian.
u... 3: Trong không gian
# ! M(1, -2 ; 3)
1/
cách
2/ Tìm
p 1/ 2x + y - z - = ( ,( )) 3 6 2/
2
2
Bài 4: Trong không gian. .. 4) làm VTPT có A25%'' trình:
6( 1) 2( 2) 4( 3) 0
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1)
tham
a) d qua
b) d